2.4.3综合法与反证法

1、2.4.32.4.3 综合法与反证法综合法与反证法 例例5 5 如图如图2-8，平行四边形，平行四边形abcd的两条对角线的的两条对角线的交点为交点为o，过点，过点o作一条直线分别与边作一条直线分别与边ab，dc交于交于点点e，f. oe=of吗？你能给出证明吗？吗？你能给出证明吗？动脑筋动脑筋oe = of .图图2-8证明证明: abdc，( (平行四边形的定义平行四边形的定义) )图图2-8 1=2.( (两直线平行，内错角相等两直线平行，内错角相等) )在在oae与与ocf中，中， 1=2，3=4，( (对顶角相等对顶角相等) ) oa=oc，( (平行四边形的对角线互相平分平行四边形

2、的对角线互相平分) )oae ocf.( (角边角角边角) )从而从而oe=of.( (全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) ) 做一做做一做 你能利用你能利用“平行四边形是中心对称图形，对角平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心线的交点是它的对称中心”这条性质，来证明上题这条性质，来证明上题结论结论oe=of吗？吗？ 图图2-8举举例例例例6 已知：如图已知：如图2-9，在，在abc中，边中，边ab，bc，ac的的 中点分别为中点分别为d，e，f，连接，连接df，fe.图图2-9 求证：（求证：（1）四边形）四边形befd是平行四边形；是平行四边形； （2）四边形）四

3、边形befd的周长等于的周长等于ab+bc.图图2-9 （1）四边形）四边形befd是平行四边形；是平行四边形；证明证明:df是是abc的一条中位线，的一条中位线，dfbc，df= bc.( (三角形中位线定理三角形中位线定理) ) 同理同理 feab，fe= ab 因此四边形因此四边形befd是平行四边形是平行四边形.( (平行四边平行四边 形的定义形的定义) )1212 （2）四边形）四边形befd的周长等于的周长等于ab+bc.证明证明: 由于平行四边形的对边相等，由于平行四边形的对边相等，因此四边形因此四边形befd的周长等于的周长等于112+= 222 = ()()dffebc+ab

4、 .bc+ ab做一做做一做已知：如图已知：如图2-10，在，在abc中，中，d，e，f分别是边分别是边 ab，ac，bc的中点，连接的中点，连接de，af 求证：求证：af与与de互相平分互相平分 图图2-10证明证明:连接连接 ， ， . ( ( ) )同理同理 . 因此四边形因此四边形 是是 . .( ( ) )从而从而 .( ( ) ) df，efe，f分别为分别为ac，bc的中点的中点efab中位线定理中位线定理dfacadfe平行四边形平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形两组对边分别平行的四边形是平行四边形de与与af互相平分互相平分平行四边形两对角线互相平分平行四边形两

5、对角线互相平分图图2-10结论结论由此我们可以得到下面的结论：由此我们可以得到下面的结论： 三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.练习练习1. 证明：平行四边形的两条对角线的交点到一组证明：平行四边形的两条对角线的交点到一组 对边的距离相等对边的距离相等 已知：平行四边形已知：平行四边形abcd的对角线的对角线ac与与bd 相交于相交于o，ef过过o，且，且efab于于e， efcd于于f.求证：求证：oe=of.证明：在证明：在ocf和和oae中，中，1=2， 4=3，ao=oc， ocf oae. oe = of.2. 证明：四个角都相等的四

6、边形是矩形证明：四个角都相等的四边形是矩形. 提示提示: 利用四边形的内角和为利用四边形的内角和为360，证每一个角为证每一个角为90.因为每个角都为直角的四边形是矩形因为每个角都为直角的四边形是矩形.说一说说一说 等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？等腰梯形在同一底上的两个角有什么关系？ 相等相等. 举举例例例例5 证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距 离相等离相等已知：如图已知：如图2-11，在等腰梯形，在等腰梯形abcd中，上底中，上底dc的的 中点为中点为e，连接，连接ea，eb 求证：求证：ea=eb证明证明: 在在ade与与bce中，中

7、，图图2-11 ad=bc，( (等腰梯形的定义等腰梯形的定义) ) de=ce，( (已知已知) ) d=c，( (等腰梯形在同一底上的两个角相等等腰梯形在同一底上的两个角相等) ) ade bce.(.(边角边边角边) ) 从而从而 ea=eb.(.(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等) )做一做做一做 剪一个三角形纸片，用折叠的方法找出每一剪一个三角形纸片，用折叠的方法找出每一条边的垂直平分线，从三条折痕看出，它们是否条边的垂直平分线，从三条折痕看出，它们是否相交于一点？由此你能作出什么猜测？你能证明相交于一点？由此你能作出什么猜测？你能证明这个猜测为真吗？这个猜测为真吗？ 证

