求函数最值的方法总结

1、精品文档求函数最值的常用以下方法：1 .函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值.这种利用函数单调性求最值的方法就是函 数单调性法.这种求解方法在高考中是必考的，且多在解答题中的某一问中出现.一 、一 一一，、，一 一一一、1，例1设a1,函数f(x) = log ax在区间a,2a上的最大值与最小值n差为2则a=.【思路】先判断函数在指定区间上的单调性，再求出函数的最值，然后利用条件求得参数a的值.【解析】. a1,.函数f(x)=logax在区间a,2a上是增函数，函数在区间a, 2a上的最大值与最小值分1别为 loga2a, log aa= 1. . . l

2、og 2=2，a=4.故填 4.【讲评】解决这类问题的重要的一步就是判断函数在给定区间上的单调性.这一点处理好了，以下的问题就容易了. 一般而言，对一次函数、募函数、指数函数、对数函数在闭区间 n上的最值：若函数f(x)在m n上单调递增，则 f(x)min=f(m), f(x)max= f ( n)；若函数 f(x)在成川上单调递减，则 f ( x)min = f ( 0 , f ( x)max= f(m)； 若函数f(x)在s n上不单调，但在其分成的几个子区间上是单调的，则可以采用分段函数求最值的方法处理.2.换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，

3、以便使问题得以解决的一种数 学方法.在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式去灵活 选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单函数的最值问题，从而求出原函数的最值.如可用三角代 换解决形如a2+ b2=1及部分根式函数形式的最值问题.例2 (1)函数f (x) = x + 2jl-x的最大值为:【解析】方法一：设小工x = t(ta0), .x=1 t2,y = x+ 2jl -x = 1 - t2 + 2t= -t2 + 2t+ 1 = -(t 1)2+2,当 t = 1 即 x = 0 时，ymax= 2.方法二：打刈的定义域为*以01

4、,(x) =1由 f (x) = 0 得 x = 0.0xw1 时,f (x)0, f(x)为减函数.x0, f (x)为增函数.当 x=0 时,f (x)max= f(0) =2.(2)求函数y=x+#4x2的值域.【解析】换元法：由 4 x2a0 得一2wxw 2, ,设 x = 2cos。(。6 0 ,兀),则 y = 2cos 8 +144cos2 8 =2cos e +2sin e =2啦sin( 6 +-4) ,8 +乎李 丁 .sin( e+j)-25 1, /.y -2,22.3 .配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如f(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数的最值问题

5、，可以考虑用配方法.例3 已知函数y=(ex a)2 + (e x-a)2(a6r, a#0),求函数y的最小值.【思路】将函数表达式按ex+ ex配方，转化为关于变量ex+e-x的二次函数.【解析】y=(ex a)2 + (e x-a)2= (ex+e x)2 2a( ex+ e x) + 2a2- 2.at=ex+ex, f(t)=t22at +2a2 2. ta2, . .fd) =t2 2at+2a22=(t a)2 + a2 2 的定义域为2, + ).:抛物线y=f(t)的对称轴为t=a,当 a2 且 a - 0 时,ymin = f(2) =2(a1)2；当 aab(taa0,

6、b0)；a+ b 2 a + bab () xz6xz + 6xz4xz3,当且仅当x=3z时取.故y-的最小值为3.故填3. xz【讲评】 本题是三元分式函数的最值问题，一般地，可将这类函数问题转化为二元函数问题加以解决.在利 用均值不等式法求函数最值时，必须注意 “一正二定三相等”，特别是“三相等”，是我们易忽略的地方，容易产 生失误.5 .平方法对含根式的函数或含绝对值的函数，有的利用平方法，可以巧妙地将函数最值问题转化为我们熟知的、易于解 决的函数最值问题.1b.2d.23例5已知函数y=1l x+4x+3的最大值为m,最小值为my则m的值为()1a.4c.22【思路】本题是无理函数的

7、最值问题，可以先确定定义域，再两边平方，即可化为二次函数的最值问题，进而可以利用二次函数的最值解决.1 x a 0 , 由题意得x + 30,所以函数的定义域为x| -3xb,例 6 对a, b r,记 ma/a,b|=函数 f(x) =max|x+1| , |x2|(x r)的最小值是，b, a|x2 ,1得(x+1) %(x 2)：所以 x-1|x+1| , x-,所以f(x)=,1 |x-2| , x1,如果点o为坐标原点，那么|0甲的最小值等于 ，最大值等于 【思路】 本题实质上可以视为线性规划问题，求解时，先找出约束条件，再画可行域，最后求出最值【解析】11忒迎下载x+yw4,由题意，得点rx, y)的坐标满足ynx, x1.画出可行域，如图所示.由条件，得a(2,2) , |oa=