第五章 弯曲内力 材料力学

1、1 上海工程技术大学基础教学学院工程力学部上海工程技术大学基础教学学院工程力学部 2 51 工程实例、基本概念 52 弯曲内力与内力图 53 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 54 按叠加原理作弯矩图 55 平面刚架和曲杆的内力图 弯曲内力部分小结弯曲内力部分小结 56 弯曲正应力及强度计算 57 弯曲剪应力及强度计算 58 提高弯曲强度的措施 弯曲应力部分小结弯曲应力部分小结 第五章第五章 弯曲内力与应力弯曲内力与应力 作业 3 5 51 1 工程实例、基本概念 一、实例一、实例 工厂厂房的天车大梁：工厂厂房的天车大梁： 火车的轮轴：火车的轮轴： F F F F F F 4 楼房的横梁：楼

2、房的横梁：阳台的挑梁：阳台的挑梁： 5 6 二、二、弯曲的概念弯曲的概念： 受力特点受力特点作用于杆件上的作用于杆件上的外力外力都都垂直垂直于杆的于杆的轴线轴线。 变形特点变形特点杆轴线由杆轴线由直线直线变为一条平面的变为一条平面的曲线曲线。 三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。 四、平面弯曲的概念：四、平面弯曲的概念： q P M A R B N 7 受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）弯曲中

3、心）。 变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。面曲线。 纵向对称面纵向对称面M F1 F2 q 平面弯曲平面弯曲 8 五、弯曲的分类：五、弯曲的分类： 1 1、按杆的形状分、按杆的形状分直杆直杆的弯曲；曲杆的弯曲。的弯曲；曲杆的弯曲。 2 2、按杆的长短分、按杆的长短分细长杆细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。的弯曲；短粗杆的弯曲。 3 3、按杆的横截面有无对称轴分、按杆的横截面有无对称轴分 有对称轴有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。的弯曲；无对称轴的弯曲。 4 4、按杆的变形分、按杆的变形分平面弯曲平面弯曲；斜弯曲；斜弯曲；弹性弯

4、曲弹性弯曲；塑性弯曲。；塑性弯曲。 5 5、按杆的横截面上的应力分、按杆的横截面上的应力分纯弯曲；横力弯曲纯弯曲；横力弯曲。 9 （一）、简化的原则（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。：便于计算，且符合实际要求。 （二）、梁的简化（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。：以梁的轴线代替梁本身。 （三）、荷载的简化：（三）、荷载的简化： 1 1、集中力、集中力荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。 2 2、分布力、分布力荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。 3 3、集中力偶（分布力偶）、集中力

5、偶（分布力偶）作用于杆的纵向对称面内的力偶。作用于杆的纵向对称面内的力偶。 （四）、支座的简化：（四）、支座的简化： 1 1、固定端、固定端有三个约束反力。有三个约束反力。 F XA FAY MA 六、梁、荷载及支座的简化六、梁、荷载及支座的简化 A A 10 2 2、固定铰支座、固定铰支座 有二个约束反力。有二个约束反力。 3 3、可动铰支座、可动铰支座 有一个约束反力。有一个约束反力。 FAY FAX FAY 11 （五）、梁的三种基本形式：（五）、梁的三种基本形式： q(x) 分布力 分布力 1 1、悬臂梁：、悬臂梁： 2 2、简支梁：、简支梁： 3 3、外伸梁：、外伸梁： 集中力集中力

6、 F q 均布力 均布力 L L L L （L称为梁的跨长）称为梁的跨长） M 集中力偶集中力偶 12 （六）、静定梁与超静定梁（六）、静定梁与超静定梁 静定梁静定梁：由静力学方程可求：由静力学方程可求 出支反力。出支反力。 超静定梁超静定梁：由静力学方程不：由静力学方程不 可求出支反力或不能求出全可求出支反力或不能求出全 部支反力。部支反力。 P P P A R P C R B R A C B 13 5 52 2 弯曲内力与内力图弯曲内力与内力图 一、内力的确定（截面法）：一、内力的确定（截面法）： 例例已知：如图，已知：如图，F，a，l。 求：距求：距A端端x处截面上内力。处截面上内力。

