(完整版)高职专升本第二章导数及其应用习题及答案最新（精华版）

1、应用数学习题集第二章导数及其应用一. 选择题121 若f ( x)在 x 0 处可导，则以下结论错误的是（d）。af ( x)在 x 0 处有极限；bf ( x)在 x 0 处连续；cf ( x)在 x 0 处可微；df ( x )limf (x) 必成立。xx2 若f ( x)在 x 0 处可导，则（b）是错误的。 (02-03电大试题 )a 函数f ( x) 在点 x 0 处有定义；blimf ( x)a ，但 af (x0 ) ；xx0c 函数f ( x) 在 x 0 处连续；d 函数f ( x)在 x 0 处可微。3 f(x)在 x 0 处不连续，则f (x) 在 x 0 处（a）a

2、必不可导；b 有时可导；c 必无定义；d 必无极限。4 函数f ( x)=|2x|在 x=0处的导数（d）。a 等于 0 ；b 等于 2 ；c 等于 -2 ；d不存在。5 函数f ( x)=|sinx|在点 x=0处的导数（d）。a 等于 -1 ；b 等于 0 ；c 等于 1；d不存在。6 yln |x |，则 y = （b）。1a；b| x |1 ；cx11；d。x| x |7 曲线 y=sinx在点 (0,0)处的切线方程是（c）。1a y=2xbyx 2c y=xd y=-x8 f(x)x cos x，则f ( x)= （d）。(02-03电大试题 )acosx+xsinxbcosx-x

3、sinxc2sinx+xcosxd -2sinx-xcosx9 函数中在 1 ， e 上满足 lagrange定理条件的函数是（b）。a y=ln(lnx)；b y=lnx；c y=1；d y=ln(2-x)。ln x10 若f ( x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，lagrange定理的结论是至少存在一点，使（a）。af ( )f (b)bf (a)；baf ( )；cf (b)f ( a)f ()(ba) ；df ( )f (b)f (a)。11 f ( x0 )0 ，则 x 0 是函数f ( x) 的（d）。(02-03电大试题 )a. 极大值点；b. 最大值点；c. 极小值点；d

4、. 驻点。12 x 0 是连续函数f ( x)在(a,b)内的极小值点，则（c）。a 必有f ( x0 )0 ；bf (x0 )必不存在；cf (x0 )0 或 f (x0 )不存在；d x (a,b)时，必有f ( x)f ( x0 ) 。13 y=arctanex，则 dy= （c）。ex1ex dxdxa；b1e2 x1；ce2 x1；de2x1。e2 x14 设f (x)xcos x2 ，则f (x) = （c）。a 1-sinx2 ；b 1+sinx2 ；c 1-sinx22x ；d (1-sinx2 ) 2x 。t15 设 f (t )2，则 f ( t ) = （b）。t1a1

5、；b2tt 2(t 21；c1) 23 t 2(t 21 ；d1) 2t 21。t 21xa16 lim ax( a0) ) 的值是（d）。xaxaa 0 ；b 1 ；c ；da a( ln a1) ) 。17 若 x 1 与 x 2 分别是函数f ( x)在(a,b)内的一个极大点和一个极小点，则（d）必成立。af (x1)f (x2 ) ；bf ( x1)f ( x2 )0 ；c 对 x (a,b)， f ( x)f ( x1) ， f ( x)f (x2 ) ； df ( x1 ) 、 f ( x2)可能为 0 ，也可能不存在。018 若limf ( x)f ( x0 )1 ，则f (

6、x) 一定是f ( x) 的（d）。xx0(xx20)a 最大值；b 极小值；c 最小值；d 极大值。二. 填空题：1 已知f ( x)=lnx，则limx0ln( xx)ln x1。=xx2 若函数 yln3 ，则 y = 0。3 曲线 y=x 3 +4在点 (0,4)处的切线平行于 x 轴。4 抛物线 y=x2 在点 (1/2,1/4)处的切线的倾斜角是45 。5 已知f ( x)=x sinx ，则f () = 2。6 方程exyxy 所确定的隐函数的导数dy =y 。dxx7 若函数f ( x)在 x=0处可微，则limf (x) =f (0) 。x08 d ln(sin x) = c

7、ot xdx。9 d ln(cos x) =tanxdx。10 d (sin ex )ex cosex dx 。11 半径为 x 的金属圆片， 面积为 s(x) 。加热后半径伸长了 x ，应用微分方法求出 s s(x) x。12 limln xx0。xe13 函数 y=arctan(x2 +1) 的递增区间是(0 ,) 。14 函数 y=ln(2x4+8) 的递减区间是 (, 0) 。15 函数 y=sinx-x在其定义域内的单调性是单调减少。16 极值存在的必要条件：如果f ( x)在点 x 0 处取得极值且在点x 0 处可导，则f ( x)0 。17 若函数f ( x)在a,b上连续，在

