椭圆专题复习讲义

1、精品文档椭圆专题复习知识梳理1.椭圆定义：(1)第一定义：平面内与两个定点ff2的距离之和为常数 2a(2a | f2f21)的动点p的轨迹叫椭圆，其中两个定点ff2叫椭圆的焦点.当|pf1 |pf2 2a f1f2时，p的轨迹为椭圆；;当|pfi |pf2 2a f1f2时，p的轨迹不存在；当|pf1 |pf2 2a f1f2时，p的轨迹为了a ff2为端点的线段(2)椭圆的第二定义:平面内到定点 f 与定直线_(定点f不在定直线|上)的距离之比是常数e(0 e 1)的点的轨迹为椭圆(利用第二定义，可以实现椭圆上的动点到焦点的距离与到相应准线的距离相互转化).2.椭圆的方程与几何性质标准方程

2、22卜 1(a b 0)22-02- f 1(a b 0)性质参数关系2. 22a b c隹乏 八八八、(c,0),( c,0)(0,c),(0, c)焦距2c范围|x| a,|y| b|y| a,|x| b顶点(a,0),(a,0),(0, b),(0,b)(0, a),(0,a),( b,0),(b,0)对称性关于x轴、y轴和原点对称离心率ce 一 (0,1) a, 准线2 a xc2 ay 一 c考点1椭圆定义及标准方程题型1：椭圆定义的运用例1 (湖北部分重点中学 2009届高三联考)椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点 出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，今有一

3、个水平放置的椭圆形台球盘，点a、b是它的焦点，长轴长为 2a,焦距为2c,静放在点a的小球(小球的半径不计)，从点a沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点a时，小球经过的路程是a. 4ab. 2(a c)c. 2(a+c)d.以上答案均有可能解析按小球的运行路径分三种情况：(1) a c a,此时小球经过的路程为 2(ac);(2) abdba,此时小球经过的路程为 2(a+c);(3) apbqa此时小球经过的路程为4a,故选d【名师指引】考虑小球的运行路径要全面【新题导练】2 一1 .短轴长为 非,离心率e 的椭圆两焦点为fi, f2,过f1作直线交椭圆于 a b两点，则 3 abe的周长

4、为()a.3b.6c.12d.24解析c.长半轴a=3, ab技的周长为4a=1222x y222.已知p为椭圆l 1上的一点，m , n分别为圆(x 3)2 y2 1和圆25 16, 一、22. . . .一 (x 3) y 4上的点，则 pm |pn|的最小值为()a. 5b.7 c . 13 d . 15解析b. 两圆心c、d恰为椭圆的焦点，|pc| |pd| 10, pm pn的最小值为10-1-2=7题型2求椭圆的标准方程例2设椭圆的中心在原点，坐标轴为对称轴，一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4 j2-4,求此椭圆方程.【解题思路】将题中所给条件用

5、关于参数a,b,c的式子“描述”出来2222解析设椭圆的方程为 x2 、1或勺 4 1(a b 0), a2b2b2 a2b c则 a c 4( j2 1),222a b c2222解之得：a4&,b=c=4.则所求的椭圆的方程为21或上匚1.32161632【名师指引】准确把握图形特征，正确转化出参数a,b,c的数量关系.警示1易漏焦点在 y轴上的情况.【新题导练】3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴的椭圆，那么实数 k的取值范围是 解析（0,1）. 椭圆方程化为又 k0, 1- 0k2,即k1.k1,（0,）,讨论方程表示的曲线的形状cos ，方程表示焦点在 y轴上的椭圆,当 一时，

6、sin cos ,方程表示圆心在原点的圆，4当（一,一）时，sin cos，方程表示焦点在 x轴上的椭圆4 25.椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆的点的最短距离是73 ,求这个椭圆方程.a c 3 a 2.3x2 y2、x2 y2、解析广,b 3,所求万程为一+工=1或一+ =1.a 2cc .3129912考点2椭圆的几何性质题型1:求椭圆的离心率（或范围）例3在4abc中， a 300,|ab| 2, s abc j3 .若以a, b为焦点的椭圆经过点c ,则该椭圆的离心率 e .【解题思路】由条件知三角形可解，然后用定义即可求出离心率解析sabc

7、 -| ab| i ac |sina 0(*)2 kmx1+x2= k2+22m- 1x1x2= k2+ 2x1+ x2= 2x2ap = 3 pb x1 = 3x22x1x2= 3x2消去 x2,得 3(x1 + x2)2+ 4x1x2= 0,3( -2kmi 2十2m-整理得 4k2m2+2m2k22=021 ,m=4时,1o上式不成立；m4时，k22-2m24m2- 122 2 2m 0 . k =4mt70，1 f 11m-2 或-m2m22成立，所以(*)成立即所求m的取值范围为(一1, 2) u (1)【名师指引】椭圆与向量、解三角形的交汇问题是高考热点之一，应充分重视向量的功能【

8、新题导练】a、b两点，点q与点p14.设过点p x,y的直线分别与x轴的正半轴和 y轴的正半轴交于关于y轴对称，。为坐标原点，若bp ()3 ooa. -x 3y 1 x 0, y 02c. 3x2 3y2 1 x 0,y 022pa,且oq ab 1,则p点的轨迹方程是3 2-2b. x3y1 x0, y02d.3x23 y21 x0, y02一 33 c解析ab ( -x,3y),oq ( x, y) 3x2 22 一,2 . .一15.如图，在 rt abc, / cab=90 , ab=2 ac= o 一曲线e过点c,动点p在曲线e上运动，且保持| pa+| pb的值不变，直线l经过a

