几何概型-PPT汇编

1、耿哲老师-书山有路勤为径，学海无涯苦作舟书山有路勤为径，学海无涯苦作舟几何概型1.正确正确理解理解几何概型定义几何概型定义及及与与古典概率的区别古典概率的区别。2.掌握掌握几何概型的概率计算公式几何概型的概率计算公式，并能解决简单，并能解决简单实实际问题。际问题。3.了解了解随机数随机数的意义的意义,能运用模拟方法能运用模拟方法估计估计或计算或计算概概率率.一、高考目标1.重点 熟练掌握熟练掌握几何概型几何概型的的判断判断及几何概型的及几何概型的概率计算公概率计算公式。式。2.难点几何概型应用中几何概型应用中集合度量的确定及运算集合度量的确定及运算。 二、重点、难点三、基础知识的深刻理解（高考

2、的初级层次要求）问题问题1 1：射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，射箭比赛的箭靶涂有五个彩色得分环，从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心从外向内为白色、黑色、蓝色、红色，靶心为金色金色靶心叫为金色金色靶心叫“黄心黄心” 奥运会的比赛靶面直径为奥运会的比赛靶面直径为122cm，靶心直径为，靶心直径为12.2cm，运动员在运动员在70m外射假设射箭外射假设射箭都能中靶，且射中靶面内任意都能中靶，且射中靶面内任意一点都是等可能的，那么射中一点都是等可能的，那么射中黄心的概率有多大？黄心的概率有多大？122cm问题情境问题情境三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）l能用古典概型描述该事件的概率

3、吗？为什么？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？（2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个基本事件的发生是等可能的吗？ 射中靶面上每一点都是一个基本事件射中靶面上每一点都是一个基本事件, ,这一点可这一点可以是靶面直径为以是靶面直径为122cm的大圆内的任意一点的大圆内的任意一点. .（3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）问题问题2:2:取一根长度为取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于断，那么剪得两段的长

4、都不小于1m的概率有多大？的概率有多大？（1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？l能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？ 从每一个位置剪断都是一个基本事件从每一个位置剪断都是一个基本事件, ,剪断位剪断位置可以是长度为置可以是长度为3m的绳子上的任意一点的绳子上的任意一点. .问题问题3: 有一杯有一杯1升的水，其中漂浮有升的水，其中漂浮有1个微生物，用一个微生物，用一个小杯从这杯水中取出个小杯从这杯水

5、中取出0.1升，求小杯水中含有这个微生升，求小杯水中含有这个微生物的概率物的概率.（1 1）试验中的基本事件是什么？）试验中的基本事件是什么？l能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？能用古典概型描述该事件的概率吗？为什么？（2 2）每个基本事件的发生是等可能的吗？）每个基本事件的发生是等可能的吗？（3 3）符合古典概型的特点吗？）符合古典概型的特点吗？ 微生物出现的每一个位置都是一个基本事件微生物出现的每一个位置都是一个基本事件, ,微生物微生物出现位置可以是出现位置可以是1 1升水中的任意一点升水中的任意一点. .三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）三、基础知识的深刻理解（高考的初

6、级层次要求） (1)一次试验可能出现的结果有无限多个；一次试验可能出现的结果有无限多个； (2) 每个结果的发生都具有等可能性每个结果的发生都具有等可能性 l上面三个随机试验有什么共同特点？上面三个随机试验有什么共同特点？ 对于一个随机试验对于一个随机试验, ,将每个基本事件理解将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点为从某个特定的几何区域内随机地取一点, ,该该区域中每一个点被取到的区域中每一个点被取到的机会都一样机会都一样; ;而一个而一个随机事件的发生则理解为恰好取到所述区域随机事件的发生则理解为恰好取到所述区域内的某个指定区域中的点内的某个指定区域中的点. .这里的区域可

7、以是这里的区域可以是线段线段, ,平面图形平面图形, ,立体图形等立体图形等. .用这种方法处理用这种方法处理随机试验随机试验, ,称为称为几何概型几何概型. .三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求） 将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等将古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性，就得到可能性，就得到几何概型几何概型古典概型的本质特征：古典概型的本质特征：1.基本事件的个数有限的。基本事件的个数有限的。2.每一个基本事件都是等可能发生的。每一个基本事件都是等可能发生的。几何概型的本质特征：几何概型的本质特征：3.3.事件事件A就是所投掷的点落在就是所投掷的点落在S中的可度量图

8、形中的可度量图形A中中 1. 1.有一个可度量的几何图形有一个可度量的几何图形S；2.2.试验试验E看成在看成在S中随机地投掷一点；中随机地投掷一点；l如何求几何概型的概率？如何求几何概型的概率？122cmP(A)=01. 0122412 .124122 3m1m1mP(B)=31P(C)=1 . 011 . 0 三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求）三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求注意：注意：D的测度不能为的测度不能为0, ,其中其中“测度测度”的意义的意义依依D确定确定. .当当D分别为线段分别为线段, ,平面图形平面图形, ,立体图形立体图形时时, ,相应的相应的“测度测