8、(a,b) 内f ( x)0 ，则函数的最小值为f (b) 。18 设函数 yf ( x) 二阶可导，若f ( x0 )0 、 f ( x0 )0 ，则f (x0 ) 是f (x) 的 极大值 。19 已知生产某种产品的成本函数为c(q)802q ，则产量 q50 时，该产品的平均成本为3.6。20 微分近似计算函数值公式f ( xx)f ( x)f ( x)x 。三、解答题：1 求函数 y11x1的导数。1x解：因为 y111x1x2，所以1 xy 2(11)x) 22(1x)2 。2 求函数 yln x的导数。解： y(lnsin xx) sin xln x(sinx)1 sin x xl

9、n xcos xsin xxlnx cos x。sin 2 xsin 2 xx sin 2 x3 求函数 yx excos x 的导数。解： yex cos xxexcos xxexsin xex (cos xx cos xx sinx) 。4 求方程 yx 2 在点(3, 9 ) 处的切线方程。解：曲线 y2x 在点(3 , 9) 处的切线的斜率为y2x 在点(3, 9) 处的导数因为 y |x 32 x |x 36 ，所以切线的方程为y96( x3)即6 xy905 求函数 ysin 2x cos 2x 的导数。解： y2 sin x(sinx)cos 2 xsin 2 x(sin 2x)

10、 22 sinx cos x cos 2 x2 sin 2xsin 2 x2 sin x(cos x cos 2 xsin x sinx2x)2 sinx cos 3 x。6 求函数 yln tan x2的导数。解： y1xtansec2 x1222 sin1xxcos1。sin x22217 求函数yncos x的导数。解： y(cosn x)ncosn 1 x(cos x)n sin x。8 利用对数求导法求函数cosn 1 x y(cos x) sin x 的导数。解：两边取自然对数，得ln ysinx ln cos x两边对 x 求导，得ycos x ln cos xsin xsin

11、xycos xyy(cos x ln cos xsin x tan x)(cos x)sin x (cos x ln cos xsinx tan x) 。9 利用对数求导法求函数y(sinx) ln x 的导数。解：两边取自然对数，得ln yln xlnsin x两边对 x 求导，得y1 ln sin xln xcos xyyyx1 ln sin x xsin xln x cot x(sinx) ln x1 ln sin x xln x cot x10 求方程x yy x 所确定的隐函数的导数dy 。dx解：两边取自然对数，得y ln xx ln y两边对 x 求导，得y ln xy1 xln

12、 yxy y整理，得dyy(x ln yy)。dxx( y ln xx)11 求方程arctan yxlnx2y 2 所确定的隐函数的导数dy 。dx解：两边对 x 求导，得1y xyy2x 21x1x2y 22x2x 22 yyy 2整理，得dyxy 。dxxy12 求方程xeyyex 所确定的隐函数的导数dy 。dx解：两边对 x 求导，得eyxey yy exyex整理，得dy dxe yyexxyexe13 己知函数yxex ，求 y (n) 。解：因为 yexxexex (x1) ，y ex (x1)exex (x2) ，y ex (x2) exex (x3) ，所以，y (n)ex

13、 ( xn)14 已知y (n 2)x，求ln x1y (n ) 。解： y( n 1)ln xxx2ln x12，lnxlnxy( n)1 ln 2 x x(ln x1)2 ln x 1x2 ln x。ln 4 xx ln 3 x15 求函数解： d yyarcsind(arcsinx 的微分。x)1d(x )dx。1x2x(1x)16 求函数 yecot x 的微分。解： d yd(ecot x )ecot x d(cot x)ecot x csc2xdx 。17 半径为 10cm的金属圆片，加热后半径伸长了0.05cm，求所增加面积的精确值与近似值。解： s( rr ) 2r 22 rr

14、(r )2 ， dsd( r 2 )2 r dr 。当 r10 ， drr0.05 时，s1.0025， ds。即增加面积的精确值为1.0025，近似值为。18 判断函数f ( x)ln x在区间1, e 上是否满足 lagrange定理？如果满足就求出定理中的。解：因为f (x)ln x 是初等函数，f (x) 在其定义域(0 ,) 内连续可导，所以f ( x)在区间1, e 上连续，在区间(1, e) 内可导，满足 lagrange定理条件。因而在区间(1, e) 内至少存在一点，使得1f ( )ln eeln 111e1即e1 。19 利用 l hospital法则求极限limxln x

