《自动控制原理》（第六版）课件：第7章 线性离散系统的分析与校正3

1、第七章第七章 线性离散系统的分析与校正线性离散系统的分析与校正3第七章 线性离散系统的分析与校正7-3 z 变换理论 z 变换是研究线性离散系统的重要工具。其地位与拉氏变换在连续系统中的地位相同。 z 变换是从拉氏变换直接引出来的一种变换方法。实际上是采样函数拉氏变换的变形，有时 z 变换也称为采样拉氏变换。 *0( )()nTsnEse nT eTsze令*1ln0( )( )|( T)nsznTE zEse nz记作：)()()(*teZteZzE1. z1. z变换定义变换定义采样信号的拉氏变换：z变换仅对采样信号的拉氏变换有意义，通过这种变换，可将对s的超越函数变为对z的幂级数或对z的

2、有理分式。则5由Z变换定义知：120( )()(0)( )(2 )()nnnE ze nT zeeT ze T ze nT z这是离散时间函数e*(t)的无穷级数表达式。2. z2. z变换方法变换方法(1) 级数求和法 适用于给定e(t)或e*(t)及T的情况。6例：求1(t)的Z变换解：11z12( )1nE zzzz 若则无穷级数是收敛的。110sTTzee 11( )11zE zzz0( )( T)nnE ze nZ7例: 求0nT)nTt () t () t ( e的z变换。解：0( )nnE zz1211( )11111nE zzzzzzzz *0( )( )()Tne tttnT

3、*0( )nTsnEse8 适用于给定连续函数拉氏变换 E(s) 的场合，或容易求出 E(s) 的场合。可将E(s)分成部分分式和的形式，然后使每一部分变为简单的时间函数。由于简单的时间函数的z变换是已知的，于是可方便的求出E(s)对应的z变换E(z)。例：)as ( sa) s (E，试求相应的z变换解：11( )(aE ss sassa）( )1ate te 2(1)( )1(1)aTaTaTaTzzzeE zzzezeze（2）部分分式法9 （1）线性定理：1212 ( )( )( )( )Z e te tE zEz( )( )Z ae taE z 线性定理表明， z变换是一种线性变换，

4、变换过程中满足齐次性和叠加性。3. Z变换的基本定理10（2）实数位移定理又称延迟定理、平移定理。包括超前定理和滞后定理二部分。 ()( )kZ e tkTzE z（1）如果函数 是可拉氏变换的， 其z变换为E(z)，则( )e t证明： 0()0 ()()() )nnkn knZ e tkTe nTkT zze nk Tz11令 ，则有 mnk ()()kmmkZ e tkTze mT z()0 (0)e mTm0 ()()kmmZ e tkTze mT z令 ，则mn0 ()()( )knknZ e tkTze nT zzE z1210 ()( )()kknnZ e tkTzE ze nT

5、 z（2）如果函数 是可拉氏变换的， 其 z 变换为E(z)，则( )e t证明： 0()0 ()()() ()()nnkn knkmm kZ e tkTe nTkT zze nk T zze mT zmnk1310010()()()( )()kmm kkkmmmmkkmmze mT zze mT ze mT zzE ze mT z10 ()( )()kknnZ e tkTzE ze nT z令 m=n14 z-K代表时域中的滞后环节，将采样信号滞后k 个采样周期；同理， zK 代表超前环节，是把采样信号超前 k 个采样周期。但zK仅用于运算，在实际中并不存在。在实数位移定理中 ()( )kZ

6、 e tkTzE z称为滞后定理；10 ()( )()kknnZ e tkTzE ze nT z称为超前定理；15例: 用实数位移定理计算滞后一个采样周期的指数函数 的z变换。解：()1()()a t TatZ ez Z e()a t Te11aTaTzzzeze16（3）复数位移定理如果函数 是可拉氏变换的， 其 z 变换为 E(z) ，则( )e t( )ataTZ ee tE ze 证明00( )()()()atanTnnaTnnZ ee tee nT ze nTze 令1aTzze则110( )()( )()atnaTnZ ee te nT zE zE ze 17例: 用复数位移定理计

7、算 的z变换。解：22()()()(1)()aTataTaTaTaTE zeZ teT zezeTzezeatte令( )e tt2( )( )(1)TzE zZ tz18（4）终值定理 如果函数 的z 变换为 E(z)， 函数序列 e(nT)为有限值(n=0,1,2,)， 且极限 存在， 则函数序列的终值为 ( )e tlim ()ne nT1lim ()lim(1) ( )nze nTzE z19例：220.792( )(1)(0.4160.208)zE zzzz利用终值定理确定e(nT)的终值。2212210.792( )lim(1)(1)(0.4160.208)0.792lim10.4

8、160.208zzzezzzzzzz 解：设z变换函数为20设x(nT)和y(nT)是两个采样函数，其离散卷积定义为：0()()() () kx nTy nTx kT y nk T则()()()( )( )( )g nTx nTy nTG zX zY z （5）卷积定理 此定理表明：两个采样函数卷积的z变换，等于每个采样函数z变换的积。在离散系统分析过程中，它是沟通时域与z域的桥梁。21 与拉氏反变换类似，利用Z反变换，可以求出离散系统的时间响应。 Z反变换可以表示为：e(nT)=Z-1E(z)。4. z反变换(1) 部分分式法22例：设)ez)(1z(z)e1 () z(EaTaT求z反变换

9、。解：aTaTaTez11z1)ez)(1z()e1 (z/ )z(E( )1aTzzE zzze0( )1anTne tetnT( )1( )ate tte()1anTe nTe 23 (2) 幂级数法（长除法、综合除法） 按一般除法，将E(z)展开成按Z-1的升幂排列的级数展开式为：120121202( ),1mmnnbb zb zb zE zmna za za z120120( )nnnnnE zcc zc zc zc z*0( )()nne tctnT24实际应用中，幂级数法常常只算有限的几项就够了，因此用这种方法求e*(t)是很简便的，但是要从一组e(nT)值中求出通项表达式，则比较

10、困难。例： 求z5 . 0z5 . 1z1z2z)z(E2323的z反变换。解：用长除法：2511025 . 05 . 12323zzzzzz05 . 05 . 123zzz15 . 0-5 . 32zz-15 . 3 z1.7552 . 5-5 . 32zz-10z0.75-57 . 4z-257 . 4z-12.38z7.13-57 . 4z-338. 6z2-102.38z-38. 6 z2-119. 39.57z-38. 6z2-119. 3.19z7z26求得：321z38. 6z75. 4z5 . 31)z(E( )( )3.5 ()4.75 (2 )6.38 (3 )e tttTtTtT所以27z变换所处理的对象是离散时间序列，而不带有原信号采样点间隔内的任何信息，换句话说，不管采样前连续信号是何等形式，只要它们采样点的值相等，它们的z变换是相同的。z变换只与采样脉冲序列e*(t)一一对应，而与e(t)不一