浅谈与概率公理化定义有关的概率计算问题的方法

1、 浅谈与概率公理化定义有关的概率计算问题的方法 郭文婷（长江工程职业技术学院基础部，湖北武汉430200）摘要：概率问题是比较复杂的一类问题，本文通过对概率的公理化定义所涉及的概率问题的方法进行探讨，总结出几个有用的解题方法。关键词：概率；计算；方法中图分类号：g712 文献标志码：a 文章编号：1674-9324（2014）53-0198-02作者简介：郭文婷（1982-），女，湖北武汉人，讲师，硕士，研究方向：数学教育。概率的公理化定义方面的公式是概率论古典概型问题中的重要公式，它本身公式繁多，许多问题更夹杂了排列、组合、函数、不等式等数学问题，使得概率问题更加复杂多变，只有掌握好正确的方

2、法才能使问题快捷求解。一、概率的公理化定义公式（一）基本公式概率的公理化定义中所涉及的概率计算的基本公式：设为样本空间，a为事件，公式（1）p（a）0.公式（2）p（）=1.公式（3）两两互不相容的可列无穷多个事件a1，a2，an，有p（二）相关性质公式（4）p（）=0.公式（5）有限个两两互不相容的事件a1，a2，an，有p公式（6）任一事件a，有p（a）1.公式（7）a、b为两个事件，p（b-a）=p（b）-p（ab），若a奂b，p（b-a）=p（b）-p（a），若a奂b，有p（a）p（b）.公式（8）a、b为两个事件，p（ab）=p（a）+p（b）-p（ab）.公式（9）p（a）=1-p

3、（a）.以上公式再结合事件与集合的关系、条件概率、乘法公式、事件的独立性、全概率公式或贝叶斯公式后，概率运算的问题就变得更加麻烦了，不掌握好处理概率的好的方法，就步履维艰了。二、求解概率问题的方法和技巧（一）文氏图法，利用文氏图解决两个事件概率的运算问题数形结合是数学中最好用的方法之一，用文氏图来记忆有关概率的一些公式会非常容易，若掌握了文氏图与概率公式的对应，对于这么多的公式也没必要全都装进脑袋，遇到概率的运算问题画画文氏图就能轻松解决了，特别是两个事件的概率运算问题。例1.对于任意两个事件a和b，则p（a-b）是（ ）。（a）p（a）-p（b） （b）p（a）-p（b）+p（ab）（c）p

4、（a）-p（ab） （d）p（a）+p（b）-p（ab）本题是两个事件的差的概率，按照集合的文氏图画法可知，左椭圆区域表示事件a，右椭圆区域表示事件b，左椭圆中白色区域为事件a-b，把事件的概率用对应区域的面积来理解，很容易得出c选项是正确的。（二）转化法，正确理解所求事件的概率，尽量把事件划分成简单易求概率的事件，再利用对应公式求解在处理概率的问题时，有些同学就是找不到问题的突破口，也不知道用哪个公式来求解问题，特别是对于复杂的事件，若是不能把它分解成相互独立、不重复也不遗落的简单事件，就很难实现问题的求解，因为很多概率问题就是通过事件的关系所对应的公式运算来进行的。例2.进行一系列独立试验

5、的成功率都是p，则在试验成功2次之前已经失败3次的概率是多少？本题的难点是如何理解“试验成功2次之前已经失败3次”，这说明进行了5次试验，第5次试验成功，前4次试验中有一次是试验成功，其他3次都失败了，那么“试验成功2次之前已经失败3次”等同于“前四次试验只有1次成功且第5次试验成功”，因此记a=第5次试验成功，b=前4次试验只有1次成功，a、b为相互独立的事件，p（a）=p，b事件的概率为伯努利本题中的关键问题就是对于复杂事件的分解，这直接决定着问题是否能顺利得到结果，复杂事件的理解要经过认真咀嚼，理顺它意思中包含怎样的基本事件以及他们之间是怎样的关系。一些明显的字眼“且”、“或”、“同时发

6、生”、“至少有一个发生”、“不发生”等所表达的事件的关系一定要明白，在不含有这些字眼的复杂事件中再认真思考如何分解成简单事件。（三）推演法，根据题中的条件推演出相应的结论很多问题中的条件实际上就是一种概率的运算关系，再通过表达出的数学关系和表现形式结合公式进行推导就能得到结论。例3.若事件a、b、c同时发生必导致事件d发生，试证：p（a）+p（b）+p（c）-p（d）2本题中，由条件可知abc奂d，则有p（d）p（abc），这和本题中要证明的不等式不谋而合，再从公式中寻找有事件乘法公式的，即p（abc）=p（ab）+p（c）-p（abc），则p（abc）=p（ab）+p（c）-p（abc），同理：p（ab）=p（a）+p（b）-p（ab），则有p（d）p（abc）=p（a）+p（b）+p（c）-p（ab c）-p（ab）p（a）+p（b）+p（c）-2.三、小结概率的计算不仅仅是用排列组合的知识就能解决的了，它加入了概率公理化定义的公式后，变成了比较复杂的数学问题，需要理解事件、结合公式的应用或是推导，以及应用数学的思想方法和解题方法。概率问题的求解，也需要我们不断地去探索和实践，我们要勇于面对困难，勤思考、多总