15、 。xx ln x解： limxln x11型limxxlimxln xx1x1ln xxx型lim10 。xx ln xxxln x220 利用 l hospital法则求极限limln tan 5x 。解： limln tan 5 x型x0lntan8 xx0ln tan 8 x1sec2 5x 5limtan5x5 limsin16x5161x01tan 8xsec2 8x 88 x0xsin10x81021 利用 l hospital法则求极限lim x 。x0xx ln xlim x ln x解： lim xlim eex 0，x0因为 lim x ln xx0limln x1型li

16、mxlim x0 ，x0x01 xx01x0x2所以 lim xxe01。x022 求函数 yexx1的单调区间。解：令 yex10 ，解得驻点x0 ， x0 把定义域 (,) 分成 (, 0) 和 (0 ,) 两个子区间。列表x(, 0)0(0 ,)x-0+f ( x)-0+f ( x)由表可知：函数f ( x) 在 (, 0) 内递减，在(0 ,) 内递增。23 求函数 yx2 lnx 的极值点和极值。解：令 y2x ln xx 21 xx(2 ln x1)0 ，解得 x0或 x1e 2 。因为 x0不在函数的定义域(0 ,) 内，舍去； x1e 2 把 (0 ,) 分成10 , e 21

17、和 e 2 ,两个子区间。列表1x0 , e 211e 2e 2 ,2 ln x1-0+f ( x)-0+f (x)极小值12e由表可知：当x1e 2 时，函数有极小值y。11x e 22e24 求函数 y2x 2x 4 的极值点和极值。解：令 y4x4 x 34 x(1x2 )4 x(1x)(1x)0 ，解得 x0和 x1。驻点 x0和 x1把函数的定义域 (,) 分成 (,1) ， (1, 0) ， (0 , 1) 和 (1,) 四个子区间。列表x(,1)-0+-+-+0+0+-+0-0+0-1xx1x1(1, 0)0( 0, 1)1(1,)f ( x)f ( x)极大值1极小值0极大值1

18、由表可知：当x0时，函数有极小值y0 ；当 x1时，函数有极大值y1 。25 求函数f (x)xln(1x) 的单调区间与极值解： qf ( x)xln(1x)x( 1,)f (x)11由f(x)=0 ，知x=01xx( 1,0)0(0,)y0y0zf (x) 的单调下降区间为（ -1，0），上升区间为 (0,)f ( x)的极小值f (0)026 若f ( x)是可导的奇函数，试证f ( x) 是偶函数。证： 因f (x) 是可导的奇函数，知f (x)f ( x) ，求导，有f (x)f (x) ，所以 f (x)f ( x) ，即f ( x)是偶函数。 h27 验证 lagrange中值定

19、理对函数 yax2bxc (a0) 所求得的点恒在正中间。解：函数 yax2bxc (a0) 在任意一个区间 m, n 上连续，在( m, n )内可导，因此在( m, n )内至少存在一点使f ()f ( n)f ( m)由已知条件：f ( n)f ( m)( an2nmbnc)( am2bmc)( nm)a ( nm)bf ( n)f ( m)a( nm)bnmf ()2 ab于是2 aba ( mn)b228. 求曲线y6 x24x 2x 4 的凹凸区间和拐点解：yy6 x624x248xx 4 xr4x 3即mny4812x 212( x24) 由 y0 知 x2x, 222,222,

20、0-0+9268yy所以曲线f x 的凹区间, 22,所以曲线f x 的凸区间2,2拐点2, 292, 68x29.求曲线 yxe的凹凸区间和拐点解：ye xxe xye xe xxe x所以 ye x x2由于 y0x2x,222,y-0y2e 2所以曲线f x 的凹区间 2,所以曲线f x 的凸区间,22拐点 2,2e30. 求曲线 yx 44 x 32x5 的凹凸区间和拐点解：y4 x 312x 212y12 x224 x由 y12x x20 知：x10x22,000,222,xy+0-0+所以曲线f x的凹区间,02,所以曲线f x的凸区间0,2拐点0, 52, 17y51731. 求

21、函数 y1 x 335 x 224 x 在区间-1， 2上的最值。解yx 25 x4( x1)( x4)令 y0 ，求得区间 -1，2 上的驻点 x1。因 为 f (1)41 ,6f (1)11,6f (2)2 ， 所以 函数 的最 大值 为3f (1)11 ， 最 小值 为6f ( 1)41 。632. 设有一根长为 l 的铁丝，现将其分为两段，分别构造成圆形和正方形。若记圆形的面积为s1 , 正方形的面积为s2 ，求证：当s1s1 + s2 最小时，。s24证： 设圆的半径为 x ，正方形的边长为 y 。由已知2 x4 yl所以 yl 4x 。因此2222f ( x)s1s2x 2y2x 2lx 42x 2lx44l， (016xl)2f ( x)2xl 44令 f ( x)s0 得唯一驻点