中考数学几何典型例题

1、中考数学几何典型例 作者: 日期：几何综合题一图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离,等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方 法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆 的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问 题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问 题。图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。二.基本图形及辅助线解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够 的知识积累的基

2、础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能 够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向, 才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。举例：1、与相似及圆肩关的基本图形caaba小bc bc babloc bec、 ,x/、 ax / /w、/ t maa第 2 页（2dcbcdbo-d:/、，kacid本图形（1）角平分线一一过角平分线上的点向角的两边作垂线（角平分线的性质）、翻折；【参见（一）1;（二）1;西城中考总复习p57例6】*（2）与中点相关一一倍长中线（八字全等），中位线，直角三角形

3、斜边中线；【参见（一）2、3、4、5】*（3）共端点的等线段一一旋转基本图形（60。，90。），构造圆；垂直平分线, 平平分线一一翻折；转移线段一一平移基本图形（线段）线段间有特殊关系 时，翻折；【参见（一）6,7,8,91（4）特殊图形的辅助线及其迁移 一一梯形的辅助线（什么时候需要这样添 加？）等【参见（一）7】作双高一一上底、下底、高、腰（等腰梯形）三推一；面积；锐角三角函数三角形转移腰上下底之差；两底角有特殊关系（延长两腰）；梯形平移对角线一一上下底之和；对角线有特殊位置、数量关系。（p52006北京，25*）注：在绘制辅助线时要注意同样辅助线的不同说法，可能会导致解题难度有较大差异。

4、三题目举例在几何综合题解题教学中，建议可以分为以下三个阶段：第一阶段：基本图形、辅助线等的积累一一在讲授综合题目前，搭配方法类似 的中档题，或者给有阅读材料（小问递进启发）的综合题目，给学生入手点的 启发。注重提升学生的迁移能力，培养转化数学思想方法。第二阶段：反思与总结一一引导学生在解题遇到困难时，记录思维卡点，分析 问题所在；注重一题多解，并注重各种解法的可迁移性；在解题后，能够抽离 出题目的基本型，将题目的图形，方法进行归类整理。第三阶段：综合能力的提升一一学生在遇到综合问题时能够联想到之前的经验，形成所谓的“几何感觉”。此时练习可以综合性较强的题目为主，要注重书 写过程时抓住要点，简明

5、有条理性。（一）基本图形与辅助线的添加#角平分线（【类】p5第一2006北京，23;西城中考总复习p57-例6）1、（2010宣武一模，23）已知： ac平分 man（1）在图 1 中，若 man 120 , abc adc 90 , ab adac（填写或或）（2）在图2中，若 man 120 , abc adc 180，则（1）中结论是 否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；（3）在图3中：若 man 60 , abc adc 180 ,判断ab ad与ac的数量关系, 并说明理由；若 man （0180）, abc adc 180 ,则ab ad ac （用含 的三角函数

6、表示，直接写出结果，不必证明）a ba b4bn图1图2图323.解：(1) ab +ad = ac . 1 分(2)仍然成立.a ba b4bn图1图2图3证明：如图2过c作celam于e, cf xan于f, 贝u/cea=/cfa=90 .ac 平分 / man , / man=120 , / mac= / nac=60 .又 ; ac=ac , aaeca afc , ae=af , ce=cf. 在 rtacea 中，/ eac=60 , / eca=30 , ac=2ae .ae+af=2ae=ac .; ed+da+af=ac .z abc+ z adc=180 , /cde+/

7、adc=180 , / cde= /cbf .又ce=cf, /ced= /cfb,/. acedia cfb.ed=fb , fb+da+af=ac .ab+ad=ac . 4 分(3) ab+ad= 33 ac .证明：如图3,方法同(2)可证agc/ ahc .：ag=ah . :/ man=60 , z gac= / hac=30 . ag=ah= 1ac . ag+ah= 73 ac.gd+da+ah=招ac.方法同(2)可证gdc/ hbc . .gd=hb , hb+da+ah= ac , ad+ab=内ac.分7ab+ad = 2cos_ ac. c cos2第5页（讲稿版）中

