微积分课件：2-2函数的极限

1、一、一、自变量趋于无穷大时函数的极限自变量趋于无穷大时函数的极限 二、二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限 第二节第二节 函数的极限函数的极限 在自变量的某个变化过程中，如果对应的函在自变量的某个变化过程中，如果对应的函数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定数值无限接近于某个确定的常数，那么这个确定的数叫做自变量在这一变化过程中的数叫做自变量在这一变化过程中函数的极限函数的极限。 下面，我们将主要研究以下两种情形：下面，我们将主要研究以下两种情形：；的变化情形的变化情形对应的函数值对应的函数值无限增大无限增大的绝对值的绝对值自变量自变量)(, )()2(xfxxx

2、(1)；的变化情形的变化情形对应的函数值对应的函数值任意接近于有限值任意接近于有限值自变量自变量)(, )()1(00 xfxxxx(2).sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、一、 自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的过程的过程表示表示 xXx. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:问题问

3、题: 如何用数学语言刻划函数如何用数学语言刻划函数“无限接近无限接近”.定义定义X .)(, 0, 0 AxfXxX恒恒有有时时使使当当 Axfx)(limxxysin 例例1. 0sinlim xxx证明证明证证xxxxsin0sin 1x , 0 ,1 X取取时恒有时恒有则当则当Xx ,0sin xx. 0sinlim xxx故故.)(,)(lim:的图形的水平渐近线的图形的水平渐近线是函数是函数则直线则直线如果如果定义定义xfycycxfx (horizontal asymptote):.10情形情形x.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当:.20情形情形x Axfx)(l

4、im.)(, 0, 0 AxfXxX恒有恒有时时使当使当 Axfx)(lim2. 另两种情形另两种情形: Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且xxysin 3. 几何解释几何解释: A AX X.2,)(,的的带带形形区区域域内内宽宽为为为为中中心心线线直直线线图图形形完完全全落落在在以以函函数数时时或或当当 AyxfyXxXxA二、二、自变量趋于有限值时函数的极限自变量趋于有限值时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在0 xx 的的过过程程中中,对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 A.;)()(任意小任意小表示表示Axf

5、Axf .000的过程的过程表示表示xxxx x0 x 0 x 0 x ,0邻域邻域的去心的去心点点 x.0程度程度接近接近体现体现xx 定义定义 .)(,0, 0, 00 Axfxx恒有恒有时时使当使当几何解释几何解释:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线线线图形完全落在以直图形完全落在以直函数函数域时域时邻邻的去心的去心在在当当 Ayxfyxx 注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定义义无无关关在在点点函函数数极极限限与与xxf. 2有有关关与与任任意意给给定定的的正正数数 ., 也也不不需需要要取取到到最最大大的的并

6、并不不唯唯一一显显然然例例2).( ,lim0为常数为常数证明证明CCCxx 证证Axf )(CC ,成立成立 , 0 任给任给0 .lim0CCxx , 0 任取任取,00时时当当 xx例例3.lim00 xxxx 证明证明证证,)(0 xxAxf , 0 任给任给, 取取,00时时当当 xx0)(xxAxf ,成立成立 .lim00 xxxx 例例4. 211lim21 xxx证明证明证证211)(2 xxAxf, 0 任给任给, 只只要要取取0-1,当时x函数在点函数在点x=1处没有定义处没有定义.1 x,)( Axf要使要使,2112 xx就有就有. 211lim21 xxx例例5.l

7、im00 xxxx 证证0)(xxAxf , 0 任给任给min,取00 xx ,00时时当当 xx00 xxxx ,)( Axf要使要使,0 xx就有就有,00 xxx .00只要 xxx .lim,0:000 xxxxx 时时当当证明证明3.单侧极限单侧极限(one-sided limit):例如例如,. 1)(lim0, 10,1)(02 xfxxxxxfx证明证明设设两种情况分别讨论两种情况分别讨论和和分分00 xx,0 xx从从左左侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记作记作,0 xx从从右右侧侧无无限限趋趋近近;0 xx记作记作yox1xy 112 xy左极限左极限.)(, 0, 000

