二次函数最值问题

1、xyo（1 1）配方。）配方。（2 2）画图象。）画图象。 （3 3）根据图象确定函数最值。）根据图象确定函数最值。（看所给范围内的最高点和最低点）（看所给范围内的最高点和最低点）122(a0)xxxyaxbxc求给定范围内，二次函数最值的步骤：2324yx试判断函数的顶点坐标并判断当x为何值时抛物线的最值是多少xyo2-4(2,-4)2x 当时抛物线有最小值为-42324yx 试判断函数的顶点坐标并判断当x为何值时抛物线的最值是多少xyo-24(-2,4)2x 当时抛物线有最大值为4二次函数二次函数:cbxaxy 2( a 0 ) xa(2)2ababac442 xabac442 ab2 a

2、0a00yx0yabx2 自变量x取全体实数时xyo( 22)x 2例如y=3x-2212xyo-51224yx （-5x0,顶点处取最小值，最小值为顶点的纵坐标；两端点处取最顶点处取最小值，最小值为顶点的纵坐标；两端点处取最大值，最大值分别由自变量大值，最大值分别由自变量x1与与x2对应的函数值对应的函数值y1与与y2,函数值最函数值最大的即为此函数的最大值。大的即为此函数的最大值。2、a0,顶点处取最大值，最大值为顶点的纵坐标；两端点处取最顶点处取最大值，最大值为顶点的纵坐标；两端点处取最小值，最小值分别由自变量小值，最小值分别由自变量x1与与x2对应的函数值对应的函数值y1与与y2,函数

3、值最函数值最小的即为此函数的最小值。小的即为此函数的最小值。xyoxyox1x2x1x2不取等号，没有最大值和最小值简单地说简单地说：212yaxbxcxxx求二次函数（a0）在上的最值或值域的一般方法：12;2bxxxb（1）检查x=-是否属于1212(2)x,22bbxxxxxxxxaay 当属于时，计算所对应的 的值，比较较大者是最大值，较小者是最小值.1212,2bxxxxxxxay（3）当x=-不属于时，计算所对应的 的值，比较较大者是最大值，较小者是最小值.（4）值域就是y的取值范围，在最大值与最小值之间（含不含等号看自变量取值有没有等号）.不取等号，没有最大值和最小值211160

4、20 xx462535022535025351022ttttty225300t，tt即的整数的取值范是因为自变量50646253502113122y，yt最大值为取最大值时或故当。、xxabx，abx，：同时取得最值对称的两点于有关则在自变量取值范围内处不能取得最值在对称轴若受自变量的限制对于二次函数总结2122解：解：32 axxy43)2(22aax 2ax 对对称称轴轴为为时时即即当当212)1( aa时时当当1 xay 4min时时当当1 xay 4maxxy0-112ax 23.3-11yxaxx例 求函数在上的最大值与最小值.23-11yxaxx函数在上递增时时当当2ax 432m

5、inay 时时当当1 xay 4max时时当当1 xay 4max时时当当1 xay 4max时时当当1 xay 4minx0y1-1x0y-11x0y-11121)2( a当当22 a即即120 a当当当当021 a时时即即20 a时时即即02 a12)3( a当当时时即即2 a23-11yxaxx在上递减oxy1-1oxy1-1oxy1-1评注评注：例例3 3属于属于“轴动范围定轴动范围定”的问题，看作对的问题，看作对称轴沿称轴沿x x轴移动的过程中轴移动的过程中, ,函数最值的变化函数最值的变化, ,即对即对称轴在定范围的左、右两侧及对称轴在定范围上称轴在定范围的左、右两侧及对称轴在定范

6、围上变化情况变化情况, ,要注意开口方向及端点情况。要注意开口方向及端点情况。23.3-11yxaxx例 求函数在上的最大值与最小值.例例4:解解:2)1(3222 xxxy1 x对对称称轴轴时时即即当当011)1( tt时时当当tx 322max ttyx0y1tt+1当当x=t+1时时ymin=t2+2223+1.yxxtxt求函数在上的最大值和最小值2231yxxtxt 在上递减时时当当1 x2min y22max tyx0ytt+1时时即即当当10111)2( ttt时时即即当当21121 tt1txt 时时即即当当21121 tt时时当当tx 322max tty时时当当1 txx0

7、yt t+1时时当当1)4( t22max ty当当x=t 时时ymin=t2-2t+3当当x=t+1 时时x0y1t t+12231yxxtxt 在上递增 例例4: 求函数求函数y=x2-2x+3在在txt+1时的最值时的最值评注评注：例例4 4属于属于“轴定范围动轴定范围动”的问题，看作动范的问题，看作动范围沿围沿x x轴移动的过程中，函数最值的变化，即动范轴移动的过程中，函数最值的变化，即动范围在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注围在定轴的左、右两侧及包含定轴的变化，要注意开口方向及端点情况。意开口方向及端点情况。ttttt+1t+1t+1t+1内的最值情况在下列自变量取值范围判断函

8、数350252tty ？t为什么在何处取最大值若,1001 ？t为什么在何处取最大值若,301322020404060608080100100120120150180140160(180，92)140 160t(天）y(元)o图204060 80140180t(天）z(元)o图1101601001201020405060 我市某茶厂种植我市某茶厂种植“春蕊牌春蕊牌”绿茶，由历年来市场销售行绿茶，由历年来市场销售行情知道，从每年的情知道，从每年的3月月25日起的日起的180天内，绿茶市场销售单价天内，绿茶市场销售单价y(元元)与上市时间与上市时间t(天天)的关系可以近似地用如图的关系可以近似地用如图中的一条折线表示。绿中的一条折线表示。绿茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价茶的种植除了与气候、种植技术有关外，其种植的成本单价z(元元)与与上市时间上市时间t(天天)的关系可以近似地用如图的关系可以近似地用如图的抛物线表示。的抛物线表示。（1）直接写出图）直接写出图中表示的市场销售电价中表示的市场销售电价y(元元)与上市时间与上市时间t(天天)(t0)的函数关系式；的函数关系式；（2）求出图）求出图中表示的种植成本单价中表示的种植成本单价z(元元)与上市时间与上市时间t(天天)(t0)的函数关系式；的