精选-概率论与数理统计浙大四版习题答案

1、第三章多维随机变量及其分布1一在一箱子里装有12只开关，其中2只是次品，在其中随机地取两次，每次取一只。考虑两种试验：（1）放回抽样，（2）不放回抽样。我们定义随机变量X，Y如下：S,若第一次取出的是正品，X = v1,若第一次取出的是次品-0,若第二次取出的是正品，Y = *1,若第二次取出的是次品-试分别就（1） （ 2）两种情况，写出 X和Y的联合分布律。解：（1）放回抽样情况由于每次取物是独立的。由独立性定义知。P (X=i , Y=j)=P (X=i)P (Y=j)或写成10102512123610251212 _ 3621051212 _ 362211212 _ 36P (X= 0

2、, Y=0 )=P (X= 0, Y= 1 )=P (X= 1, Y=0 )=P (X= 1, Y= 1 )=666631（2）不放回抽样的情况P X=0, Y=0 = 10 h45P x=o, Y=1 =打101066P X=1, Y=0 = 1012 11322 1P X=1, Y=1 = 12 不丄二66或写成4只球，以X表示为c；c；1c4 一35c3c2cf6c435c3c；c；6C；35cfc；3c；35cfc2c；12c；35P X=0, Y=2 =P X=1, Y=1 =P X=1, Y=2 =P X=2, Y=0 =P X=2, Y=1 =P X=2, Y=2 =2 2C3

3、C23C；=35P X=3, Y=0 =_2_=35036P X=3, Y=1 =P X=3, Y=2 =05.三设随机变量（X, Y)概率密度为f （x, y）k(6 x y), 0 ex c2, 2 c y c40,其它（1）确定常数k。求 P X1, Y3(3)求 P (X1.5(4)求 P (X+Y 4分析：利用P ( X, Y) G=11 f (x, y)dx dy =f (x, y)dxdy再化为累次积分，其G -Do中 D。=（x, y）0 : x 2,2 : y : 4:2 11解：(11f (x, y)dxdyk(6-x-y)dydx，二.0 281313P（X ：1,Y ：

4、3） = 0dx 边評一乂曲应总1.54127(3)P(X -1.5H P(X _1.5, Y ： ：) dx 2一(6- x y)dy =832(4)24-x 12P(X YE4)=i dx (6xy)dy=上00836. (1)求第1题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。2题中的随机变量（X、Y ）的边缘分布律。（2）求第36365边缘分布为边缘分布律为X01Y01Pi 51Pj51百66不放回抽样（第1题）0104510666611016666X 01Y 015 1P.51P j6 6 6 6（2）（X, Y ）的联合分布律如下解:X的边缘分布律X 012Pr丄338887.五设二维随

5、机变量330880018Y的边缘分布律3Y13丄P-j-288123X, Y ）的概率密度为解:Z.8y(2 -x) f (x, y)00 _x _1,0 _y _x其它求边缘概率密度fx(x)二,.f (x, y)dyxo4.8y(2x)dy = 2.4x2(2 x) =丿000乞 x1其它fy(y)二二 f (x, y)dx =f 124.8y(2 _x)dx =2.4y(3_4y + y )L y0空y空1其它8.六设二维随机变量（X，Y）的概率密度为f（X, y）=e，0 : x ： y求边缘概率密度。0,其它.解:fx（X）=广f（X, y）dy =； !edy =e , x . 0

6、0,fY（y） = . f（x,y）dx 二0,/ 2 2cx y, x 兰 y9.七设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f(x, y)二0,其它(1)试确定常数Co (2)求边缘概率密度。5.:-:1- y 21解：1= I | f （x, y）dxdy dy cx2ydx=c y2 dy =4c=c一421x fx（x）Y fy（y）二y21d2ydx - y 47280,d p2 ydy = 21x 415.第1题中的随机变量 X和Y是否相互独立。解：放回抽样的情况P X=0, Y=0 =P X=0 P Y=0 =5P X=0, Y=1 =P X= 0P Y=1=36P X=1, Y=

7、0 =P X=1P Y=0=36P X=1, Y=1 =P X=1P Y=1=在放回抽样的情况下,X和Y是独立的不放回抽样的情况:P X=0, Y=0 =詈3694511 6637P X= 0=1012 6109 2105P X=0= P X=0, Y=0 + P Y=0, X=1 = 12 石 齐 石在5525P X=0 P Y=0 = - -P X=0, Y=0 丰 P X= 0P Y= 0X和Y不独立16十四设X, Y是两个相互独立的随机变量,X在（0, 1）上服从均匀分布。Y的概率密度为（1）求X和Y的联合密度。（2）设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0,试求有实根的概率。1,x（