7、FAY FAX FBY F AB F a l AB解：解：求外力求外力 0 , 0 AX FX FAX =0 以后可省略不求以后可省略不求 0 , 0 FalFm BYA 0F , 0 BYAY FFY l alF l Fa F AYBY )( F , m m x 14 AB F FAY FAX FBY m m x 求内力求内力 Fs M M Fs 弯曲构件内力：弯曲构件内力： 剪力剪力，弯矩弯矩。 FAY A C FBY F C l alF FF AYs )( , 0Y. 0 sAY FF x l alF xFM AY )( , 0 C m. 0 xFM AY 研究对象：研究对象：m - m

8、 截面的左段：截面的左段： 或，研究对象：或，研究对象：m - m 截面的右段：截面的右段： , 0Y. 0 BYs FFF , 0 C m. 0)()(MxaFxlFBY , )( l alF Fs x l alF M )( s FM 15 AB F FAY FAX FBY m m x Fs M M Fs 1. 弯矩：弯矩：M 构件受弯时，横截面上构件受弯时，横截面上 存在垂直于截面的内力偶矩存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。（弯矩）。 A FAY C FBY F C 2. 剪力：剪力：Fs 构件受弯时，横截面上构件受弯时，横截面上 存在平行于截面的内力（剪存在平行于截面的内力（剪 力）。

9、力）。 16 二、二、内力的正负规定内力的正负规定: : 剪力剪力Fs: : 在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之 矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。矩为顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。 弯矩弯矩M： 使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。 Fs(+) Fs(+) Fs() Fs() M(+) M(+) M()M() 17 三、注意的问题三、注意的问题 1 1、在截开面上设正的内力方向。、在截开面上设正的内力方向。 2 2、在截开前不能将外力平移或简化。、在截开前不能

10、将外力平移或简化。 四、简易法求内力：四、简易法求内力： 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。 iS FF（一侧）（一侧）， i MM（一侧）。（一侧）。 18 例例：求求1-1、2-2截面处的内力。截面处的内力。 , 0 Y , 0 C m qL M1 解解 q qL ab 1-1 1 Q 1 x 111 ,qlxMqLQ 2-2 qL M2 x2 q 2 Q , 0 Y , 0 C m qLxaxqM0)( 2 1 2 2 22 QaxqqL0)( 22 L)axq Q 22 ( 2 2 22 )( 2 1 qLxaxqM . 0 1 qLQ . 0 11

11、 qLxM 1 1 2 2 19 1.2kN/m 0.8kN A B 1.5m 1.5m3m 2m 1.5m 1 1 2 2 例例 ：梁梁1-11-1、2-22-2截面处的内力。截面处的内力。 解：解：（1）确定支座反力）确定支座反力 RA RB 032 . 18 . 0, 0 BA RRY )(9 . 2),(5 . 1kNRkNR BA 8 . 0 1 A RQ (2) (2) 1 1-1-1截面左段右侧截面截面左段右侧截面： 065 . 48 . 05 . 132 . 1, 0 AB RM 5 . 08 . 02 1 A RM 8 . 05 . 1)(7 . 0kN )(6 . 2mkN

12、 2 2-2-2截面右段左侧截面：截面右段左侧截面： 9 . 25 . 12 . 1 2 Q)( 1 . 1kN 75. 05 . 12 . 15 . 1 2 B RM )(0 . 3mkN RA 1 Q 1 M 8 . 0 2 Q 2 M B Rq 20 例例 ：求图求图所所示梁示梁1-11-1、2-22-2截面处的内力。截面处的内力。 aaa ABCD Fa 1 1 2 2 1.3a 0.5a F解：解：（1）确定支座反力）确定支座反力 0, 0 FRRY CB FRFR BC 2,3 （2 2）求内力）求内力, ,1 1-1-1截面取左侧考虑：截面取左侧考虑： FRQ B 2 1 2 2