9、与曲线e交于m n两点。(1)建立适当的坐标系，求曲线 e的方程；(2)设直线l的斜率为k,若/ mbm钝角，求k的取值范围。解：(1)以ab所在直线为x轴，ab的中点。为原点建立直角坐标系，0)由题设可得|pa| |pb| |ca| |cb| /22 (j)2 22 322 2 222动点p的轨迹方程为今4 1(a b 0), a2 b2则 a 2,c 1.b , a2 c2 12曲线e方程为y2 1(2)直线mn的方程为y2k(x 1),设m (x1, y1),设m (x1,y1,), n(x2,y2)y k(x 1)由 iz。i。得(12k2)x2 4k2x 2(k2 1) 0一 2 一

10、8k 8 0，方程有两个不等的实数根4k22(k2 1)x1 x22,x1 x222 2k1 2kbm (x1 1,yjbn 小 1区)bm bn (x1 1)(x2 1)yy2(x1 1)(x2 1)k2(x1 1)(x1 1)222(1 k )x1x2(k1)(x1 x2) 1 k(1k2)_22(k1)1 2k2(k21)($)k27k2 11 2k2 / mbn钝角bm bn 0二 02k2解得:b、0n三点不共线综上所述,k的取值范围是(基础巩固训练1.如图所示，椭圆中心在原点,f是左焦点，直线ab1与且 bdb190，则椭圆的离心率为(解析b .(b)ca22.设e、f2为椭圆+y

11、2=14的两焦点,值为a、0c 2d 3解析af1pf2c2ac一 32e上22.6 (v.3t)pf1 pf2 0,23.椭圆362y9a. x2y解析d.2xi36xix28,y14.在 aabc 中,离心率ebf交于d,r p在椭圆上，当 fipf2面积为1 时，pf1pf2的p的纵坐标为学从而p的坐标为1的一条弦被 a(4, 2)平分，那么这条弦所在的直线方程是y 10 0c. 2x y 2 0 d .x 2y 8y21,2x23690oy12 y29y2x1x21,两式相减得：x1 x2 4( y1y2)一xix20,-3 atan b 一.若以 a,4b为焦点的椭圆经过点 c,则该

12、椭圆的解析ab 4k, ac 3k,bc5k,eabac bc 25.已知fi,f2为椭圆的两个焦点,p为椭圆上一点，若pf1f2 : pf2f1 : f1pf21:2:3,则此椭圆的离心率为解析v3 1三角形三边的比是i：j3：226.在平面直角坐标系中，椭圆。为圆心，a为半径y2 1( a b 0)的焦距为2,以b2的圆，过点2a -,0 c作圆的两切线互相垂直，则离心率2解析2 c 综合提高训练7、已知椭圆x2a(a b 0)与过点a(20)，b(0 ,1)的直线l有且只有一个公共点t,且椭圆的离心率e,3, 一.求椭圆方程2解析直线l的方程为:由已知4b2由得:2 y b21x 2得:

13、(b2a2 )x2a2b2 0(4b2a2)(0,即a2 2,b2故椭圆e方程为2匕1128.已知a、b分别是椭圆2 x -2 a上，线段(1)pb与y轴的交点求椭圆的标准方程;2j 1的左右两个焦点, b2m为线段pb的中点。o为坐标原点，点-2 p( 1,)在椭圆2(2)点c是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于工 sin a sin b 缶abc求的值。sinc解析(1)二.点m是线段pb的中点. om是 pab的中位线又 om ab pa ab1a2a工12b,22b c解得 a22,b21,c2 1椭圆的标准方程为2y =1(2)二.点c在椭圆上,a b是椭圆的两个焦点doa解析(i)

14、由题意可得点2设椭圆的标准方程是 x2 a则 2a ac bca,b,c的坐标分别为24 1ab 0 . b2图8 .2,0, ,2,0, , 2,1 .ac+ bc= 2a= 272, ab= 2c= 2bc ac ab在 abc中，由正弦定理， sin a sin b sin c.sin a sinb = bc ac 272 金sinc ab 29.已知长方形 abcd, ab=22,bc=1.以ab的中点。为原点建立如图 8所示的平面直角坐 标系xoy.(i )求以a、b为焦点，且过cc d两点的椭圆的标准方程(n)过点p(0,2)的直线l交(i)中椭圆于m,n两点，是否存在直线1,使得

15、以弦mn为直径的圆恰好过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.2.仁1.222 21 0 2. . 2，2 21 04 2.2a 2222b2 a2 c2 4 2,一一 x2椭圆的标准方程是 一4(n )由题意直线的斜率存在，可设直线l的方程为y kx 2 k设m,n两点的坐标分别为 x1,y1 , x2,y2 .联立方程：y kx 2x2 2y2 4消去y整理得，1 2k2 x2 8kx 4 0有x1x28k2,31 2k2若以mntt/直径的圆恰好过原点41 2k2，则omon，所以 x1x2yy2所以，x1x2kx12 kx2 20,即 1 k2 x1x2 2k x1 x2

16、 4 02_ 241 k16k，八所以，22401 2k 1 2k2即 8 4k 0,1 2k2得 k22,k.2.所以直线l的方程为y j2x 2,或y所以存在过p(0,2)的直线l : yv2x2x 2.2使得以弦mnk;直径的圆恰好过原点参考例题:21、从椭圆斗a2 y b21(a b0）上一点p向x轴引垂线，垂足恰为椭圆的左焦点f1, a为椭圆的右顶点,uuvb是椭圆的上顶点，且abuuvop( 0).、求该椭圆的离心率、若该椭圆的准线方程是uuv解析、q abuuv opx 2 j5 ,求椭圆方程.ab / op , pfioa boa,pfi foi cbo oa apfibeab e,又 p( e, y)c21pf1by ,a ba由 21 2222而 a b e a 2e_2_、qx2、. 5 为准线方程， 2,、5 a2 2 .5e,ea2 2.