填空题的做法第二讲改

1、第第2讲讲 填空题的做法填空题的做法 1.填空题的类型填空题的类型填空题具有小巧灵活、结填空题具有小巧灵活、结 构简单、概念性强、运算构简单、概念性强、运算量不大、不需要写出求解量不大、不需要写出求解 过程而只需要写出结论等过程而只需要写出结论等特点特点.从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，从填写内容看，主要有两类：一类是定量填写，一类是定性填写一类是定性填写.2.填空题的特征填空题的特征只需要将只需要将 结论直接写出的结论直接写出的“求解题求解题”.填空题与选择题也有质的区别：填空题与选择题也有质的区别：第一，表现为填空题没有备选项，第一，表现为填空题没有备选项，第二，填空题的结构往往

2、是在一个正确的命题第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题 或断言中，抽出其中的一些内容（既可以是条件，或断言中，抽出其中的一些内容（既可以是条件， 也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考也可以是结论），留下空位，让考生独立填上，考 查方法比较灵活查方法比较灵活.3.解填空题的基本原则解填空题的基本原则 解填空题的基本原则是解填空题的基本原则是“小题不能大做小题不能大做”，基本策略，基本策略是是 “巧做巧做”.解填空题的常用方法有：直接法、特例法、解填空题的常用方法有：直接法、特例法、数数 形结合法等形结合法等.一、一、 直接法直接法 例例1 1 （20092009海口模拟）在等差数列海

3、口模拟）在等差数列 a an n 中，中，a a1 1=-3=-3，1111a a5 5=5=5a a8 8-13-13，则数列，则数列 a an n 的前的前n n项和项和s sn n的最小值为的最小值为 . .思维启迪思维启迪 计算出基本量计算出基本量d d，找到转折项即可，找到转折项即可. .解析解析 设公差为设公差为d d，则，则11(-3+411(-3+4d d)=5(-3+7)=5(-3+7d d)-13)-13，d d= .= .数列数列 a an n 为递增数列为递增数列. .令令a an n00，-3+-3+（n n-1-1） 0 0，n n ，n nn n* *，前前6 6

4、项均为负值，项均为负值，s sn n的最小值为的最小值为s s6 6=- .=- .答案答案 9595532329329变式训练变式训练1 1 （20092009全国全国理，理，1414）设等差数列）设等差数列 a an n 的前的前n n项和为项和为s sn n, ,若若s s9 9=72=72，则，则a a2 2+ +a a4 4+ +a a9 9= = . .解析解析 设等差数列的首项为设等差数列的首项为a a1 1，公差为，公差为d d, ,则则a a2 2+ +a a4 4+ +a a9 9= =a a1 1+ +d d+ +a a1 1+3+3d d+ +a a1 1+8+8d d

5、=3(=3(a a1 1+4+4d d),),又又s s9 9=72=72，s s9 9=9=9a a1 1+ + d d=9(=9(a a1 1+4+4d d)=72,)=72,a a1 1+4+4d d=8,=8,a a2 2+ +a a4 4+ +a a9 9=24. =24. 2424289二、二、 特例法特例法 例例2 2 （20092009东营调研）在东营调研）在abcabc中，角中，角a a、b b、c c所所对的边分别为对的边分别为a a、b b、c c，如果，如果a a、b b、c c成等差数列，则成等差数列，则 = = . .思维启迪思维启迪 由题意知，本题结果与由题意知，

6、本题结果与abcabc的形状无关，的形状无关，只需取符合要求的特殊值即可只需取符合要求的特殊值即可. .cacacoscos1coscos解析解析 方法一方法一 取特殊值取特殊值a=3,b=4,c=5，则则cos a a= ,cos c c=0, .方法二方法二 取特殊角取特殊角a=b=c= ,cos a=cos c= , . 答案答案 5454coscos1coscoscaca32154coscos1coscoscaca54探究提高探究提高 当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，当填空题题设条件中虽含有某些不确定量，但填空题结论唯一或题设条件暗示答案为定值时，但填空题结论唯一或题设条件暗示答

7、案为定值时，可以考虑采用特殊化技巧可以考虑采用特殊化技巧.在解题过程中，将题中变在解题过程中，将题中变化的不定量选取适当特殊值（或特殊函数、特殊角、化的不定量选取适当特殊值（或特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位特殊数列、特殊方程、特殊模型，或图形的特殊位置，特殊点等）进行处理，从而快速得出结论，大置，特殊点等）进行处理，从而快速得出结论，大大简化推理论证过程大简化推理论证过程. 变式训练变式训练2 2 已知直线已知直线axax+ +byby+ +c c=0=0与圆与圆o o：x x2 2+ +y y2 2=1=1相交相交于于a a、b b两点，且两点，且| |aba