13、-2-2截面取右侧考虑：截面取右侧考虑： FQ 2 02, 0 FaaRaFM CB B R C R FaaRM B 3 . 0 1 FaaF3 . 0)2(Fa4 . 0 aFM5 . 0 2 Fa5 . 0 B R Fa 1 Q 1 M 2 Q 2 M F D C 21 五、剪力方程、弯矩方程五、剪力方程、弯矩方程： 剪力、弯矩表达为截面位置剪力、弯矩表达为截面位置x x的函数式的函数式。 Q Q = Q (x= Q (x） 剪力方程, M = M(x) M = M(x) 弯矩方程 注意注意： 不能用一个函数表达的要不能用一个函数表达的要 分段，分段点为集中力作分段，分段点为集中力作 用点

14、、集中力偶作用点、用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。分布力的起点、终点。 L q AB ,)(qxxQ , 2 1 )( 2 qxxM )0(lx )0(lx x A Q M Q x ( (- -) ) M x ( (- -) ) ql 2 5 . 0 ql 22 六、剪力图和弯矩图：六、剪力图和弯矩图：剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。剪力、弯矩沿梁轴线变化的图形。 七、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。七、剪力图、弯矩图绘制的步骤：同轴力图。 1 1、建立直角坐标系，、建立直角坐标系， 2 2、取比例尺，、取比例尺， 3 3、按坐标的正负规定画出剪力图和弯矩图。、按坐标的正负规定画

15、出剪力图和弯矩图。 x Q x M 23 八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图八、利用剪力方程弯矩方程画出剪力图和弯矩图 步骤：步骤：1 1、利用静力方程确定支座反力。、利用静力方程确定支座反力。 2 2、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。、根据荷载分段列出剪力方程、弯矩方程。 3 3、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状、根据剪力方程、弯矩方程判断剪力图、弯矩图的形状 描点绘出剪力图、弯矩图。描点绘出剪力图、弯矩图。 4 4、确定最大的剪力值、弯矩值。、确定最大的剪力值、弯矩值。 24 Fs(x) xM(x) x F FL FFxF AYs )( 解解：求支反力求支反力 )

16、( )( LxF MxFxM AAY 写出内力方程写出内力方程 FL MFF AAY ; 根据方程画内力图根据方程画内力图 例例 列出梁内力方程并画出内力图。列出梁内力方程并画出内力图。 F A B )0(lx )0(lx FAY MA L x s F M F 25 C F a l AB b FAY FBY x1 解解：1、求约束反力反力 l Fa Fm BYA , 0 2 2、写出内力方程、写出内力方程 F L b FxF AYs )( 1 )0( 1 ax 11) (Fx L b xM)( 1 axo AC段： BC段： ,)( 2 F L a FxF BYs )0( 2 bx ,)( 2

17、22 Fx L a xFxM BY )0( 2 bx 3 3、根据方程画内力图、根据方程画内力图 M(x) x Fs(x) x F L b F L a F L ab 例例 画出梁的内力图。画出梁的内力图。 l F FY AY b , 0 x2 26 Fs(x) x F L b F L a C F a l AB b 讨论讨论C C截面剪力图的突变值。截面剪力图的突变值。 集中力作用点处剪力图有突变，集中力作用点处剪力图有突变， 突变值的大小等于集中力的大突变值的大小等于集中力的大 小小。（集中力 F 实际是作用 在X微段上）。 集中力偶作用点处弯矩图有突集中力偶作用点处弯矩图有突 变，突变值的大

18、小等于集中力变，突变值的大小等于集中力 偶的大小偶的大小。 X F L b F L a 27 解解：1、支反力 2 2、写出内力方程、写出内力方程 ),(2)(: 1 kNFxFAC AYs 1kN/m 2kN A B C D 1m1m2m x1 x3 x2 FAYFBY )( 2);( 2 0432121, 0 0212, 0 kNFkNF FM FFY BYAY AYB BYAY 例例 画出梁的内力图。画出梁的内力图。 ),.(2)( 111 mkNxxFxM AY , 0222)(: 2 AYs FxFCD ) 10( 1 x ,21)(: 333 xxFxFBD BY ),.(2) 1

