中南大学高等数学课件5习题课

1、问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理广义积分广义积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(afbfdxxfba 一、主要内容一、主要内容1 1、问题的提出、问题的提出实例实例1 （求曲边梯形的面积（求曲边梯形的面积a）iniixfa )(lim10 曲曲边边梯梯形形 由由连连续续曲曲线线)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.实例实例2 （求变速直线运动的路程）（求变速直线运动的路程）iniitvs )

2、(lim10 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是时间是时间间隔间隔,21tt上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求，求物体在这段时间内所经过的路程物体在这段时间内所经过的路程 s.方法方法:分割、求和、取极限分割、求和、取极限.2 2、定积分的定义、定积分的定义设函数设函数)(xf在在,ba上有界，上有界，在在,ba中任意中任意若干若干个分点若干若干个分点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在各小区间上任取在各小区间上任

3、取一点一点i （iix ），），定义定义,12110nnxxxxxx 怎怎样样的的分分法法， baidxxf)(iinixf )(lim10 .也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上的的取取法法，只只要要当当0 时时，和和s总总趋趋于于确定的极限确定的极限i，在区间在区间,ba上的上的定积分定积分，记为记为记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba我们称这个极限我们称这个极限i为函数为函数)(xf作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i点点i 怎怎样样并并作作和和iinixfs )(1 ，可积的两个可积的两个条件：条件： 当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上

4、连连续续时时，定理定理1定理定理2 设函数设函数)(xf在区间在区间,ba上有界，上有界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积.且只有有限个间断点，则且只有有限个间断点，则)(xf在区间在区间,ba上可积上可积.3 3、存在定理、存在定理4 4、定积分的性质、定积分的性质 badxxgxf)()( badxxf)( badxxg)(性质性质1 babadxxfkdxxkf)()( (k为常数为常数)性质性质2 badxxf)( bccadxxfdxxf)()(假假设设bca 性质性质3 则则0)( dxxfba )(ba 性质性质5如果在区间如果在区间,ba上上0)( xf，推论：推论：

5、则则dxxfba )( dxxgba )( )(ba 如果在区间如果在区间,ba上上)()(xgxf ，（1）dxxfba )(dxxfba )()(ba （2）dxba 1dxba ab 性质性质4如果函数如果函数)(xf在闭区间在闭区间,ba上连续，上连续，则则在在积积分分区区间间,ba上上至至少少存存在在一一个个点点 ， 使使dxxfba )()(abf )(ba 性质性质7 (定积分中值定定积分中值定理理)设设m及及m分别是函数分别是函数 则则 )()()(abmdxxfabmba . )(xf在在区区间间,ba性质性质6上上的的最最大大值值及及最最小小值值，积分中值公式积分中值公式5

6、 5、牛顿、牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式 如果如果)(xf在在,ba上连续，则积分上限的函数上连续，则积分上限的函数dttfxxa )()(在在,ba上具有导数，且它的导数上具有导数，且它的导数是是 )()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 定理定理1定理定理2（原函数存在定理）（原函数存在定理） 如如果果)(xf在在,ba上上连连续续，则则积积分分上上限限的的函函数数dttfxxa )()(就就是是)(xf在在,ba上上的的一一个个原原函函数数.定理定理 3（微积分基本公式）（微积分基本公式） 如果如果)(xf是连续函数是连续函数)(xf在区间在区间,ba上的一个原函数，则上的一个原

7、函数，则 )()()(afbfdxxfba .)()(babaxfdxxf 也可写成也可写成牛顿牛顿莱布尼茨公式莱布尼茨公式.,:上的增量上的增量它的任一原函数在区间它的任一原函数在区间上的定积分等于上的定积分等于一个连续函数在区间一个连续函数在区间表明表明baba6 6、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法分部积分公式分部积分公式 bababavduuvudv例例1 1解解.2sin120 dxx求求 20cossindxxx原式原式 2440)cos(sin)sin(cosdxxxdxxx. 2

8、22 二、典型例题二、典型例题例例2 2 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例3 3 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 奇函数奇函数例例4 4 计算计算解

9、解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)

10、(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf例例6 6 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则例例7 7解解.cossinsin20 dxxxx求求,cossinsin2

11、0 dxxxxi由由,cossincos20 dxxxxj设设,220 dxji则则 20cossincossindxxxxxji 20cossin)sin(cosxxxxd. 0 ,22 i故得故得.4 i即即例例8 8 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例9 9 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xd

12、x32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例1010 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102s

13、in221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf思考题思考题设设)(xf 在在 1 , 0上连续，且上连续，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.思考题解答思考题解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 例例1111解解.12ln02 dxex求求,sintex 令令.sincos,sinlndtttdxtx 则则 62)sincos(cosdtttt原式原式 262

14、sincosdtttxt02ln2 6 2626sinsintdttdt.23)32ln( 例例1212解解.2sinln40 xdx求求,2tx 令令.sinln212sinln2040 tdtxdx 402sinlnxdxi 40)cossin2ln(dxxx 40)coslnsinln2(lndxxx 2440sinlnsinln2ln4xdxxdx 20sinln2ln4xdxi22ln4 . 2ln4 i例例1313. )1(ln1sin212128 dxxxx求求解解dxx 2121)1ln(0原式原式dxxdxx 210021)1ln()1ln(.21ln23ln23 例例141

15、4.,1min222 dxxx求求解解 1,11,1min22xxxxxx是偶函数是偶函数,dxxx,1min2220 原式原式 21102122dxxdxx. 2ln232 例例1515.)()1(,)(102022 dxxfxdyexfxyy求求设设解解 10022)1(2dxdyexxyy原式原式 10231002322)1(31)1(31dxexdyexxxxyy 1021)1(2)1()1(612xdexxux 2)1(令令 016duueeu).2(61 e例例1616.cos1)(sin2cos1)(sin:, 0)(0202 dxxxfdxxxxfxf证明证明上连续上连续在在设

16、设证证, tx 令令)(cos1)(sin)(02dtttft 左边左边,dtdx dxxxfx 02cos1)(sin)(dxxxxfdxxxf 0202cos1)(sincos1)(sindxxxfdxxxxf 0202cos1)(sincos1)(sin2即即.cos1)(sin2cos1)(sin0202dxxxfdxxxxf 例例1717.)()()(. 0)(,)(2abxfdxdxxfxfbaxfbaba 证明证明上连续，且上连续，且在区间在区间设设证证作辅助函数作辅助函数,)()()()(2axtfdtdttfxfxaxa )(2)(1)()(1)()(axxfdttfdttf

17、xfxfxaxa ,2)()()()( xaxaxadtdtxftfdttfxf0)2)()()()()( dtxftftfxfxfxa即即2)()()()( xftftfxf, 0)( xf.)(单调增加单调增加xf, 0)( af又又, 0)()( afbf.)()()(2abxfdxdxxfbaba 即即一、一、 选择题：选择题： 1 1、 2222221limnnnnnnnn ( ( ) ) （a a）0； （b b）21； （c c）4 ； （d d）2 . . 2 2、 xdttdxd02)1ln(= =（ ） （a a）)1ln(2 x； （b b）)1ln(2 t； （c c）

18、)1ln(22 xx； （d d）)1ln(22 tt . .测测 验验 题题3 3、3020sinlimxdttxx =(=( ) ) （a a）0； （b b）1； （c c）31； （d d） . .4 4. .、定积分、定积分 10dxex的值是的值是（ ） （a a）e； （b b）21； （c c）21e； （d d）2 . .5 5、下列积分中，使用变换正确的是、下列积分中，使用变换正确的是（） （a a）,sin103 xdx令令 txarctan ； （b b） 30321dxxx，令，令 txsin ； （c c） 21221)1ln(dxxxx，令，令 ux 21； （d

19、 d） 1121dxx，令，令31tx . .6 6、下列积分中，值为零的是、下列积分中，值为零的是（ ） （a a） 112dxx； ( (b b） 213dxx； （c c） 11dx； （d d） 112sin xdxx . .7 7、 已知已知5)2(,3)2(,1)0( fff, , 则则 20 )(dxxxf（ ） （a a）1212； （b b）8 8； （c c）7 7； （d d）6 6. . 8 8、设、设 0,110,11)(xexxxfx，则定积分，则定积分 20)1(dxxf = =（ ）（a a）)11ln(1e ； （b b）3ln)1ln(22 e；（c c）2ln)11ln(1 e; ; （d d）)11ln(1e . .9 9、广义积分、广义积分 222xxdx= =（ ） （a a）4ln； （b b）0； （c c）4ln31； （d d）发散）发散. .1010、广义积分、广义积分 20234xxdx（ ） （a a）3ln1 ； （b b）32ln21； （c c）3ln； （d d）发散）发散. .二、证明不等式二、证明不等式: : )2(,61