高中数学函数解题技巧

1、函数 ( 理科 )一、 考点回顾1. 理解函数的概念，了解映射的概念.2. 了解函数的单调性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性的方法.3. 了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数 .4. 理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图象和 性质 .5. 理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图象和性质.6. 能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.二、经典例题剖析考点一：函数的性质与图象函数的性质是研究初等函数的基石，也是高考考查的重点内容在复习中要肯于在对定义的深入理解上下功夫复习函数的

2、性质，可以从“数”和“形”两个方面，从理解函数的单调性和奇偶性的定义入手，在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固，在求复合函数的单调区间、函数的最值及应用问题的过程中得以深化具体要求是：1正确理解函数单调性和奇偶性的定义，能准确判断函数的奇偶性，以及函数在某一区间的单调性，能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性2 从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性， 深化对函数性质几何特征的理解和运用，归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法3培养学生用运动变化的观点分析问题，提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解函数的单调性只能在函

3、数的定义域内来讨论.函数 y = f(x)在给定区间上的单调性，反 映了函数在区间上函数值的变化趋势，是函数在区间上的整体性质，但不一定是函数在定义 域上的整体性质函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制对函数奇偶性定义的理解，不能只停留在 f ( x) = f (x)和f ( x) = f (x)这两个等式 上，要明确对定义域内任意一个x,都有f(x)=f(x), f(x) = f(x)的实质是：函数的定义域关于原点对称这是函数具备奇偶性的必要条件稍加推广，可得函数f (x) 的图象关于直线x = a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x + a)=f(a x)成立.函数

4、的奇偶性是其相应图象的特殊的对称性的反映这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件，调动相关知识，选 择恰当的方法解决问题，是对学生能力的较高要求.函数的图象是函数性质的直观载体，函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。 因此，掌握函数的图像是学好函数性质的关键，这也正是“数形结合思想”的体现。复习函 数图像要注意以下方面。1 .掌握描绘函数图象的两种基本方法一一描点法和图象变换法.2 .会利用函数图象，进一步研究函数的性质，解决方程、不等式中的问题.3 .用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题.4 .掌握知识之间的联系，进一步培养观察、分析、归纳

5、、概括和综合分析能力.以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，掌握这两种方 法是本节的重点.运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键 处，要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个 大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段，是一个难点.用 图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换.这也是个难点.例1设a0,求函数f(x) & ln(x a)(xc(0, + 8)的单调区间.分析：欲求函数的单调区问，则须解不等式 f (x) 0(递增)及f(

6、x) 0(递减)。11解：f (x)厂(x 0).2、x x a当 a0, x0 时f (x)0 x2 + (2a-4)x + a20,f (x)0 x2 + (2a-4)x + a2 1时，对所有x 0 ,有x2+(2a-4)x + a20,即f (x)0,此时f(x)在(0, +oo)内单调递增.(ii)当a=1时，对xw1,有x2+(2a 4)x + a2 0,即f (x)0,此时f(x)在(0, 1)内单调递增，在(1, +8)内单调递增.又知函数/乂)在乂=1处连续，因此，函数f (x)在(0 , +8)内单调递增.(iii)当 0a0,即x2+(2a 4)x + a2 0,解得 x

7、 2 a 24k，或 x 2 a 2m丁飞.因此，函数f(x)在区间(0,2 a 2y1w)内单调递增，在区间(2 a 2/7飞，)内也 单调递增.令 f (x) 0,即 x2+ (2a-4)x + a20）的单调性而得： x当jbc时，则v=3b时，y取最小值；当，己c时，则v=c时，y取最小值.综上所述，为使全程成本y最小，当j；c时,行驶速度应为v=/|；当j；c时, 行驶速度应为v=c.点评：1.对于实际应用问题，可以通过建立目标函数，然后运用解 （证）不等式的方法求出 函数的最大值或最小值，其中要特别注意蕴涵的制约关系，如本题中速度 v的范围，一旦忽 视，将出现解答不完整.此种应用问

8、题既属于函数模型，也可属于不等式模型 .方法总结与高考预测（一）方法总结本专题主要思想方法:1 .数形结合2 .分类讨论3 .函数与方程（二）高考预测1 .考查有关函数单调性和奇偶性的试题，从试题上看，抽象函数和具体函数都有，有向抽 象函数发展的趋势，另外试题注重对转化思想的考查，且都综合地考查单调性与奇偶性.2 .考查与函数图象有关的试题，要从图中（或列表中）读取各种信息，注意利用平移变换、 伸缩变换、对称变换，注意函数的对称性、函数值的变化趋势，培养运用数形结合思想来解 题的能力.3 .考查与反函数有关的试题，大多是求函数的解析式，定义域、值域或函数图象等，一 般不需求出反函数，只需将问题

