2412垂直于弦的直径

1、 1300多年前多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图)的的桥拱是圆弧形桥拱是圆弧形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱拱高高(弧的中点到弦的距离弧的中点到弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,你能求出你能求出主桥拱的半径吗？主桥拱的半径吗？ 活动一、活动一、 创设情景，发现问题创设情景，发现问题通过这节课的学习，我们就会很容易解决这一问题。（）圆是轴对称图形吗？（）圆是轴对称图形吗？（）如果是（）如果是, ,它的对称轴是什么它的对称轴是什么? ?你能找到多少条对称轴？你能找到多少条对称轴？（）你是用什么方法解决上述问题的

2、（）你是用什么方法解决上述问题的? ?答：圆是轴对称图形答：圆是轴对称图形. .答：圆的对称轴是任意一条答：圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线经过圆心的直线, ,它有无数条对称轴它有无数条对称轴. . 答：利用答：利用对折对折. .O（）圆是中心对称图形吗（）圆是中心对称图形吗？（）如果是（）如果是, ,它的对称中心是什么它的对称中心是什么? ?（）你又是用什么方法解决这个问题的（）你又是用什么方法解决这个问题的? ?答：圆也是中心对称图形答：圆也是中心对称图形. .答：它的对称中心就是答：它的对称中心就是圆心圆心. .答：用答：用旋转旋转的方法即可解决这个问题的方法即可解决这个问题. . 活

3、动二、活动二、 诱导尝试，探索新知诱导尝试，探索新知如图如图1,AB1,AB是是OO的一条弦的一条弦, ,作直径作直径CD,CD,使使CD AB,CD AB,垂足为垂足为E.E.(1)(1)这个图形是轴对称图形吗这个图形是轴对称图形吗? ?若是若是, ,那么它的对称轴是什么那么它的对称轴是什么? ?(2)(2)你能发现图中有哪些相你能发现图中有哪些相等的线段和弧等的线段和弧? ?请说明理由请说明理由. .OCDMAB是轴对称图形，其对称轴是是轴对称图形，其对称轴是CD.,.AMBM ACBC ADBD动动脑筋！动动脑筋！叠叠 合合 法法OABCDM 已知：在已知：在 O中，中，CD是直径，是直

4、径，AB是弦，是弦，CDAB，垂足为，垂足为E。求证：求证：,.AMBM ACBC ADBD证明：连结OA、OB，则OAOB。因为 垂直于弦AB的直径CD所在的直线既是等腰三角形 OAB的对称轴又是 O的对称轴。所以 当把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，A点和B点重合，AE和BE重合，AC、AD分别BC、 BD重合。 因此,.AMBM ACBC ADBDOABCDMOABCDMOABCDM垂径定理垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。且平分弦所对的两条弧。题设题设结论结论（1）过圆心）过圆心（2）垂直于弦）垂直于弦（3）平分弦）平分

5、弦（4）平分弦所对的优弧）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧 垂径定理垂径定理: :垂直于弦的直径平分弦垂直于弦的直径平分弦, ,并且平分并且平分弦所对的两条弧。弦所对的两条弧。符号语言符号语言: :文字语言：文字语言：图形语言图形语言 CD是直径是直径 CDABAM=BMAD=BDAC=BCOCDMABEDCOAB下列图形是否具备垂径定理的条件？下列图形是否具备垂径定理的条件？ECOABDOABc是是不是不是是是不是不是OEDCABABCDO M 如果交换垂径定理的题设和结论的部分语如果交换垂径定理的题设和结论的部分语句，会有一些什么样的结论呢？句，会有一些什么样的结论