8、 Axfxxx恒有恒有时时使当使当右极限右极限.)(, 0, 000 Axfxxx恒有恒有时时使当使当000000:xxxxxxxxx注意0000lim( )()(- ).xxf xAf xAf xA记作或或0000lim ( )()(+ ).xxf xAf xAf xA记作或或(right-hand limit)(left-hand limit).)()()(lim:000AxfxfAxfxx 定理定理.lim0不存在不存在验证验证xxxyx11 oxxxxxx 00limlim左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等,.)(lim0不存在不存在xfx例例6证证1)1(lim0 xxxxxx

9、x 00limlim11lim0 x三、函数极限的性质三、函数极限的性质定理定理2（函数极限的局部有界性函数极限的局部有界性）定理定理1（函数极限的唯一性函数极限的唯一性）如如果果)(lim0 xfxx存存在在,则则这这个个极极限限唯唯一一. 如如 果果)(lim0 xfxx存存 在在 , 那那 么么 存存 在在 常常 数数00 和和M，使使得得当当 00 xx时时，有有Mxf )(. .2)(,),(),(, 0)(lim0000AxfxUxxUxAxfxx 就有就有时时当当邻域邻域的某一去心的某一去心则存在则存在若若 ).0)(0)(,0, 0),0(0,)(lim00 xfxfxxAAA

10、xfxx或或时时使得当使得当则存在常数则存在常数或或且且若若 定理定理3 (函数极限的局部保号性函数极限的局部保号性).0(0),0)(0)(,),(, 0,)(lim000 AAxfxfxUxAxfxx或或则则或或时时当当且且若若 推论推论定理定理30lim()xxfxA 若若定理定理4对于任意的对于任意的 且且 ，恒有，恒有 0nxxlim()nnfxA 0nxx xy1sin 例例7.1sinlim0不存在不存在证明证明xx证证 ,1 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 ,2141 nxn取取, 0lim nnx; 0 nx且且 nxnnnsinlim1sinlim 而而,

11、1 214sinlim1sinlim nxnnn而而1lim n二者不相等二者不相等,.1sinlim0不存在不存在故故xx, 0 四、小结四、小结 思考题思考题函数极限的统一定义函数极限的统一定义;)(limAnfn ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(limAxfx ;)(lim0Axfxx ;)(lim0Axfxx .)(lim0Axfxx .)(, 0)(lim AxfAxf恒有恒有从此时刻以后从此时刻以后时刻时刻(见下表见下表)过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 n xxxNNn Nx Nx Nx )(xf Axf)(0 xx 00 xx 0 xx 0 xx

12、00 xx00 xx过过 程程时时 刻刻从此时刻以后从此时刻以后 )(xf Axf)(思考题思考题试试问问函函数数 0,50,100,1sin)(2xxxxxxxf在在0 x处处的的左左、右右极极限限是是否否存存在在？当当0 x时时，)(xf的的极极限限是是否否存存在在？思考题解答思考题解答 )(lim0 xfx, 5)5(lim20 xx左极限存在左极限存在, )(lim0 xfx, 01sinlim0 xxx右极限存在右极限存在, )(lim0 xfx)(lim0 xfx )(lim0 xfx不存在不存在.01. 01_131. 222yzxzxxyx，必有时，只要取，问当时，当.001.

13、 0420_42. 12yxxyx，必有只要时，取，问当时，当证明：证明：二、用函数极限的定义二、用函数极限的定义一、填空题一、填空题:0sinlim. 221241lim. 1221xxxxxx练练 习习 题题.)(:0极限各自存在并且相等极限各自存在并且相等必要条件是左极限、右必要条件是左极限、右时极限存在的充分时极限存在的充分当当函数函数三、试证三、试证xxxf?0)(存存在在时时的的极极限限是是否否在在四四、讨讨论论：函函数数 xxxx 练习题答案练习题答案.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2. 自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2. 自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2. 自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx2. 自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观