19、(2)( 222 mkNxxFxM AY )20( 2 x , 2 2 2 1)( 2 3 3 3 333 x x x xxFxM BY )20( 3 x 28 3、根据方程画内力图 1kN/m2kN A B C D FAYFBY M(x) x Fs(x) x 2kN 2kN 2kN、m 2kN、m ).(5.1 2 1 12)( 1 3 3 mkN xM x )20( 2 2)( )20(2)(: )20(2)( )20(0)(: ) 10(2)( ) 2 0(, 2)(: 3 2 3 33 333 22 22 111 11 x x xxM xxxFBC xxM xxFCD xxxM L x

20、xFAC s s s ， ， ， ， ， 29 第一次作业：第一次作业：5 - 1. 5 - 1. 5 - 25 - 2. d, e, f, 30 第二次作业：第二次作业：5 - 6. c,e,f,g,h5 - 6. c,e,f,g,h 叠加法：叠加法：6. a, b 6. a, b 第一次作业：第一次作业：5 - 1. 5 - 1. 5 - 25 - 2. b, f, d 31 )3( 6 )( 22 0 xL L q xFs 解：求支反力 内力方程 3 ; 6 00 Lq F Lq F BYAY 根据方程画内力图 )xL( L xq xM 22 0 6 )( L 3 3 Fs(x) x 6

21、 2 0L q 3 2 0L q q0 L 27 3 2 0L q )0(lx )0(lx FAY FBY M(x) x 32 m A B C 解解：1、求约束反力、求约束反力 L m RR AB 2 2、写出内力方程、写出内力方程 ,: 1 L m RQAC A 3 3、根据方程画内力图、根据方程画内力图 M(x) x m/L m/2 例例 画出梁的内力图。画出梁的内力图。 （AC=CBAC=CB） ) 2 0( 1 L x :BC , 111 x L m xRM A , 222 x L m xRM B ) 2 0( 2 L x m/2 A R B R L 1 x 2 x A R 1 Q 1

22、 M 2 Q 2 M B R BA , 2 L m RQ B x Q 33 5 53 3 剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用剪力、弯矩与分布荷载间的关系及应用 一、一、 剪力、弯矩与分布荷载间的关系剪力、弯矩与分布荷载间的关系 1 1、支反力：、支反力： 2 ql FF BYAY L q RARB 2 2、内力方程、内力方程 qxqlxQ 2 1 )()0(lx 2 2 1 2 1 )(qxqlxxM )0(lx 3 3、讨论：、讨论： qxql dx xdM 2 1)( q dx xdQ )( x ),(xQ )(xq Q M A R A 34 对对dx 段进行平衡分析，有：段进行平衡分析，

23、有： 0)(d)(d)()( 0 xQxQxxqxQ Y )(dQd)(xxxq dx x q(x) q(x) M(x)+d M(x) Q(x)+dQ(x) Q(x) M(x) dx A y xq x xQ d d 剪力图上某点处的切线斜率等剪力图上某点处的切线斜率等 于该点处荷载集度的大小。于该点处荷载集度的大小。 35 q(x) M(x)+d M(x) Q(x)+dQ(x) Fs(x) M(x) dx A y , 0)( iA Fm )( d )(d xQ x xM 弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小。 )( d )(d 2 2 xq

24、 x xM 0)(d( 2 1 )()dQ(-)(d)( 2 xxqxMxxxMxM 36 xq x xQ d d )( d )(d xQ x xM )( d )(d 2 2 xq x xM 二、微分关系的应用二、微分关系的应用 2 2、分布力、分布力q(x)=q(x)=常数时常数时剪力图为一条斜直线； 弯矩图为一条二次曲线。 1 1、分布力、分布力q(x)=0q(x)=0时时剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线。 Q图：图： M图：图： （1 1）当分布力的方向向上时）当分布力的方向向上时 Q 图：图： M图：图： M(x) , 0q 剪力图为剪力图为斜向上斜向上的斜直线；的斜直线； 弯