9、度”分别为长度分别为长度, ,面积面积, ,体积等体积等. . 一般地一般地, ,在几何区域在几何区域D中随机地取一点中随机地取一点, ,记事记事件件“该点落在其内部一个区域该点落在其内部一个区域d内内”为事件为事件A, ,则事件则事件A发生的概率为发生的概率为: :P(A)=的的测测度度的的测测度度Dd三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求) 例例1：某人午觉醒来某人午觉醒来,发现表停了发现表停了,他打他打开收音机开收音机,想听电台报时想听电台报时,求他等待的时求他等待的时间不多于间不多于10分钟的概率分钟的概率.解：设解：设A=等待的时间不多于等待的时间不多于10分钟分钟.事件事件A恰

10、好是恰好是打开收音机的时刻位于打开收音机的时刻位于50,60时间段内时间段内,因此由几因此由几何概型的求概率的公式得何概型的求概率的公式得答：答：“等待的时间不超过等待的时间不超过1010分钟分钟”的概率为的概率为 1660 501( ),606P A三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求) 例例2：一海豚在水池中自由游弋，水池长：一海豚在水池中自由游弋，水池长30m，宽，宽20m的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于的长方形，求此刻海豚嘴尖离岸小于2m的概率的概率 解：设事件解：设事件A“海豚嘴尖离岸边小于海豚嘴尖离岸边小于2m”（见阴影部分）（见阴影部分） P（A） dD的测度的测度3020

11、26 161840.313020600答答:海豚嘴尖离岸小于海豚嘴尖离岸小于2m的概率约为的概率约为0.31.30m20m2 m三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求)在在1000mL的水中有一个草履虫，现从中任取出的水中有一个草履虫，现从中任取出2mL水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率水样放到显微镜下观察，发现草履虫的概率. 阿阿0.002在在1万平方千米的海域中有万平方千米的海域中有40平方千米的大陆架储藏平方千米的大陆架储藏着石油着石油,如果在海域中任意点钻探如果在海域中任意点钻探,钻到油层面的概率钻到油层面的概率 0.004与面积成比例与面积成比例在区间（在区间（0，10）内的

12、所有实数中随机取一个实数）内的所有实数中随机取一个实数a， 则这个实数则这个实数a7的概率为的概率为 0.3与长度成比例与长度成比例与体积成比例与体积成比例三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求 例例3 3：取一个边长为：取一个边长为2a的正方形及其内切圆的正方形及其内切圆( (如图如图),),随随机地向正方形内丢一粒豆子机地向正方形内丢一粒豆子, ,求豆子落入圆内的概率求豆子落入圆内的概率. .解解: :记记“豆子落入圆内豆子落入圆内”为事件为事件A, ,则则P(A)=4422 aa正正方方形形面面积积圆圆面面积积答答:豆子落入圆内的概率为豆子落入圆内的概率为4 撒豆试验撒豆试验：向正方

13、形内撒：向正方形内撒n颗豆子，其中有颗豆子，其中有m颗落在颗落在圆内，当圆内，当n很大时，频率接近于概率很大时，频率接近于概率nAPm)(nm4.4mn例例3 3：取一个边长为：取一个边长为2a的正方形及其内切圆的正方形及其内切圆( (如图如图),),随随机地向正方形内丢一粒豆子机地向正方形内丢一粒豆子, ,求豆子落入圆内的概率求豆子落入圆内的概率. .解解: :记记“豆子落入圆内豆子落入圆内”为事件为事件A, ,则则P(A)=4422 aa正正方方形形面面积积圆圆面面积积答答:豆子落入圆内的概率为豆子落入圆内的概率为4 撒豆试验撒豆试验：向正方形内撒：向正方形内撒n颗豆子，其中有颗豆子，其中

14、有m颗落在颗落在圆内，当圆内，当n很大时，频率接近于概率很大时，频率接近于概率nAPm)(nm4.4mn三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求) 练习练习3：在正方形：在正方形ABCD内随机取一点内随机取一点P，求，求APB 90的概率的概率22)2(21)(aaDdAP 的测度的测度的测度的测度.8 APB 90？. 00)(2 aDdBP的测度的测度的测度的测度概率为概率为0 0的事件可能发生！的事件可能发生！ADP三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求)回顾小结：回顾小结：1.1.几何概型的特点：几何概型的特点：事件事件A就是所投掷的点落在就是所投掷的点落在S中的可度量图形中的可

15、度量图形A中中 有一个可度量的几何图形有一个可度量的几何图形S；试验试验E看成在看成在S中随机地投掷一点；中随机地投掷一点；2.2.古典概型与几何概型的区别古典概型与几何概型的区别. .相同：相同：两者基本事件的发生都是等可能的；两者基本事件的发生都是等可能的；不同：不同：古典概型要求基本事件有有限个，古典概型要求基本事件有有限个， 几何概型要求基本事件有无限多个几何概型要求基本事件有无限多个. . 三、基础知识的深刻理解（高考的初级层次要求)回顾小结：回顾小结：3.3.几何概型的概率公式几何概型的概率公式. . 4.4.几何概型问题的概率的求解几何概型问题的概率的求解. . . .A AP(