8、b|= |= ，则，则 = = . .解析解析 特殊化，取特殊化，取a a=1,=1,b b=0,=0,c c=- ,=- ,设设a a（x x1 1, ,y y1 1）, ,b b( (x x2 2, ,y y2 2) )，则，则x x1 1= =x x2 2= ,= ,y y1 1y y2 2=- =- =- , =- , = =x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2= - =- .= - =- .3oa oboa ob212123234321214143三、三、 转化法转化法 有的题目可以将命题转化，使问题化繁为简、化陌有的题目可以将命题转化，使问题化繁为简、化陌生为熟悉

9、，从而将问题解决生为熟悉，从而将问题解决.例例3 3 若数列若数列 a an n 中，中，a a1 1=1,=1,a an n+1+1=3=3s sn n( (n n1)1)，则，则s sn n= = . .解析解析 方法一方法一 a an n+1+1=3=3s sn n( (n n1),1),a an n=3=3s sn n-1-1( (n n2),2),- -得得a an n+1+1- -a an n=3(=3(s sn n- -s sn n-1-1)=3)=3a an n( (n n2),2),a an n+1+1=4=4a an n( (n n2)2)，又，又a a2 2=3=3s s

10、1 1=3=3a a1 1=3=3， =4(=4(n n2)2)，a a2 2, ,a a3 3,a an n是首项为是首项为3 3，公比，公比为为4 4的等比数列，的等比数列，nnaa1s sn n= =当当n n=1=1时，时，4 4n n-1-1=1=1，即，即s sn n=4=4n n-1-1( (n n1).1).方法二方法二 a an n+1+1=3=3s sn n( (n n1)1)，s sn n+1+1- -s sn n=3=3s sn n（n n11），即），即s sn n+1+1=4=4s sn n（n n11），），又又s s1 1= =a a1 1=1=1， =4 =4

11、（n n11），），即即 s sn n 是首项为是首项为1 1，公比为，公比为4 4的等比数列的等比数列. .s sn n=4=4n n-1-1（n n11）. .).2(441)41 (31),1(111nnnnnnss1答案答案 4n-1探究提高探究提高 以上两种解法体现了对关系式以上两种解法体现了对关系式a an n+1=3s sn n（n n1）的两种不同的处理方法，方法一是消去）的两种不同的处理方法，方法一是消去s sn n，此时要用变量观点看待关系式此时要用变量观点看待关系式an+1=3sn（n1），先），先得到其姊妹式得到其姊妹式an=3sn-1（n n2），然后通过两式相减），

12、然后通过两式相减得到得到a an n+1与与an的关系式，再对的关系式，再对an+1与与an的关系式进行处的关系式进行处理，求出理，求出an的通项公式，进而求出的通项公式，进而求出sn n.方法二是利用方法二是利用an+1=sn n+1-sn n消去消去an+1从而得到从而得到sn+1与与sn的关系式，通过的关系式，通过研究数列研究数列sn的特性，再求出其通项公式的特性，再求出其通项公式.变式训练变式训练3 3 二次函数二次函数y y= =axax2 2+ +bxbx+ +c c( (x xr r) )的部分对应值的部分对应值如下表：如下表：则不等式则不等式axax2 2+ +bxbx+ +c

13、c0 0的解集是的解集是 . .解析解析 据表中可得据表中可得c c=-6,=-6,axax2 2+ +bxbx+ +c c=0=0的两根分别为的两根分别为x x1 1=-2,=-2,x x2 2=3, =-6=3, =-6得得a a=1,- =-2+3=1,- =-2+3得得b b=-1=-1y y= =x x2 2- -x x-6,-6,x x2 2- -x x-6-6 0 0的解集是的解集是(-,-2)(3,+).(-,-2)(3,+).(-,-2)(3,+)(-,-2)(3,+)x-3-2-10234y60-4-6-406acab四、四、 图象分析法（数形结合法）图象分析法（数形结合法

14、） 依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用依据特殊数量关系所对应的图形位置、特征，利用图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，图形直观性求解的填空题，称为图象分析型填空题，这类问题的几何意义一般较为明显这类问题的几何意义一般较为明显.例例4 4 已知已知a a=x x|-2|-2x xa a ，b b=y y| |y y=2=2x x+3+3，x xa a ，c c=z z| |z z= =x x2 2，且，且x xa a ，若，若c cb b，则实数，则实数a a的取值范的取值范围为围为 . .解析解析 y y=2=2x x+3+3在在-2,-2,a a上是增函数，上是增函数，-