25、矩图为弯矩图为下凸下凸的二次曲线。的二次曲线。 37 4 4、集中力偶处、集中力偶处剪力图无变化；弯矩图有剪力图无变化；弯矩图有突变突变， 突变值的大小等于集中力偶的大小。突变值的大小等于集中力偶的大小。 5 5、弯矩极值处、弯矩极值处剪力为零剪力为零的截面、的截面、集中力集中力作用的截面、作用的截面、 集中力偶集中力偶作用的截面。作用的截面。 3 3、集中力处、集中力处剪力图有剪力图有突变突变，突变值等于集中力的大小；，突变值等于集中力的大小； 弯矩图有弯矩图有折角折角。 （2 2）当分布力的方向向下时）当分布力的方向向下时 Q图：图： M图：图： M(x) , 0q 剪力图为剪力图为斜向下

26、斜向下的斜直线；的斜直线； 弯矩图为弯矩图为上凸上凸的二次曲线。的二次曲线。 6 6、支座的转化为、支座的转化为 相当的荷载相当的荷载 A 0 , 0 A A M RABC 0 , 0 A A M R 0 , 0 B B M R 0 C M 38 例例 用简易作图法画下列各图示梁的内力图。 控制点控制点: :端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等端点、分段点（外力变化点）和驻点（极值点）等。 四、简易法作内力图法（利用微分规律）四、简易法作内力图法（利用微分规律）: : 利用内力和外力的 关系及特殊点的内力值来作图的方法。 基本步骤基本步骤：1、确定支座反力； 2、利用微分规律判断梁各段

27、内力图的形状； 3、确定控制点内力的数值大小及正负； 4、描点画内力图。 39 左端点：剪力图有突变，突变值左端点：剪力图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。 右端点：弯矩图有突变，突变值右端点：弯矩图有突变，突变值 等于集中力的大小。等于集中力的大小。 qa2 2 2 3 qa qa x M aa qa q 解解：1、确定支反力（可省略）、确定支反力（可省略） AB： BC： 2、画内力图、画内力图 Fy m 2 2 3 ; 0qamF Y A B C Q x Q Q, , 0qaqaQc ,qaQA 右 ； , 0q q 0, ； M, , 2 qaM B , 0 A M

28、M, , ;5 . 1 2 qaMC ,qaQB 40 Q(x) x 2kN 2kN 解解：1、支反力支反力 )( 2);( 2 0432121, 0 0212, 0 kNFkNF FM FFY BYAY AYB BYAY 2、画内力图、画内力图 AC段段：剪力图为一条水平线；剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线弯矩图为一条斜直线 BD段段：剪力图为斜向下的斜直线；剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为上凸的二次曲线。弯矩图为上凸的二次曲线。 CD段段：剪力图为零；剪力图为零； 弯矩图为一条水平线。弯矩图为一条水平线。 A、C、B 截面剪力图有突变；截面剪力图有突变； 突变值的大小为其集中力的

29、值。突变值的大小为其集中力的值。 1kN/m A B C D 2kN 2m1m1m FAYFBY M(x) x 2kN、m 2kN、m 41 1m4m 10kN/m 20kN 40kN、m C B A 解解：1、支反力支反力 ).(25);(35 04405202410, 0 041020, 0 kNRkNR RM RRY BA AB BA 2、画内力图、画内力图 CA段段：剪力图为一条水平线；剪力图为一条水平线； 弯矩图为一条斜直线弯矩图为一条斜直线 AB段段：剪力图为斜向下的斜直线；剪力图为斜向下的斜直线； 弯矩图为上凸的二次曲线弯矩图为上凸的二次曲线。 C、A、B 截面剪力图有突变；截面

30、剪力图有突变； 大小为其集中力的值。大小为其集中力的值。A截面弯截面弯 矩图有突变；大小为其集中力矩图有突变；大小为其集中力 偶的值。偶的值。Q=0处处M有极值有极值 20 15 25 Q(x) x （kN） M(x) x kNm 20 2.5m 31.25 20 B R A R 42 解：求支反力 2 ; 2 qa F qa F DYAY 0; 2 M qa s F 左端点A： 2 2 1 ; 2 qaM qa s FB点左： 2 2 1 ; 2 qaM qa s F B点右： 2 2 1 ; 2 qaM qa s F C点左： M 的驻点： 2 8 3 ; 0qaM s F 2 2 1 ;