8、明思路是：去证三角形两条边的垂直平分证明思路是：去证三角形两条边的垂直平分线的交点在第三条边的垂直平分线上线的交点在第三条边的垂直平分线上. . 举举例例例例6 已知：如图已知：如图2-12，在，在abc中，边中，边ab，bc的的 垂直平分线相交于点垂直平分线相交于点o 求证：点求证：点o在边在边ac的垂直平分线上的垂直平分线上 证明证明 连接连接oa，ob，oc 点点o在线段在线段ab的垂直平分线上，的垂直平分线上， oa=ob.( (垂直平分线的性质定理垂直平分线的性质定理) ) 同理同理 oc=ob. 因此因此 oa=oc.( (等量代换等量代换) ) 从而点从而点o在线段在线段ac的垂

9、直平分线上的垂直平分线上.( (到线段两到线段两 端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上) )图图2-12结论结论从例从例6 6立即得到立即得到: : 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等且这一点到三个顶点的距离相等 举举例例例例7 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁 内角不互补，那么这两条直线必相交内角不互补，那么这两条直线必相交. 已知：如图已知：如图2-13，直线，直线ab，cd被直线被直线mn所截，所截， 同旁内角同旁内角1和和2不

10、互补不互补. 求证：直线求证：直线ab与与cd相交相交. 图图2-13证明证明 假如直线假如直线ab与与cd不相交，不相交，图图2-13则它们没有公共点，则它们没有公共点，从而从而abcd.于是于是1与与2互补互补( (两直线平行，两直线平行， 同旁内角互补同旁内角互补).).这与已知条件矛盾这与已知条件矛盾. .因此直线因此直线ab与与cd相交相交. 结论结论 像例像例7那样，先假设命题的结论不成立，然后经那样，先假设命题的结论不成立，然后经过推理，得出了矛盾的结果，从而证明命题的结论过推理，得出了矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为一定成立，这种证明方法称为反证法反证法

11、. 练习练习1. 已知：在已知：在abc中，中，a与与b的平分线相交于点的平分线相交于点o. 求证：点求证：点o在在c的平分线上的平分线上. 证明证明:过过o作作odac于于d，oeab于于e，ofbc于于f.o在在a的平分线上，的平分线上，od=oe.同理同理oe=of，od=of， o在在c的平分线上的平分线上.2. 从第从第1题中，你能得出什么结论呢？题中，你能得出什么结论呢？ 答：三角形的三条角平分线相交于答：三角形的三条角平分线相交于 一点，并且这一点到三边的距一点，并且这一点到三边的距 离相等离相等.1. 已知：在已知：在abc中，中，a与与b的平分线相交于点的平分线相交于点o.

12、求证：点求证：点o在在c的平分线上的平分线上. 3. 证明：两条直线被第三条直线所截，如果同证明：两条直线被第三条直线所截，如果同位角不相等，那么这两条直线必相交位角不相等，那么这两条直线必相交 已知：已知：ab，cd被直线被直线mn所截，同位角所截，同位角1， 2不相等不相等.求证：求证：ab与与cd相交相交.证明：假如直线证明：假如直线ab与与cd不相交，则它们无公共不相交，则它们无公共 点，从而点，从而abcd，于是，于是1=2，与已，与已 知矛盾知矛盾. 因此因此ab与与cd必相交必相交.中考中考 试题试题例例1 如图如图1，已知：在，已知：在abc中，中，ab=ac，在，在ab上取点

13、上取点d，又在，又在ac延长线上取点延长线上取点e，使，使ce=bd，连接，连接de交交bc于于g点点. 求证：求证：dg=ge.解解过点过点d作作dfac交交bc于于f点点. . dfac, ,dfb=acb. 又又ab=ac, ,b=acb.b=dfb. df=db.bd=ce, , df=ce. dfce. dfg=ecg.在在dfg和和ecg中，中， dfg ecg( (aas). ). dg=ge.dgf =egc，dfg =ecg, , df = ec, ,中考中考 试题试题例例2 如图，已知：如图，已知：ad=bc，ab=dc，de=bf. 求证：求证：be=df.解解连接连接b

14、d，在在abd与与cbd中，中， abd cbd( (sss) ). a=c.ad=bc, ,de=bf, ,ad+de=bc+bf.即即ae=cf.在在abe与与cdf中，中， abe cdf( (sas) ).be=df.ad = cb，ab = cd, ,db = bd, ,ae = cf，a = c, ,ab = cd, ,中考中考 试题试题例例3 如图，点如图，点c、d在在abe的边的边be上，上，bc=ed，ab=ae. 求证：求证：ac=ad.解解过点过点a作作afbe, ,垂足为点垂足为点f. .ab=ae，bf=ef.又又bc=ed，cf=df, ,af垂直平分垂直平分cd， ac=ad. .课堂小结 找出一个例子，它符合命题的条件，但它不符找出一个例子，它符合命题的条件，但它不符合命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程合命题的结论，从而判断这个命题为假，这个过程叫作叫作举反例举反