8、位线/中线*2、(2010海淀一模，25)已知： aaob中，ab ob 2, cod 中，cd oc 3, /abo /dco.连接 ad、bc ,点 m、n、p分别为oa、od、bc的中点.(1)如图1,若a、o、c三点在同一直线上，且/abo60o ,则4pmn的形状是此时黎(2)如图2,若a、o、c三点在同一直线上，且/abo 2ad .一. . pmns abao,并计算cd的值(用含 的式子表小)；bc(3)在图2中，固定aob,将4cod绕点o旋转，直接写出pm的最大值.第#页(讲稿版)25,解二(i；等边三角形,k (每至1分 2分1(2)证明底挎艮m、cn.*由崎，得cn9口

9、40 =上8=0/-a. q (7三点在同一直线上，山.,* b 0 。三点在同一直线上*3.zsmc = zcnb = 90vf为3d中盘，u，在rtzxz的甲 fmhc3 2在出mm2中. u2* * 4m3-k a&s 40h* * -w j *a b. c. n.城四点都在以尸为图心，isu为半径的圆上.+ 2. 2猷pn=/量bn.一又,； 上鲍威44/三心/2/.上鼠网= 2bo n，二-d 分第.mn ao. 一 二=k 1pm ba由题意.加一皿ypr = -c. 22ad w- j -i .$ 分ybc pm.ad ao = *bc ba在的i 中, = smarab.-ao

10、 = 2, 乂.金。一 =wmar.心从4, 上口 /,/.- zsifi 2,- - - - (5bc( 3 ) avamb * *. th * warh *, /2第9页（讲稿版）#直角三角形斜边中线3、(2011海淀一模，25)在rtzxabc中，/ ac屋90 , tan/bac=1.点d在边ac上(不与a, c重合)，连结br f为bd中点.(1)若过点d作dh ab于e,连结cf、ef、ce如图1.设cf kef ,贝 1 k =；(2)若将图1中的aade点a旋转，使得d e、b三点共线，点f仍为bd中点，如图2所示.求证：be-de=2cf(3)若bc=6点d在边ac的三等分点

11、处，将线段 ad绕点a旋转，点f始 终为bd中点，求线段cf长度的最大值.am %cb图125.解：（1） k=1;（2）如图2,过点c作ce的垂线交bd由题息，tan/bac= , .2ac d、e、b三点共线，： aexdb. /bqc=/aqd, /acb=90,：cbcb图2备图.2分于点g,设bd与ac的交点为q.de 1ae 2 . xd/ /qbc=/eaq.ezb/eca+ / acg=90,/ bcg+ / acg=90, q 第8页（讲稿版） /fv1gc/eca = /bcg.bcgsace.bcacgbaei.gb=de.2 f是bd中点，f是eg中点. _ 1 一在

12、rtecg 中，cf -eg,be de eg 2cf .2(3)情况1:如图，当ad=1ac时，取ab的中点m,连结mf和cm, 3 ,/acb=90, tanz bac=-,且 bc= 6,2ac=12 , ab=6j5. m 为 ab 中点，cm= 3j5,.ad=-ac , 3ad= 4 . .m为ab中点，f为bd中点， .fm= 1 ad = 2.2:当且仅当 m、f、c三点共线且 m在线段cf上时cf最大，止匕时 cf=cm+fm = 2情况2:如图，当ad = 2ac时，取ab的中点m,3连结mf和cm ,类似于情况1,可知cf的最大值为4 375 .分综合t#况1与情况2,可

13、知当点d在靠近点c的三等分点时，线段 cf的长度取得最大值为 4 375 8分3v5 .6 分#直角三角形斜边中线十四点共圆（【类】西城中考总复习 p61-17） *4、已知：在 abc中，/ abc=90，点e在直线ab上，ed与直线ac垂直，垂足为d,且 点m为ec中点，连接bm, dm.（1）如图1,若点e在线段ab上，探究线段bm与dm及/bmd与/bcd所满足的数量关系，并直接写出你得到的结论；（2）如图2,若点e在ba延长线上，你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明(3)若点e在ab延长线上，请你根据条件画出相应的图形，并直接写出第13页(讲稿版)#倍长过中点的

