不定积分与定积分的运算

1、不定积分与定积分的计算1#1. 不定积分1.1 不定积分的概念原函数： 若在区间上的一个F (x) f (x) ，则称 F(x) 是 原函数.#原函数的个数 :在区间上的一个原函数 , 则对2都是在区间3上的原函数；若也是在区间4上的原函数，则必有5可见，若的全体原函数所成集合为6R.原函数的存在性 : 连续函数必有原函数不定积分：的带有任意常数项的原函数称为的不定积分。记作 f (x)dx9一个重要的原函数：若f(x)在区间10#x上连续，a I，则 f(t)dt是的一个 a原函数。#1.2不定积分的计算(1)裂项积分法#x412x21dx(x21*)dx3x 2 arcta nx C。3#

2、例2：dx2 . 2 cos xsin x2 2cos x sin x ,22dxcos xsin x(csc2 x sec2 x)dx11例3:dxx2(x21)(x2 1)x2(x2dx1)dxxdx1 x2arctan x Cx12#(2) 第一换元积分法有一些不定积分，将积分变量进行适当的变换后，就可利用基本积分表求出积分。例如，求不定积分cos2xdx，如果凑上一个常数因子2,使成为1cos2xdx cosx?2xdx2cos2xd 2x例4:3dxx 1 x2arctan、x例5：dxxrx1d1x例6：2 1.112xxarctan x ,dxarctan、. x.x(1 x)2

3、ZTTd x哼dt1 t2#(arctg x)2 c.22 arctant d(arctant) (arctgt)(3) 第二换元积分法第二换元积分法用于解决被积函数带根式的不定积分，代换方法如下: 被积函数包含n ax b ,处理方法是令nax b t, x - (tn b);a被积函数包含a2 x2 (a 0),处理方法是令x sint或x cost ;#被积函数包含.aa . x arcs inX (a 0),处理方法是令x tant;被积函数包含、x2 a2 (a0),处理方法是令x sect;1314例 7:计算一:ax dx a 0解：令 x a si nt,-a，且.x arcs

4、 in , a aa2x2a costa2x2dx由图2.1知sint xa所以a2x2dxa cost, dx a costdt,从而a cost .a costdt2 2,v a xcost2a . xarcs inaa2xa2x2cos2tdt2a-12cos2t dt2sin tcost2#例8:dxx 3 x26 (1 t)dtdt1 t#ln16x(4) 分部积分法当积分f (x)dg(x)不好计算，但g (x)df (x)容易计算时，使用分部积分公式f (x)dg(x) f (x)g(x) g (x)df (x).常见能使用分部积分法的类型(1) xne 2x3 arctanxd

5、x, xnsinxdx, xn cosxdx等,方法是把 ex,sin x,cosx移至U d后面, 分部积分的目的是降低x的次数(2) xn lnmxdx, xn arcsinm xdx, xn arctanm xdx等,方法是把 xn 移到 d 后面,分部几分的 目的是化去In x, arcsin x, arctan x .1516例 9： x2exdxx2dex x2exex 2xdx#x2ex 2 xdx x2ex 2(xex exdx) ex(x2 2x 2) C#例10:ln x , dxln xd1lnxln x xdxx2-(lnx 1) C x例 11:(1 6x2)arct

6、an xdx3arctanxd(x 2x )x 2x3 arctan x2x3xdx#x 2x3 arctanxx2x 2 dx1 x#x2 丄ln 1 x22#例 12:cos2 xdxcosxdsinx cosxsinxsin2 xdx =cosxsinx xcos2 xdx，解得2x 1cos xdx 一 sin 2x c.24例13:sec xdx secx sec xdx secxdtgx secxtgxtgxsecxtgxdx#23secxtgx (sec x 1)secxdx secxtgx sec xdx secxdx3secxtgx In | secx tgx | sec x

7、dx,解得sec xdxsecxtgxIn | secx tgx | c .x17x#以上两例所示的通过分部积分与解方程的方法求解不定积分是一种技巧 例14设函数f(x)的一个原函数是竺，求xf (x)dxx解:f(x)sin xxcosx sin x2xxxf (x)dx Xd(f(x) xf (x)f(x)dxx cosx2xsin xsin xcxx#x#2sin xcosxcx评:本题主要考察原函数和不定积分的概念以及分部积分法arcta nx例15计算兰丁dx(1x2)(1)用分部积分法；(2)说明涉及到arcsin x,arctan x的积分一般有两种处理方法作变量替换令arcsi

8、nx t或arctanx tx#x#解法arcta n x xe(1x2dxarcta n x e22 (1 x2)円1 x )1 arctan x .-2 e d2_1_x2_1_1 x2arcta n x e_1_1 x2arcta n xe -1ydx_1_1 x2arcta n x earcta n x e(1 x2)dxx18评:分部积分后,后面的积分计算更加困难为此我们考虑变量替换法解法二:令 arctanx y, x tan yarcta n xxe(1 x2)2dxtan y ey3sec y2sec y dysin yeydy1 ye (siny cosy) C2arcta

9、n xC19#评:变量替换后几分的难度大大降低,sin yeydy是每种教材上都有的积分2. 定积分定积分的计算主要用牛顿莱布尼兹公式通过不定积分计算(1)基本积分法例16计算0 (1dx5x2) 1 x2#解：令x tant，则(1dx5x2).1 x26 0 (1sec2 tdt25tan t)sectcostdt2 2cos t 5sin t#,3解： x x02dx：x(2 x)dx ；x(x 2)dx 83例 17 计算 maxx,1 xdx解:1omaxx,1 xdx=。2(1x)dx11 xdx2(3) 利用函数的奇偶性化简定积分f (x)dxf(x)dx当f(x)是奇函数 当f

10、(x)是偶函数1 例 18 计算 X .1 xdx)2dx1 1 1 :解： (x 、1 x2)2dx= 1dx 2 x 1 x2dx=2+0=21 1 ex 1 11例 19 计算 1 (x x)e -27 e sin x4dxdx1 1 1解:(x x)e lxdx= xe xdxxedx1 x10 2 xe dx 2 4e0x 2例20计算：亍驴x分析：被积函数即不是奇函数，又不是偶函数，无法利用函数的奇偶性化 简。但是积分区间是关于原点对称的，可考虑使用化简公式的推导方法。2021解:x 27 e sin x： x dx01 exc x -20 e sin x ,#2sin x _dx4 1 e0 ex03d( y)e y sin20 1 e y.27 sin y , 4 ydy 01 ey.2 忆 sin x ,4 rdx 01 ex#所以#44x2e sin x _x dx1 ex .27 e sin x ,4 x dx01 exn x20 e sin x _x dx4 1 e424sinoxdx 1822#(4) 一类定积分问题1求 f(x)例21已知f (x)是连续函数，f (x) 3x22 o f (x)dx ,