15、1-1y y22a a+3+3，即，即b b=y y|-1|-1y y22a a+3.+3.作出作出z z= =x x2 2的图象，该函数定义域右端点的图象，该函数定义域右端点x x= =a a有三种有三种不同的位置情况如图所示不同的位置情况如图所示. .答案答案 （-,-2-,-2） ,3探究提高探究提高 解决集合问题首先要看清元素究竟是什解决集合问题首先要看清元素究竟是什么，然后把集合语言么，然后把集合语言“翻译翻译”为一般的数学语言，为一般的数学语言，进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语进而分析条件与结论的特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决言，利用数形结合的思想

16、来解决. .21变式训练变式训练4 4 若若a a00，b b00，且当，且当 时，恒时，恒有有axax+ +byby11，则以，则以a a，b b为坐标的点为坐标的点p p（a a，b b）所形成）所形成的平面区域的面积等于的平面区域的面积等于 . .解析解析 平面区域如图所示，平面区域如图所示， 1, 0, 0yxyx令目标函数令目标函数z z= =ax+byax+by, ,恒有恒有axax+ +byby11，z zmaxmax11，而，而z z= =axax+ +byby是一组斜率为是一组斜率为- - 的直线，因为的直线，因为bb0 0，所以直线越向上，所以直线越向上z z值越大，值越大

17、，当当- - -1-1时，时，z z在在a a点取最大，点取最大，z zmaxmax= =b b1,1,当当- - -1-1时，时，z z在在b b点取最大值点取最大值z zmaxmax= =a a11，a a, ,b b满足满足 平面区域为边长为平面区域为边长为1 1的正方形，面的正方形，面积为积为1.1.ba, 1, 1, 0, 0babababa答案答案 1五、五、 构造法构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解

18、决，它来过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决速解决.例例5 5 函数函数f f( (x x)= )= 的最大值为的最大值为mm，最小值为最小值为m m，则，则mm+ +m m= = . .解析解析 分子和分母同次的特点，分子展开，得到

19、部分子和分母同次的特点，分子展开，得到部分分式分分式, ,f f( (x x)=1+ ,)=1+ ,f f( (x x)-1)-1为奇函数，为奇函数，则则m m-1=-1=-（mm-1-1），），mm+ +m m=2.=2.xxxxxcos22)4sin(222xxxxcos2sin22 2探究提高探究提高 整体思考，联想奇函数，利用其对称性简整体思考，联想奇函数，利用其对称性简化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用化求解，这是整体观念与构造思维的一种应用.注意注意到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的到分式类函数的结构特征，借助分式类函数最值的处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为

20、奇函处理方法，部分分式法，变形发现辅助函数为奇函数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单数，整体处理最大值和最小值的问题以使问题简单化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性化，这种构造特殊函数模型的方法来源于对函数性质应用的深刻理解质应用的深刻理解. 变式训练变式训练5 已知定义在已知定义在r r上的函数上的函数y=fy=f（x x）满足满足f f（x+x+ ）=-f f（x）且函数且函数y=f（x- ）为奇函数，则下）为奇函数，则下列命题中错误的是列命题中错误的是 .函数函数f f（x x）的最小正周期是的最小正周期是3函数函数f f（x x）的图象关于点（的图象关于点（- ,0）对

21、称）对称函数函数f f（x x）的图象关于的图象关于y y轴对称轴对称方程方程f f（x x）=0在区间在区间0，2 004上恰有上恰有668个根个根解析解析 方法一方法一 （逆向思维法）由（逆向思维法）由f f（x+ ）=-f(x),得得f（x+3）=f（x）,故为真；因函数故为真；因函数y=f（x- ）为奇）为奇函数，其图象关于原点函数，其图象关于原点o对称，将对称，将y=f（x- ）的图象）的图象向左平向左平234343234343移移 个单位，得到个单位，得到y y=f(x) ，所以函数，所以函数y=f(x)的图象关于点的图象关于点（- ,0）对称，为真；由）对称，为真；由y=f（x-

22、 ）为奇函数，）为奇函数，得得f f（-x x- ）=-f（x x- ）,用用x x- 替换上式中的替换上式中的x x,得得f f（-x x）=-f f（x x- ）.又知又知f f（x- + ）=-f（x x- ）,则则f(-x)=f(x),即即f f（x x）为偶函数，为偶函数，则为真；对，由、，画出图形，不难判断在则为真；对，由、，画出图形，不难判断在区间区间0，2 004上有上有1 336个根个根.方法二方法二 （构造函数法）由题意构造函数（构造函数法）由题意构造函数f f(x)=sin（ x x+ ）+k，因为，因为f(x)的最小正周期为的最小正周期为3，所以，所以 = ，因为函数，