14、线段5、(2008年北京，25)请阅读下列材料:问题：如图1,在菱形abcd和菱形befg中，点a, b, e在同一条直线上，p是线段df的中点，连结pg, pc .若 abc bef 60,探究pg与pc的位置关系及pg的值.pc小聪同学的思路是：延长gp交dc于点h,构造全等三角形，经过推理使问题得到解决.图2请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题:(1)写出上面问题中线段pg与pc的位置关系及pg的值;(2)将图1中的菱形befg绕点b顺时针旋转，使菱形befg的对角线bf恰好与菱形abcd的边ab在同一条直线上，原问题中的其他条件不变(如图2) .你在(1)中得到的两个结论是否发生

15、变化？写出你的猜想并加以证明.(3)若图1中 abc bef 2 (0o90),将菱形befg绕点b顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出吧的值(用含 的pc解：（1）线段pg与pc的位置关系是;窝 ,25.解：（1）线段pg与pc的位置关系是 pgxpc; eg j3.pc（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化.证明：如图，延长 gp,交ad于点h,连结ch、cg. .p是线段df的中点， fp=dp.由题意可知ad / fg.gfp = z hdp .又. / gpf = z hpd , gfpa hdp .gp=hp, gf = hd. 四边形abcd是菱形，.cd =

16、 cb, z hdc = z abc =60 .由/ abc=/ bef = 60，且菱形 befg的对角线 bf恰好与菱形 abcd的边ab在同 一条直线上，可得/ gbc = 60 . ./ hdc = / gbc.二.四边形 befg 是菱形， .gf=gb. hd = gb. /.a hdca gbc. .ch = cg, / dch =z bcg. / dch + / hcb = / bcg + / hcb = 120 .即/hcg=120 . 1- ch = cg, ph = pg, .1. pgxpc, z gcp=z hcp = 60 .第25题答图#共端点的等线段，旋转6、(

17、2010西城一模，24)如图1,在uabcd中，ae，bc于e, e恰为bc的中点，tanb 2.(1)求证：ad=ae;(2)如图2,点p在be上，作efldp于点f,连结af.求证：df ef 夜af ；(3)请你在图3中画图探究：当p为射线ec上任意一点(p不与点e重 合)时，作efldp于点f,连结af,线段df、ef与af之间有 怎样的数量关系？直接写出你的结论.24.证明：（1）在 rtabe 中，/ aeb=90tan baebeae 2be .e为bc的中点,bc 2be. .ae=bc . abcd是平行四边形, .ad=bc . .ae=ad （2）在dp上截取 dh =

18、ef （如图8）.四边形abcd是平行四边形，aexbc,：/ead=90 . . efxpd, / 1 = / 2,adh=/aef. .ad=ae, a adha aef. 4分had=/ fae, ah=af.fah =90 .在 rta fah 中，ah = af, : fh v2af .fh fd hd fd ef j2af ,即 dfef v2af .5分(3)按题目要求所画图形见图9,线段df、ef、af之间的数量关系为:df ef ac .证明：过点d作df / ac,在df上截取de ,使de ac .连结ce, be.故 edo 60,四边形aced是平行四边形.所以 bd

19、e是等边三角形，ce ad .所以 de be ac .当bc与ce不在同一条直线上时（如图1）,在 4bce 中，有 bc ce be.所以 bc ad ac.当bc与ce在同一条直线上时（如图2）,则 bc ce be .因止匕 bc ad ac .综合、，得bc ad ac .即等对角线四边形中两条对角线所夹角为 60时，这对60角所对的两边之和大于或等于其中一条对角线的长.图1图2第#页（讲稿版）利用平移变换转移线段+作图8、(2011西城一模，25)在rtabc中，/第15页(讲稿版)(1)若bd=ac, ae=cd,在图1中回出符合题意的ape的度数；(2)若 ac jbd , c

20、d j3ae ,求/ape 的度数.图11图形，并直书c备用图c=90 ,d, e分别为cb, ca延长线上的点，be与ad的交点为p.2 .分3分25.解：（1）如图 9, / ape= 45 .b(2)解法一：如图10,将ae平移到df,连接bf, ef .第17页(讲稿版)则四边形aefd是平行四边形.ad / ef , ad=ef .ac百bd , cd /3ae ,acbd3 叫 cd 3ae dfaccdbddf /c=90 ,bdf 180 c 90 ./ c= / bdf . aacda bdf .5 分adacbfbdefbf图10 / 1 + / 3=90 ,z 2+2 3