8、0,1）解：（1）X的概率密度为fx（x）= 、0,其它Y的概率密度为_y_2且知X, Y相互独立,于是（X，Y）的联合密度为f (x, y) = fx (x) fy(y)_e0 x 0 f(t)= 0当z0时，由和的概率公式知fz(z) = Ufx(z-y) fy(y)dy0z(z-y)e2ye 今dy3z 二e6fz(z)6i 0z 0z _0(2)设z表示前两周需要量，其概率密度为fz(z) = 0,当 u 0时fn(u)二 f (u -y)fE(y)dyyedyU 1(u -y)o 65u e120所以n的概率密度为fn(U)= 120i 0u 0u _022.二十二设某种型号的电子管

9、的寿命（以小时计）近似地服从 分布。随机地选取 4只求其中没有一只寿命小于180小时的概率。2N (160, 20 )解：设X!, X2 , X3, X4为4只电子管的寿命，它们相互独立，同分布，其概率密度为:fT(t)n 20e(t -460)22 202fX : 180二 Fx(180)218oyL dt-= 2 202令 口0 二 u120 12. 180-602du 八()20查表0.8413设 N= minX1, X2, X3, X4P N180= P X1180, X2180, X3180, X4180444=P X180 =1 - pX180 = (0.1587) =0.0006

10、327.二十八设随机变量（X, Y）的分布律为X012345000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1) 求 P X=2|Y=2, P Y=3| X= 0(2) 求 V=max (X, Y )的分布律(3) 求U = min (X, Y )的分布律解：（1 ）由条件概率公式P X=2|Y= 2=PX =2,Y =2PY =20.050.010.03 0.05 0.05 0.050.08=0.05=0.25同理P Y=3|X= 0=(2)变量

11、 V=max X, Y 显然V是一随机变量，其取值为V: 0123 45P V= 0=P X=0 Y= 0=0P V= 1=P X=1，Y= 0+ P X= 1，Y=1+ P X=0，Y=1=0.01+0.02+0.01=0.04P V= 2=P X=2，Y= 0+ P X=2，Y=1+ P X=2，Y=2+ P Y=2, X= 0+ P Y=2, X=1=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16Y=2+ P X=3，Y=3P V= 3=P X=3，Y= 0+ P X= 3，Y=1+ P X=3,+ P Y=3, X= 0+ P Y=3, X=1+ P Y=3, X= 2=0

12、.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28 P V= 4= P X=4，Y=0+ P X= 4，Y= 1+ P X=4，Y=2+ P X=4，Y=3 =0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P V=5=P X=5, Y=0+ + P X=5, Y= 3=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28（3）显然 U 的取值为 0， 1， 2， 3P U= 0=P X=0， Y=0+ + P X= 0， Y=3+ P Y=0， X=1 + + P Y=0， X=5=0.28同理 P U=1=0.30 P U= 2=0.25 P U=3=0.17或缩写成

13、表格形式2)V012345Pk00.040.160.28 0.240.283)U0123Pk0.280.300.250.174)W=V+U 显然 W 的取值为 0，1，8PW=0= PV=0 U=0=0PW=1= PV=0, U=1+ PV=1U=0V=maxX, Y=0 又 U=min X, Y=1 不可能上式中的 PV=0， U=1=0 ，又P V=1 U= 0=PX=1 Y=0+ P X=0 Y=1=0.2故P W=1= PV=0, U=1+ PV=1， U=0=0.2P W=2= PV+U= 2= P V=2, U=0+ PV=1， U=1 = P X=2 Y=0+ PX=0 Y=2+

14、 PX=1Y=1=0.03+0.01+0.02=0.06P W=3= PV+U= 3= P V=3, U=0+ PV=2， U=1 = P X=3 Y=0+ PX=0， Y=3+ PX=2， Y=1+ PX=1， Y=2 =0.05+0.01+0.04+0.03=0.13P W=4= PV=4, U=0+ PV=3， U=1+ PV=2， U=2 =PX=4 Y=0+ PX=3， Y=1+PX=1， Y=3+ PX=2， Y=2 =0.19PW=5= PV+U= 5=PV=5, U=0+ PV=5, U=1+ P V=3 , U=2 = PX=5 Y=0+ PX=5, Y=1+ PX=3, Y

15、=2+ PX=2, Y= 3 =0.24P W=6= PV+U= 6= P V=5, U=1+ P V=4, U=2+ P V=3 , U=3 = PX=5 , Y=1+ PX=4, Y=2+ PX=3, Y=3 =0.19P W=7= PV+U= 7= P V=5, U=2+ P V=4, U=3= PV=5, U=2 + PX=4, Y=3=0.6+0.6=0.12P W=8= PV+U= 8= P V=5, U=3+ P X=5, Y=3=0.05或列表为W012345678P 00.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05二一 设随机变量(X, Y)的概率密度为be切，0cxc1,0cy c 畑f (x, y) =*0,其它(1)试确定常数b; (2)求边缘概率密度fx (x), fY (y) (3)求函数U=max (X, Y)的分布函数。0 be y)dydx 二b1 _e: