方向导数及梯PPT学习教案

1、会计学1方向导数及梯方向导数及梯,),(),(处可微在点若函数zyxPzyxf),(zyxPl定理定理:则函数在该点沿任意方向沿任意方向 l 的方向导数存在 ,flf0limcoscoscoszfyfxflf.,的方向角为其中l证明证明: 由函数),(zyxf)(ozzfyyfxxff coscoscoszfyfxf且有)(o在点 P 可微 , 得P故coscoscoszfyfxf第1页/共13页对于二元函数, ),(yxf为, ) 的方向导数为方处沿方向在点(),(lyxP),(),(lim0yxfyyxxflfcos),(cos),(yxfyxfyx,)()(22yx)cos.,cosyx

2、Plxyoxflf特别特别: : 当 l 与 x 轴同向有时,2,0 当 l 与 x 轴反向有时,2,xflfl向角第2页/共13页例例1. 求函数 在点 P(1, 1, 1) 沿向量zyxu2(2, 1,3)l 的方向导数 .,142cosPlu) 1, 1, 1 (146,141cos143cos1422zyx1412zx1432yx解解: 向量 l 的方向余弦为第3页/共13页例例2. 求函数 在点P(2, 3)沿曲线223yyxz12 xy朝 x 增大方向的方向导数.解解:将已知曲线用参数方程表示为2)2, 1 (xxPlz它在点 P 的切向量为,171cos1760 xoy2P1 2

3、xyxx1716xy174)23(2yx)3,2()4, 1 (174cos1第4页/共13页例例3. 设是曲面n在点 P(1, 1, 1 )处指向外侧的法向量,解解: 方向余弦为,142cos,143cos141cos而Pxu,148Pyu14PzuPnu同理得) 1,3,2(2632222zyx方向的方向导数.Pzyx)2,6,4(1467111143826141Pyxzx22866zyxu2286在点P 处沿求函数nn第5页/共13页二、梯度二、梯度 方向导数公式coscoscoszfyfxflf令向量这说明方向：f 变化率最大的方向模 : f 的最大变化率之值方向导数取最大值：zfyf

4、xfG,)cos,cos,(cos0l),cos(0lGG)1(0l0lGlf,0方向一致时与当Gl:GGlfmax第6页/共13页1. 定义定义, fadrg即fadrg同样可定义二元函数),(yxf),(yxPyfxfjyfixff,grad称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度zfyfxf,kzfjyfixf记作(gradient),在点处的梯度 G说明说明: 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.向量2. 梯度的几何意义梯度的几何意义第7页/共13页函数在一点的梯度垂直于该点等值面(或等值线) ,面上的投在曲线xoyCzyxfz),(CyxfL),(:*影称为函数 f 的等值线等值线

5、 . ,不同时为零设yxff则L*上点P 处的法向量为 Pyxff),(Pfgradoyx1cf 2cf 3cf )(321ccc设P同样, 对应函数, ),(zyxfu 有等值面(等量面),),(Czyxf当各偏导数不同时为零时, 其上 点P处的法向量为.gradPf, ),(yxfz 对函数指向函数增大的方向.第8页/共13页3. 梯度的基本运算公式梯度的基本运算公式0grad(1)CuCuCgrad)(grad(2)vuvugradgrad)(grad(3)uvvuvugradgrad)(grad(4)uufufgrad)()(grad(5)第9页/共13页例例4.,)(可导设rf),(

6、222zyxPzyxr为点其中证证:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kzrf)(xrrf)(222zyxxPxozy,)(ryrf ixrf)(试证rxrf)( .)()(radg0rrfrf处矢径 r 的模 ,r第10页/共13页练习题练习题 1. 函数)ln(222zyxu在点)2,2, 1 (M处的梯度Mugrad)2, 2, 1 (,gradzuyuxuuM解解:,222zyxr令则xu21rx2注意 x , y , z 具有轮换对称性)2, 2, 1 (2222,2,2rzryrx)2,2, 1 (92)2,2, 1 (92(92考研考研)第11页/共13页指向 B( 3, 2 , 2) 方向的方向导数是 .在点A( 1 , 0 , 1) 处沿点Axd d2. 函数)ln(22zyxu提示提示:31,32,32则cos,cos