23、因为函数y=f（x- ）为奇函数为奇函数,所以所以f f（-x- ）43434343432323232332434343=-f(x- )，所以所以sin (-x- )+ +k=-sin (x- )+ -k,所以所以k =0, = ，所以所以f (x)=-cos x，易易知选项、为真，故选知选项、为真，故选4332433243232答案答案 规律方法总结规律方法总结1.解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于解填空题的一般方法是直接法，除此以外，对于带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线带有一般性命题的填空题可采用特例法，和图形、曲线等有关的命题可考虑数形结合法等有关的命题可考虑数形

24、结合法.解题时，常常需要几种解题时，常常需要几种方法综合使用，才能迅速得到正确的结果方法综合使用，才能迅速得到正确的结果.2.解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否解填空题不要求求解过程，从而结论是判断是否正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：正确的唯一标准，因此解填空题时要注意如下几个方面：（1）要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计）要认真审题，明确要求，思维严谨、周密，计算有据、准确；算有据、准确；（2）要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；）要尽量利用已知的定理、性质及已有的结论；（3）要重视对所求结果的检验）要重视对所求结果的检验.1.1.（20092009北京理

25、，北京理，1414）已知数列）已知数列 a an n 满足：满足：a a4 4n n-3-3 =1,=1,a a4 4n n-1-1=0,=0,a a2 2n n= =a an n, ,n nn n* *, ,则则a a2 0092 009= = , ,a a2 0142 014= = . . 解析解析 a a2 0092 009= =a a4 4503-3503-3=1,=1,a a2 0142 014= =a a1 0071 007= =a a2522524-14-1=0.=0.1 10 02.2.已知函数已知函数f f( (x x)= ,)= ,那么那么f f(1)+(1)+f f(2)

26、+(2)+f f(3)+(3)+f f(4)+(4)+f f + +f f + +f f = = . . 解析解析 f f（x x）+ +f f = = = =1 = =1 f f（1 1）+ +f f（1 1）= =f f（2 2）+ +f f = =f f（3 3）+ +f f = =f f（4 4）+ +f f =1.=1.原式原式= =221xx)21()31()41()1(x2222)1(1)1(1xxxx111222xxx)21()31()41(27273.3.曲线方程曲线方程| |x x2 2-1|=-1|=x x+ +k k的实根随的实根随k k的变化而变化，那的变化而变化，那

27、 么它的实根的个数最多有么它的实根的个数最多有 个个. . 解析解析 如图所示，参数如图所示，参数k k是直线是直线 y y= =x x+ +k k在在y y轴上的截距，通过观察轴上的截距，通过观察 直线直线y y= =x x+ +k k与与y y=|=|x x2 2-1|-1|的公共点的的公共点的 变化情况，并通过计算可知，当变化情况，并通过计算可知，当 k k -1-1时，有时，有0 0个实根；当个实根；当k k=-1=-1时，时， 有有1 1个实根；当个实根；当-1-1 k k 1 1时，有时，有2 2个实根；个实根； 当当k k=1=1时，有时，有3 3个实根；当个实根；当1 1 k

28、k 时，有时，有2 2个实根个实根. . 综上所述，可知实根个数最多为综上所述，可知实根个数最多为4 4个个. .4545454 44.4.离心率为黄金比离心率为黄金比 的椭圆称为的椭圆称为“优美椭圆优美椭圆”. . 设设 =1(=1(abab0)0)是优美椭圆，是优美椭圆，f f、a a分别是它分别是它 的左焦点和右顶点，的左焦点和右顶点，b b是它的短轴的一个端点，则是它的短轴的一个端点，则 abf abf = = . . 解析解析 本题主要考查本题主要考查“优美椭圆优美椭圆”的相关知识，的相关知识， 它必然具有椭圆的相关性质，不妨设它必然具有椭圆的相关性质，不妨设c c= -1= -1，

29、 a a=2=2，b b为椭圆的短轴的一个上端点，则为椭圆的短轴的一个上端点，则b b= .= . 有有f f（1- 1- ，0 0），），a a（2 2，0 0），），b b（0 0， ）. . 所以所以 = =（2 2，- - ）, , =(1- ,- ).=(1- ,- ). 则则 =0 =0，所以夹角为，所以夹角为9090，即，即abfabf=90=90. .2152222byax525225225225255babfbfba90905.5.已知等差数列已知等差数列 a an n 的公差的公差d d00，且，且a a1 1, ,a a3 3, ,a a9 9成等比成等比 数列，则数列，