31、 2 qaM qa s FC点右： 0 ; 2 1 Mqa s F右端点D： Fs x qa/2 qa/2 qa/2 + qa2 qa AB C D x M 3qa2/8 q qa2/2 qa2/2 qa2/2 FAYFDY aaa 43 外力外力 无分布荷载段均布载荷段集中力集中力偶 q=0 q0q0 Q Q0 x 斜直线 增函数 x Q x Q 降函数 x Q C Q1 Q2 Q1Q2=F 自左向右突变 x Q C 无变化 斜直线 M x 增函数 x M 降函数 曲线 x M 盆状坟状 x M 自左向右折角 自左向右突变 x M 折向与F同向 三、剪力、弯矩与分布力之间关系的应用图三、剪力

32、、弯矩与分布力之间关系的应用图 M mMM 21 与 m 同 x M1 M2 44 54 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图 二、叠加原理：二、叠加原理：多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个多个载荷同时作用于结构而引起的内力等于每个 载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。载荷单独作用于结构而引起的内力的代数和。 一、前提条件一、前提条件：小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内小变形、梁的跨长改变忽略不计；所求参数（内 力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即力、应力、位移）必然与荷载满足线性关系。即 在弹性限度内满足虎克定律。在弹性限度内满足虎克定律。 三、步骤：三、步骤：1、

33、梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用；梁上的几个荷载分解为单独的荷载作用； 2、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图；、分别作出各项荷载单独作用下梁的弯矩图； 3、将其相应的纵坐标叠加即可（、将其相应的纵坐标叠加即可（注意：不是图注意：不是图 形的简单拼凑）。形的简单拼凑）。 45 例例 按叠加原理作弯矩图按叠加原理作弯矩图( (AB=2a，力，力F作用在梁作用在梁AB的中点处）。的中点处）。 q F AB F q =+ A A B B x M2 2 2 qa + x M22 2 qaFa = x M1 2 Fa 46 四、对称性与反对称性的应用：四、对称性与反对称性的应用： 对称结构在对称载荷

34、作用下对称结构在对称载荷作用下 Fs 图反对称，图反对称，M 图对称；图对称； 对称结构在反对称载荷作用下对称结构在反对称载荷作用下 Fs 图对称，图对称，M 图反对称。图反对称。 47 例例7 作下列图示梁的内力图作下列图示梁的内力图。 FL F FL LL LL LL 0.5F 0.5F 0.5F 0.5F F 0 Fs x Fs1 x Fs2 x 0.5F 0.5F 0.5F + F 48 F 0.5F F LL 0.5F FL LL 0.5F 0.5F FL LL F 0 M2 x 0.5FL 0.5FL M1 x 0.5FL M x FL 49 例例 绘制下列图示梁的弯矩图。 2F

35、aa F = 2F F + M1 x = x + 2Fa x MFa 2Fa M2 50 q q = + + x M2 x M1 = qa2/2 a a q q x M qa2 3qa2/2 qa2/2 51 F aa FL/2 x M FL/2 x M2 + FL/2 = FL/4 x M1 = + F FL/2 52 50kN aa 20kNm 20kNm = + 50kN 20kNm 20kNm x M2 + 50kNm = 20kNm x M1 M x 20kNm 30kNm 20kNm 53 55 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图 一、平面刚架一、平面刚架 平面刚架：平面

36、刚架：轴线由同一平面折线组成的刚架。轴线由同一平面折线组成的刚架。 特点：特点：刚架各杆的内力有：刚架各杆的内力有：Fs、M、FN。 1 1、刚架：由刚性节点联成的框架、刚架：由刚性节点联成的框架 2 2、节点：两杆之间的交点。、节点：两杆之间的交点。 3 3、刚性节点：两杆之间联接处的夹角不变的节点（联接处不、刚性节点：两杆之间联接处的夹角不变的节点（联接处不 能有转动）。用填角表示，以与铰支节点区别。能有转动）。用填角表示，以与铰支节点区别。 4 4、框架：由许多杆组成的，其轴线是由几段折线组成的结构。、框架：由许多杆组成的，其轴线是由几段折线组成的结构。 54 二、平面刚架内力图规定二、