16、A)P(A)积）的区域长度（面积或体试验的全部结果所构成积）的区域长度（面积或体构成事件三、知识的综合应用（高考的高层次要求)例例1(1)(2016全国乙卷全国乙卷,理理4)某公司的班车在某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车发车,小小明在明在7:50至至8:30之间到达发车站乘坐班车之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是且到达发车站的时刻是随机的随机的,则他等车时间不超过则他等车时间不超过10分钟的概率是分钟的概率是()(2)如图如图,四边形四边形ABCD为矩形为矩形,AB= ,BC=1,以以A为圆心为圆心,1为半径作为半径作四分之一个圆弧四分之一个圆弧DE,在在DAB内任作射

17、线内任作射线AP,则射线则射线AP与线段与线段BC有公共点的概率为有公共点的概率为.思考思考如何确定几何概型的概率用长度或角度的比来求如何确定几何概型的概率用长度或角度的比来求?考点考点1.与长度、角度有关的问题与长度、角度有关的问题三、知识的综合应用（高考的高层次要求)对点训练对点训练(1)设设P在在0,5上随机地取值上随机地取值,则关于则关于x的方程的方程x2+px+1=0有实数根的概率为有实数根的概率为()(2)如图所示如图所示,在直角坐标系内在直角坐标系内,射线射线OT落在落在30 角的终边上角的终边上,任作任作一条射线一条射线OA,则射线则射线OA落在落在yOT内的概率为内的概率为.

18、考点考点2与面积、体积有关的几何概型与面积、体积有关的几何概型例例3(1)(2015南昌二模南昌二模)若在圆若在圆C:x2+y2=4内任取一点内任取一点P(x,y),则满则满足足 y x 的概率是的概率是.(2)(2015济南一模济南一模)如图如图,长方体长方体ABCD-A1B1C1D1中中,有一动点在有一动点在此长方体内随机运动此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为内的概率为.三、知识的综合应用（高考的高层次要求)考点考点3：几何概型与古典概型：几何概型与古典概型结合结合例例4 4：（：（1 1）x x的取值是区间的取值是区间1,41,4中的中的整数整数，

19、任取一个，任取一个x x的值，的值，求求 “ “取得值大于取得值大于2”2”的概率。的概率。古典概型古典概型 P = 2/4=1/2（2）x的取值是区间的取值是区间1,4中的中的实数实数，任取一个，任取一个x的值，求的值，求 “取得值大于取得值大于2”的概率。的概率。123几何概型几何概型 P = 2/34三、知识的综合应用（高考的高层次要求)例例5:5:（1 1）x x和和y y取值都是区间取值都是区间1,41,4中的中的整数整数，任，任取一个取一个x x的值和一个的值和一个y y的值，求的值，求 “ x y “ x y 1 ”1 ”的概率。的概率。1 2 3 4 x1234古典概型古典概型

20、-1作直线作直线 x - y=1P=3/8例例6:6:（2 2）x x和和y y取值都是区间取值都是区间1,41,4中的中的实数实数，任取一，任取一个个x x的值和一个的值和一个y y的值，求的值，求 “ x y “ x y 1 ”1 ”的概率。的概率。1 2 3 4 x1234y几何概型几何概型-1作直线作直线 x - y=1P=2/9ABCDEF 例例 7. (会面问题会面问题）甲、乙二人约定在）甲、乙二人约定在 12 点到点到 17点之点之间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在间在某地会面，先到者等一个小时后即离去设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的，且二人互不影这段时间内的

21、各时刻到达是等可能的，且二人互不影响求二人能会面的概率响求二人能会面的概率.解：解： 以以 X , Y 分别表示甲乙二人到达的时刻，于是分别表示甲乙二人到达的时刻，于是 即即 点点 M 落在图中的阴影部落在图中的阴影部分所有的点构成一个正方分所有的点构成一个正方形，即有形，即有无穷多个结果无穷多个结果由由于每人在任一时刻到达都是于每人在任一时刻到达都是等可能的，所以落在正方形等可能的，所以落在正方形内各点是内各点是等可能的等可能的0 1 2 3 4 5yx54321.M(X,Y)考点考点4：与线性规划的结合：与线性规划的结合二人会面的条件是：二人会面的条件是： , 1| YX.25925421225)(2 正方形的面积正方形的面积阴影部分的面积阴影部分的面积AP答：两人会面的概率等于答：两人会面的概率等于2590 1 2 3 4 5yx54321y-x =1y-x =-1考点考点4：与线性规划的结合：与线性规划的结合三、知识的综合应用（高考的高层次要求)四、课堂总结1.转化思想在几何概型中的应用转化思想在几何概型中的应用:处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是处理几何概型与非几何知识的综合问题的关键是,通过转化通过转化,将