9、转化为与原函数有关的问题即可解决.4 .考查与指数函数和对数函数有关的试题.对指数函数与对数函数的考查，大多以基本函 数的性质为依托，结合运算推理来解决.5加强函数思想、转化思想的考查是高考的一个重点.善于转化命题，引进变量建 运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力 .5 注意与导数结合考查函数的性质.一、强化训练（一）选择题（12个）b. y 1 ln x(x 0)1 .函数y ex1（x r）的反函数是（）a. y 1 ln x（x 0）c. y 11n x（x 0）d.狂（3a 1）x 4a, x 12 .已知 f（x） ）,是（，10ga x,x 1.-1-11（a）

10、 （0，1）（ b）（0）（叩1,1）37 33.在下列四个函数中，满足性质：y 1 ln x（x 0）上的减函数，那么a的取值范围是1（叫,1）“对于区间（1,2）上的任意x1,x2（xx2）,(d) f(x) x2、一 635 一lgx.设a f(-),bf(-), c f()，则522| f(x1)f (x2) | |x2 x1| 恒成立”的只有-17(a) f(x) (b) f x |x|( c) f(x) 2xx4.已知f(x)是周期为2的奇函数，当0 x 1时，f (x)(a) a b c (b)bac(c) c b a(d) c a b一33x2, 一、，一5.函数f(x) lg

11、(3x 1)的止义域是1 xa(3,)1b (3,1)6、下列函数中，在其定义域内既是奇c ( 3,3)函数又是减函数的是d.(ay x3 , x rb.y sin x , x r c y x , x7、函数y f(x)的反函数y f 1(x)的图像与y轴交于点p(0,2)(如右图所示),则方程f(x)。在1,4上的根是xa4b3c. 2d.13)8、设f(x)是r上的任意函数，则下列叙述正确的是(a) f(x)f(x)是奇函数b)f(x) f( x)是奇函数(c) f(x)f ( x)是偶函数d)f (x) f ( x)是偶函数9、已知函数yex的图象与函数yf x的图象关于直线yx对称，则

12、a.f 2x2x /e (x r)b.f 2xin 2c|n x(x 0)c.f 2x2ex(x r)d.f 2xin x in 2(x 0)10、设f(x)x 12e ,x2，, 2/、iog3(x 1), x则f (f (2)的值为 2.(a)0(b)1c)2d)311、对 a, br,记 maxa, ba.a b，函数 f (x) =max| x+1| , |x 2|( x r)的取小值 b,a0, f(1) 0,求证：一 一 a(l)a0 且2 a g(x)( x 0).6 .已知函数f(x) x2 x 1 ,是方程f (x) =0的两个根()，f(x)是f (x)的导数；设a1 1a

13、n 1an瑞(f 2,)的值;证明:对任意的正整数n,都有ana；记bn(四)lna(n=1, 2,)，求数列bn的前n项和3。 an a创新试题1 .下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时段，单位时间进出路口 a,b,c的机动车辆数如图所示，图中%,x2,x3分别表示该时段单位时间通过路段 0月、c、s 的机动车辆数(假设：单位时间内,在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等)，则(a) x1 x2 x3( b)xx3x2(c) x2x3x1( d) x3x2x12.设函数 f(x)=3sinx +2cosx+1若实数a、b、c使得af (x)+bf(x-c) = 1对任意实数

14、x恒成立，则0%的值等于()c -1d. 1解答:、选择题1 解：由 y ex 1 得：x 1 ln y,即 x=-1+lny，所以 y 1 in x(x 0)为所求，故选 d。2解：依题意，有0 a 1且3a1 0,解得0 a 1 ,又当x 1时,3x 1时，log ax 0,所以7a-1 0解得x 1故选c7(3a-1)x + 4a 7a1,当3 解：| - | = |x2 x1 尸x21 q x1，x2 (1,2) x1 x2x1x2|x1x2|x1x2 1 1xx2|-x1-i |x1x2x2|故选a4解：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0 x 1时，f(x) lgx.设a f (-