6、呢？直线直线CD过圆心过圆心O AM=BM，(AB不是直径不是直径)? CDABAD=BDAC=BC条件条件结论结论垂径定理的推论：垂径定理的推论： 平分弦（不是直径）的直径垂直于平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。弦，并且平分弦所对的两条弧。 ABCDO M直线直线CD过圆心过圆心O AM=BM，(AB不是直径不是直径) CDABAD=BDAC=BC根据垂径定理与推论可知对于一个根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说。如果具备圆和一条直线来说。如果具备（1）过圆心）过圆心 （2）垂直于弦）垂直于弦 （3）平分弦（）平分弦（4）平分弦所对的优弧平分弦所对的优弧 （

7、5）平分弦所对的劣弧）平分弦所对的劣弧上述五个条件中的任何两个条件都上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论可以推出其他三个结论注意注意判断判断（1）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的）垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧弧.( )（2）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且）弦所对的两弧中点的连线，垂直于弦，并且经过圆心经过圆心.( )（3）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平）圆的不与直径垂直的弦必不被这条直径平分分.( )（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧两条弧( )（5）圆内两条非直径的弦不能互相平分（）圆内两条

8、非直径的弦不能互相平分（ ）例如图，在以例如图，在以O为圆心的两个同心为圆心的两个同心圆中圆中,大圆的弦大圆的弦AB交小圆于交小圆于C、D两点。两点。求证：求证：AC = BDABCDOE证明：过证明：过O作作OEAB，垂足为，垂足为E， 则则AE = BE, CE = DEAE CE = BE DE 即即 AC = BD辅助线：圆中常作辅助线，半径，垂直于半径的弦。辅助线：圆中常作辅助线，半径，垂直于半径的弦。垂直于弦的直径。实际上从圆心作与弦垂直的线段。垂直于弦的直径。实际上从圆心作与弦垂直的线段。 活动三、变式运用，巩固新知活动三、变式运用，巩固新知例例2 1300多年前多年前,我国隋朝

9、建造的赵州石拱桥我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图如图) 的桥拱是圆的桥拱是圆弧弧 形形,它的跨度它的跨度(弧所对是弦的长弧所对是弦的长)为为 37.4 m,拱高拱高(弧的中点到弧的中点到弦的距离弦的距离,也叫弓形高也叫弓形高)为为7.2m,求桥拱的半径求桥拱的半径(精确到精确到0.1m). 垂径定理的应用垂径定理的应用在RtOAD中，由勾股定理，得解得 R27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.AB=37.4 CD=7.2AD= AB= 37.4=18.72121OD=OCDC=R-7.2OA2=AD2 + OD2即：R2 = 18.72 + ( R 7.2 )2CDOAB解:如

10、图,用AB表示主桥拱 ，设所在圆的圆心为O,半径为R.经过圆心O作AB的垂线OC,D为垂足,OC与AB相交于点C,根据前面的结论,D是AB的中点,C是AB的中点,CD就是拱高1. 如图如图1,在圆在圆O中中,若若MNAB,MN为直径为直径, 则则_, _, _. MOABNC2. 如图如图2,已知圆已知圆O的半径的半径OA长为长为5,直径直径MN垂直垂直于于AB,AB长为长为8, 则则OC的长为的长为( ) A. 3 B. 6 C. 9 D. 103. 如图如图2:MN为圆为圆O的直径的直径,AB为弦为弦,MN垂直于垂直于AB于于 点点C,则下列结论错误的是则下列结论错误的是( )A. AOC= BOC B.AC=BC C.MC=NC D.AN=BN 4、圆的半径为、圆的半径为3,则弦长则弦长x的取值范围是的取值范围是_. 5、若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是、若圆心到该圆的两条平行弦的距离分别是3和和5,则此二条平行弦则此二条平行弦之间的距离是之间的距离是_. MNOAB图2图1CABCDO6、如图、如图1，在，在 O中中, AB是是 弦弦, OC = OD。求证：求证：AC = BD (1)ABCDO7、如图、如图2，在，在 O中中, CD是是弦弦, OA = OB。求证：求证：AC = BD (2)课堂小结1.圆的对称性圆的对称性2.垂径定理及推论垂径定理及推论BADC