30、则 = = . . 解析解析 由已知得由已知得 = =a a1 1a a9 9,(,(a a1 1+2+2d d) )2 2= =a a1 1( (a a1 1+8+8d d),), a a1 1= =d d, , . .1042931aaaaaa23a1613133103111042931dadaaaaaaa16136.6.abcabc的外接圆的圆心为的外接圆的圆心为o o，两条边上的高的交点，两条边上的高的交点 为为h h， = =m m（ ）, ,则实数则实数m m= = . . 解析解析 （特殊值法）当（特殊值法）当b b=90=90时，时，abcabc为直角为直角 三角形，三角形，o

31、 o为为acac中点中点. . abab、bcbc边上高的交点边上高的交点h h与与b b重合重合. . ，m m=1.=1.ohocoboaohobocoboa1 17.7.圆圆x x2 2+ +y y2 2=1=1的任意一条切线的任意一条切线l l与圆与圆x x2 2+ +y y2 2=4=4相交于相交于a a（x x1 1, ,y y1 1）, , b b( (x x2 2, ,y y2 2) )两点，两点，o o为坐标原点，则为坐标原点，则x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2= = . . 解析解析 如图，如图，aobaob中，中，oaoa= =obob=2=2， o

32、cocabab，ococ=1=1， 因此因此aobaob=120=120. . 所以所以x x1 1x x2 2+ +y y1 1y y2 2= =| | |cos= =| | |cos 120 120=-2.=-2.oaoboaob-2-28.8.直线直线y y= =k kx x+3+3k k-2-2与直线与直线y y=- =- x x+1+1的交点在第一象的交点在第一象 限，则限，则k k的取值范围是的取值范围是 . . 解析解析 因为因为y y= =k kx x+3+3k k-2-2，即，即y y= =k k( (x x+3)-2+3)-2，故直线过，故直线过 定点定点p p（-3-3，

33、-2-2），而定直线），而定直线y y=- =- x x+1+1在两坐标轴在两坐标轴 上的交点分别为上的交点分别为a a（4 4，0 0），），b b（0 0，1 1）. .如图所如图所 示，求得示，求得 k k 1.1.414172 k k 1 1729.9.设设f f( (x x)= )= 若方程若方程f f( (x x)=)=x x有且仅有有且仅有 两个实数解，则实数两个实数解，则实数a a的取值范围是的取值范围是 . . 解析解析 先给先给a a一个特殊值，令一个特殊值，令a a=0=0，可画出，可画出x x00时时 的图象的图象. .当当0 0 xx0 0时的图时的图 象，其图象呈周

34、期变化，然后再由参数象，其图象呈周期变化，然后再由参数a a的意义使的意义使 图象作平移变换，由此确定图象作平移变换，由此确定- -a a的取值范围，最后求的取值范围，最后求 出出a a的取值范围的取值范围. .),0() 1(),0(2xxfxax（-,2-,2）10.10.已知二次函数已知二次函数f f( (x x) )的二次项系数为的二次项系数为a a，且不等式，且不等式 f f( (x x) ) - -x x的解集为（的解集为（1 1，2 2），若），若f f( (x x) )的最大值为正的最大值为正 数，则数，则a a的取值范围是的取值范围是 . . 解析解析 二次函数二次函数f f

35、( (x x) )的二次项系数为的二次项系数为a a，且不等式，且不等式 f f( (x x) ) - -x x的解集为（的解集为（1 1，2 2），即不等式），即不等式f f( (x x)+)+x x 0 0的的 解集为解集为(1,2),(1,2),则设则设f f( (x x)+)+x x= =a a( (x x-1)(-1)(x x-2)(-2)(aa0),0), 即即f f( (x x)=)=axax2 2-(3-(3a a+1)+1)x x+2+2a a( (a a0).xx的解集为的解集为 . . 解析解析 令令y y1 1= ,= ,y y2 2= =x x，则不等式，则不等式 xx的解的解 就是使就是使y y1 1= = 的图象在的图象在y y2 2= =x x的上方的那段对应的上方的那段对应 的横坐标的横坐标. .如图所示：如图所示： 不等式的解集为不等式的解集为 x x| |x xa axxxxb b ， 而而x xb b可由可由 = =x x解得解得x xb b=2=2，x xa a=-2,=-2, 故不等式的解集