15、) f( 4)55b f(3) f( 1)心，c f(5)心 (1)r o2.或 x2 1 + (x2- 1k 0(-1 x 1) (2) 当k= 2时，方程(1)的解为 4,方程(2)无解，原方程恰有2个不同的实根当k = 0时，方程(1)的解为一1, 十1& ，方程(2)的解为x=0,原方程恰有5个不同程恰有4个不同的实根当k=2时，方程(1)的解为9运,方程(2)的解为3的实根1解:工得ff xf (x),所以 f(5)f(1)5,则5 f(5)f( 1)f( 1 2)8个不同的实根、填空题。-11 ln 12斛：g(g(2) g(in2) e -.3解:函数f(x) a1 2x-.若f

16、 (x)为奇函数，则1f(0)1 a=24 解： 由a 1,所以不等式a 0,a 1, 函 数f(x) loga(x2 2x 3)有最小值可知loga(x 1) 0可化为 x 1 1,即 x 2.“14，由于f (附在(,1和2, 5上 方程f(x) 5的解分别是2 144, 0, 4和2单调递减，在1,2和5,)上单调递增，因此a , 2 、140, 42 ,14,-24 -由于 2 .14 6, 2 、,142,b a.(3)解法一当1,5时,f(x)4xg(x)k(x3)4x5)(k4)x(3k5)k220k436k 2,k 1.g(x) min42 k22 k 6时，取16(k则 gw

17、min当冬20k 36410)2 64,0.12-k 10 2 64 .4(k 10)26时，取x1,g (x) min = 2k 0 .由、可知，当k 2时，g(x) 0,x 1,5.因此，在区间1, 5上，y k(x 3)的图像位于函数f(x)图像的上方.解法二当 x 1,5时，f(x) x2 4x 5.由 y k(x2 3), 得 x2 (k 4)x (3k 5) 0, y x 4x 5,令 (k 4)2 4(3k 5) 0,解得 k 2 或 k 18,在区间1, 5上，当k 2时，y 2(x 3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8);当 k 18时，y 18(x 3)的图像与

18、函数f(x)的图像没有交点.如图可知，由于直线 y k(x 3)过点(3, 0),当k 2时，直线y k(x 3)是由直线 y 2(x 3)绕点(3, 0)逆时针方向旋转得到.因此，在区间1,5上，y k(x 3)的图像位于函数f(x)图像的上方.2(1)证明：因为f(0)0, f(1) 0 ,所以 c 0,3a 2b c 0.由条件abc0 ,消去b ,得ac0 ；由条件abc0,消去c,得ab0,2a b 0.故 2 b 1. ab 3ac b 2 又由 f(1) = f( 1)知 1 a 4(ii )抛物线f(x) 3ax2 2bx c的顶点坐标为( 一,-),3a 3a, b 一 11

19、 b 2在 2 -1的两边乘以 一，行.a33 3a 322又因为 f(0) 0, f(1) 0,而(旦)ac-ac 0,3a3a所以方程f(x) 0在区间(0,2)与(3aj)内分别有一实根。故方程f(x) 0在(0,1)内有两个实根.3解:(i)因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0,b 1 f(x)2xa 2x 1a 2.1 2xh)解法一：由(i)知f(x)二12 212x-，易知f (x)在( 1)上为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式:f(t2 2t) f(2t2 k) 0等价于f(t2 2t) f(2t2 k) f(k 2t2),因f(x)为减函数，由上式推得：t2 2t

20、k 2t2.即对一切 t r有：3t2 2t k 0,1 从而判别式4 12ko k -.3解法二：由(i )知 f(x). 又由题设条件得 22x 122t2 2t2t2 k1 21202 212 2t 1222t2 k 1即：(22t2 k 1 2)(1 2t2 2t) (2t2 2t 1 2)(1 22t2 k) 0,整理得 23t2 2t k 1,因底数21,故：3t2 2t k 0上式对一切t r均成立，从而判别式 4 12k 0 k -. 34解：(i) f(x)的定义域为r , x2 ax a 0恒成立，a2 4a 0,0 a 4,即当0 a 4时f(x)的定义域为r .(h)f

21、(x) x(x a 2)e2 ,令 f (x)w0,得 x(x a 2)w0. (x ax a)由 f (x) 0,得 x 0或 x 2 a,又 q0 a 4,0 a 2时，由 f (x) 0得0 x 2 a；当 a 2 时，f (x) 0；当 2 a 4 时，由 f (x) 0得2 a x 0,即当0 a 2时，f(x)的单调减区间为(0,2 a)；当2 a 4时，f(x)的单调减区间为(2 a,0).5解：(i)设y*)与丫 g(x)(x 0)在公共点(x, y)处的切线相同.f (x) x 2a , g (x)3a2由题意f(x0)g(x) , f (%) g(x).122 ,x0 2ax0 3a in x02x02a3a2b,由xc3a2/曰2a