21、=90 . bfxad .6,分 bfxef .一bf 3在 rtbef 中，tan bef ef 37.分 /ape=/bef =30 .解法二：如图11,将ca平移到df,连接af, bf, ef.则四边形acdf是平行四边形. /c=90 ,四边形acdf是矩形,.在 rsaef 中，tan在 rsbdf 中，tan/3+/2=/1 + /2=90 ,z即zefb = 90o图11afef /afd=/efb.p df又丁bf（3）答：此时存在等对边四边形，是四边形dbceo aadfaebf. 5分/ 4=/ 5. 6分/ape+/4=/3+ z5, /ape=/3=30 . 7分翻折

22、全等+等腰（与角平分线类比）9、（2007年北 京，25）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰 三角形.类似地，我们定义：至少有一组对边相等的 四边形叫做等对边四边形.（1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称;（2）如图，在zabc中，点d, e分别在ab, ac上，设cd, be相交于点o,若 a 60, dcb ebc 1 a .请你写出图中一个与 a相等的2角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在aabc中，如果 a是不等于60 的锐角，点d, e分别在ab, ac上，且 dcb ebc 1a.探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边2四边形，并证明你的结

23、论.25.解：（1）回答正确的给1分（如：平行四边形、等腰梯形等）。（2）答：与/ a相等的角是/ bod （或/coe）,四边形 dbce是等对边四边形;证法一：如图1,作cglbe于g点，作bflcd交cd延长线于f点因为/ dcb= / ebc= 1 / a, bc为公共边，2所以bcf/cbg,所以bf=cg ,因为 / bdf= / abe+ / ebc+ / dcb , / bec= / abe+ / a ,所以 / bdf= / bec,可证bdf/a ceg,所以bd=ce所以四边形dbce是等边四边形。证法二：如图2,以c为顶点作/fcb=/dbc, cf交be于f点。因为/

24、 dcb= / ebc= 1 / a, bc为公共边,2所以bdca cfb ,所以 bd=cf , /bdc=/cfb,所以 /adc= / cfe,因为 / adc= / dcb+ / ebc+ / abe , / fec= / a+ / abe , 所以 / adc= /fec,所以 / fec=/ cfe,所以cf=ce,所以bd=ce ,所以四边形dbce是等边四边形。说明：当ab=ac时，bd = ce仍成立。只有此证法，只给 1分。（二）从题目中获得方法的启发，类比解决问题（上述画#的题目都有涉及这点）由角平分线启发翻折，垂线1、（2006年北京，23）如图，op是/mon的平分

25、线，请你利用该图形画一对以 op所在直线为对称轴的全等三角形。请你 参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：（1）如图，在 abc中，/acb是直角，/ b=60 ,ad、ce分别是/bac、/bca的平分线，ad、ce相交于点f。请你判断并写出fe与fd之间的数量关系；（2）如图，在 abc中，如果/ acb不是直角，而（1）中的其它条件不变，请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由第23页（讲稿版）23.解：图略（1） fe与fd之间的数量关系为 fe = fdo（2）答：（1）中的结论fe = fd仍然成立。证法一：如下图，在 ac上截取ag=ae,

26、连结fg因为/ 1 = /2, af为公共边 可证aef/agf所以 / afe = /afg, fe = fg由/b = 60 ,ad、ce分别是/ bac、/ bca的平分线可得/ 2+/ 3=60所以/ afe = / cfd = / afg = 60 所以/cfg = 60由/ 3=/ 4及fc为公共边，可得 cfg/cfd所以fg=fd所以fe=fd证法二：如下图，过点 f分别作fgxab于点g, fhxbc于点h因为/ b = 60 ,且ad、ce分别是/ bac、/ bca的平分线,所以可得/ 2+/3=60 ,f是 abc的内心所以 /gef = 60 +/1, fg=fh又因

