数理统计主要知识点

1、数理统计的主要知识点 一.统计量及其抽样分布 (一)统计量的概念1.统计量的定义： 简单地说，统计量就是样本xi的函数，它除xi外不含其它未知参数。2.简单随机抽样：从总体中抽取样本,若它们相互独立同分布,且分布与总体3.相同, 常见的统计量：则称其为简单随机抽样。(1)样本均值：xnxi(2)样本方差：s2nxii 1(3)样本k阶原点距:aknkxii 1(4)样本k阶中心距:bk1 n一 xi n i 13(二)抽样分布的结构和性质1 .2分布：若x1x2,x n是来自总体 x的简单随机抽样，且0,1,则随机变量2 = x12x2x :,此时称其分布为自由度为 n的2分布，记性质：e 2

2、2n2. f分布：若x 22 ,n , y m ,且x与y相互独立，记随机变量x ny mf,称其分布为自由度为n与m的f分布，记f f n, m性质：f n, m1f1 m, n3. t分布:设随机变量 x与y相互独立，且xn 0,1 , y 2 n ,则称tx 的分布为自由度为 n的ynt分布，记tt n性质：自由度为1的t分布是标准柯西分布，它的均值不存在;n 1时，t分布的数学期望存在且为 0；n 1时，t分布的方差存在且为n 2当自由度较大时，t分布可以用n 0,1近似。参数估计:（一）点估计:1 .矩估计：（替换原理）一般地：用样本均值估计总体均值；即e x x1n - 2用样本二

3、阶中心矩估计总体方差；d x s2 -xi xn i i用事件a出现的频率估计事件 a发生的概率。2 .极大似然估计：若总体的概率函数为f x,）,求极大似然估计的基本思路:写出极大似然函数 l f x1,f x2,f xn,取对数（此步骤仅为简化求导计算）求导数，并令其为 0,求出估计值 ？性质：若？是 的极大似然估计，则对任一函数g ,其极大似然估计为 g ?3 .点估计的评价标准：相合性：若lim p ?0则称？是 的相合估计。n备注：一般计算时，只要lim e ?, lim d ?0,则？就是 的相合估计nn无偏性:若e ? ，则？就是 的无偏估计。若止态总体n2,1.已知时，的置信度

4、1的置信区间为：2.未知时，的置信度1的置信区间为:3.未知时，2的置信度1的置信区间为有效性：若？，？2都是 的估计值，只要d ?1d ?2 ,则称？比？2有效（二）区间估计 （单个正态总体下，参数的置信区间）x u , x u.n 2 n 2一 ss .,x tn 1 , x t n 1 n n in 1 s2(n 1)s22,2(n 1)1(n 1)1 22三.假设检验：（1） 概念：1 .检验统计量2 .拒绝域3 .显著性水平，临界值。4 .两种错误：第一种错误：拒真，记 p犯第一种错误 =p拒绝h0h0成立 其中 是显著性水平。第二种错误：取伪，记 p犯第一种错误 =p接收h 0 h 0不成立注意：当样本容量 n一定时，一类错误的概率减少将导致另一类错误的概率增加（2） 假设检验的基本步骤：1 .根据实际问题提出原假设 h 0以及备择假设h 12 .选取适当的检验统计量3 .选取适当的显著性水平，求得对原假设 h 0的拒绝域 w4 .根据样本值计算统计量的值，若落入w ,则h0不真，拒绝h 0,接受备择假设h1 ,否则接受h（三）单个正态总体下，参数的假设检验1. u-检验：已知时，的检验:检验统计量:拒绝域：w , u u222. t-检验：未知时，的检验：检验统计量：t拒绝域：w ,