37、平面刚架内力图规定： 弯矩图弯矩图：画在各杆的受：画在各杆的受压压一侧，不注明正、负号。一侧，不注明正、负号。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：可画在刚架轴线的任一侧（通常正：可画在刚架轴线的任一侧（通常正 值画值画 在刚架的外侧），但须注明正、负号在刚架的外侧），但须注明正、负号。 三、平面曲杆：三、平面曲杆：轴线为一条平面曲线的杆件轴线为一条平面曲线的杆件。 四、平面曲杆内力图规定四、平面曲杆内力图规定： 弯矩图弯矩图：使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。使轴线曲率增加的弯矩规定为正值；反之为负值。 要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受要求画在曲杆轴线的法线方向，且在曲杆受压压的一

38、侧。的一侧。 剪力图及轴力图剪力图及轴力图：与平面刚架相同。：与平面刚架相同。 55 例例 试作图示刚架的内力图。 F1 F2 a l A B C FN 图 F2+ Fs 图 F1 + F1a M 图 F1a+ F2 l F1 56 例例 改内力图之错。 a2aa q qa2 B 4 7 ; 4 qa R qa R BA Fs x x M + qa/4qa/4 3qa/4 7qa/4 qa2/4 5qa2/4 3qa2/2 49qa2/32 B R A R A 2)剪力图：剪力图： 解：解：1）约束反力：）约束反力： 57 例例 已知已知 Fs 图，求外荷载及图，求外荷载及M图（梁上无集中力偶

39、）。图（梁上无集中力偶）。 Fs(kN) x 1m1m2m 2 3 1 5kN1kN q=2kN/m + + q=2kN/m M(kNm) x 1 1 1.25 58 第三次作业：第三次作业：5 - 14. a, b. 5 - 14. a, b. 5 - 75 - 7. 5 - 5. b. 5 - 5. b. 59 弯曲内力小结弯曲内力小结 一、一、弯曲的概念弯曲的概念： 受力特点受力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。 变形特点变形特点杆轴线由直线变为一条平面的曲线。杆轴线由直线变为一条平面的曲线。 二、平面弯曲的概念：二、平面弯曲的概念： 受力特点受

40、力特点作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在 梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴上且过 弯曲中心）。弯曲中心）。 变形特点变形特点杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平 面曲线。面曲线。 三、弯曲内力的确定三、弯曲内力的确定 1、内力的正负规定内力的正负规定: : 60 （1 1）、截面法）、截面法截开；代替；平衡。截开；代替；平衡。 剪力剪力Fs: :在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为在保留段内任取一点，如果剪力的方向对其点之矩为 顺时针的，

41、则此剪力规定为正值，反之为负值。顺时针的，则此剪力规定为正值，反之为负值。 弯矩弯矩M：使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。使梁微段变成上凹下凸形状的为正弯矩；反之为负值。 2、内力的计算：、内力的计算： 注意的问题注意的问题a a、在截开面上设正的内力方向。、在截开面上设正的内力方向。 b b、在截开前不能将外力平移或简化。、在截开前不能将外力平移或简化。 （2 2）、简易法求内力：）、简易法求内力： Fs=FFs=Fi i（一侧）（一侧） ， M=M=m mi i。（一侧）。（一侧）。 左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。左上右下剪力为正，左顺右逆弯矩为正。 重点重点 61 四、剪力方程、弯矩方程四、剪力方程、弯矩方程： Fs=Fs(xFs=Fs(x）剪力方程 M=M(x) M=M(x) 弯矩方程 注意注意：不能用一个函数表达的要分段，不能用一个函数表达的要分段， 分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、分段点为集中力作用点、集中力偶作用点、 分布力的起点、终点。分布力的起点、终点。 五、五、 剪力、弯矩与分布荷载间的剪力、弯矩与分布荷载间的微分微分关系关系 xq x xFs