27、为 /hdf = /b+/1 所以 /gef=/hdf因此可证 egfa dhf所以fe=fd启发利用重心分中线，中点相关内容 2、（2010石景山一模，24）我们知道三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.经过证明我们可得三角形重心具备下 面的性质： 重心到顶点的距离与重心到该顶点对边中点的距离之比为2 :1.请你用此性质解决下面的问题.已知：如图，点。为等腰直角三角形abc的重心， cab 90 ,直线m 过点。，过a、b、c三点分别作直线m的垂线，垂足分别为点d、e、f .（1）当直线m与bc平行时（如图1）,请你猜想线段be、cf和ad三者 之间的数量关系并证明；（2） 当直线m绕点。

28、旋转到与bc不平行时，分别探究在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段24. (1)猜想：be+cf=ad1,分证明：如图，延长 ao交bc于m点，.点。为等腰直角三角形 abc的重心 .ao=2om 且 am，bc又: ef/ bc am ef .beef,cfefeb / om / cf .eb=om=cfeb+cf=2om=ad 3 分(2)图 2 结论：be+cf=ad证明：联结ao并延长交bc于点g,过g做ghlef于h由重心性质可得ao=2og :/ ado= / ohg=90 , / aod= / hog a aoda goh .ad=2h

29、g5 分. o为重心 .g为bc中点 . gh ef,beef,cfefeb / hg / cf .h为ef中点 .hg= 1 (eb+cf)2eb+cf=ad7 分m(3)cf -be= ad由特殊形解题启发构造哪些相等的角 3、（2011南京,27）如图，p为abc内一点，连接 pa、pb、pc,在apab、zpbc和apac中，如果存在一个三角形与 abc相似，那么就称p为4abc的自相似点.图，已知 rtaabc 中，/acb=90 , zabc/a, cd 是 ab上的中线，过点b# bex cd,垂足为e,试说明e是4abc的自相似百八、在 abc 中，/a/b/c.如图，利用尺规

30、作出 abc的自相似点p （写出作法并保留作图痕迹）；若 abc的内心p是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度（三）一题多解与题目的变式及类题1、* （西城中考总复习p64例5）点m为正方形abcd的边ab（或延长线上）任一点（不与a, b重合），dmn 90 ,射线mn与 abc的外角平分线交于点n,求证：dm=mn.【变式】a、方法类比，改变图形（1）等边三角形abc中，在bc边上任取一点d （不与a, b重合），作 ade 60 , de交/c的外角平分线于e,判断ade的形状，并证明。若d是射线bc上任一点，上述结论是否成立？ed（2） （2008西城一模，25）如图，正六边形a

31、bcdef,点m在ab边上， fmh 120 ,mh与六边形 abc外角的平分线bq交于h点.当点m不与点a、b重合时，求证：/ afm=/bmh;当点m在正六边形abcdef 一边ab上运动（点m不与点b重合）时，猜想fm与mh的数量关系，并对猜想的结果加以证明b、改变背景（3） （2011密云一模，24）如图，边长为5的正方形oabc的顶点o在坐标原点处，点a c分别在x轴、y轴 的正半轴上，点e是oa边上的点（不与点 a重合），ef1ce,且与正方形外角平分线 ac交于点p.（1）当点e坐标为（3,0）时，试证明ce ep;（2）如果将上述条件“点e坐标为（3, 0） ”改为“电坐标为（

32、t , 0）（t 0） ”，结论ce ep是否仍然成立，请说明理由；（3）在y轴上是否存在点m ,使得四边形bmep是平行四边形？若存在，请证明；若不存在，请说明理由2、如图，在正方形 abclfr, e、f分别是bg cd上的点,且/ea已 45 0 ,求证：ef= be+ fd.【变式】方法类比，特殊到一般削弱题目条件（1）如图，在四边形abcd中，ab=ad, / b+ /d = 180 ,e、f 分别是 bc、cd 上的点，且 / eaf 是/bad 的一半，那么结论ef=be+fd是否仍然成立？若成立，请证明；请写出它们之间的数量关系，并证明.改变图形（2）在四边形abcd中，ab=ad, /b+/d=180 ,延长bc到点e,延长cd到点f,使得/ eaf仍然是/ bad的一半，则结论ef= be+fd是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明3、旋转特殊角度转移线段，比较线段大小（求最值）（2011房山一模，25）已(1)知：等边三角形abc如图1, p为等边 abc外一点