同济 大学物理 下 PPT E.振动1

1、第第 五五 讲讲振动学基础（一）振动学基础（一）本讲主要内容本讲主要内容 A. 简谐振动的描述简谐振动的描述B. 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征A. 简谐振动的描述简谐振动的描述振振 动动 一个物理量随时间一个物理量随时间 t 作作周期性周期性变化变化) () (Ttt“周期性周期性”是这种运动形式的典型特征是这种运动形式的典型特征 物理量按余弦函数的规律随时间变化物理量按余弦函数的规律随时间变化 一个复杂的周期性运动可以分解成一个复杂的周期性运动可以分解成若干个简谐振动的合成若干个简谐振动的合成) cos(tAxA 振幅振幅 离开平衡位置的最大位移离开平衡位置的最大位移三个特征量三

2、个特征量 角频率角频率 （或称圆频率）（或称圆频率）在在 2 秒时间内完成全振动的次数秒时间内完成全振动的次数 初相初相 反映初始时刻振动系统反映初始时刻振动系统的运动状态的运动状态 周期周期 T 完成一次全振动所经历的时间完成一次全振动所经历的时间2频率频率 1 秒内完成全振动的次数秒内完成全振动的次数频率与周期频率与周期2T振动曲线振动曲线xtoA-AT)2cos()sin(ddtvtAtxvm)cos()cos(dd2tatAtvam称为称为“速度幅速度幅”Avm称为称为“加速度幅加速度幅”Aam2 简谐振动的加速度简谐振动的加速度与位移成正比而反向与位移成正比而反向 0dd222xtx

3、简谐振动的特征方程简谐振动的特征方程 xa2判别物体是否作简判别物体是否作简谐振动的依据之一谐振动的依据之一) cos(tAxt 称为振动的称为振动的 相位相位t = 0 时刻的相位称为初相时刻的相位称为初相1、用、用“相位相位”描述物体的运动状态描述物体的运动状态2、用、用“相位相位”来比较两个同频率简谐振动的来比较两个同频率简谐振动的“步步调调”yxPtA旋转矢量的模为旋转矢量的模为 A t =0 时，旋转矢量时，旋转矢量与与 x 轴轴的夹角的夹角 旋转矢量的角速度为旋转矢量的角速度为 矢量端点在矢量端点在 x 轴上轴上的投影点作简谐振动的投影点作简谐振动)cos(tAxP旋转矢量的某一位

4、置对应简谐振动的一个运动状态旋转矢量的某一位置对应简谐振动的一个运动状态 质点沿质点沿 x 轴作简谐振动，振幅为轴作简谐振动，振幅为 12 cm，周期，周期为为 2 s 。当。当 t = 0时时, 位移为位移为 6 cm ，且向，且向 x 轴正方向运轴正方向运动。求：动。求：1. 振动表达式。振动表达式。2. t = 0.5 s 时质点的位移、时质点的位移、速度和加速度。速度和加速度。3. 质点从质点从 x = - 6 cm 向向 x 轴负方向运轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。动，第一次回到平衡位置所需要的时间。解解1. 设位移表达式为设位移表达式为已知已知 A = 0.12 m

5、 , T = 2 s 1s /2T初始条件初始条件t = 0 时，时， x0 = 0.06 m , v0 0) cos(tAx ) cos(12. 0txm3 cos210sin0Av3 振动表达式为振动表达式为 由初始条件由初始条件用用解析法解析法求初相求初相 ) cos(tAx)sin(tAvcos 12. 006. 0由由 v0 0 决定取舍决定取舍)3cos(12.0txm由初始条件由初始条件用用旋转矢量法旋转矢量法求初相求初相 当当 t = 0 时时, 位移为位移为 6 cm ，且向且向 x 轴正方向运动轴正方向运动OxAA/233 15 . 05 . 05 . 0ms 189. 0

6、)3sin(12. 0ddtttttxv25 . 025 . 05 . 0ms 103. 0)3cos(12. 0ddtttttva 2. t = 0.5 s 时质点的位移、速度和加速度时质点的位移、速度和加速度m 104. 0)3cos(12. 05 . 05 . 0tttxyx343. 质点从质点从 x = - 6 cm 向向 x 轴负方向运动，第一次轴负方向运动，第一次回到平衡位置所需要的时间。回到平衡位置所需要的时间。3223 x = - 6 cm 向向 x 轴负方向运动轴负方向运动第一次回到平衡位置第一次回到平衡位置所需要的时间所需要的时间s 83. 0s 6532231t 两质点作

7、两质点作同方向、同频率同方向、同频率的简谐振动，振幅的简谐振动，振幅相等。当质点相等。当质点 1 在在 x1 = A/2 处，处，向向 x 轴负方向运动轴负方向运动时，另一个质点时，另一个质点 2 在在 x2 = 0 处，向处，向x 轴正方向运动。轴正方向运动。求这两质点振动的相位差。求这两质点振动的相位差。Ox3 12 , 23 265) 2 (3 21质点质点 1 的振动超前质点的振动超前质点 2 的振动的振动 65 B. 简谐振动的动力学特征简谐振动的动力学特征弹簧振子弹簧振子 一根轻弹簧和一个质点构成一根轻弹簧和一个质点构成的孤立振动系统的孤立振动系统FxOkmk 为为劲度系数劲度系数

8、小幅振动满足胡克定律，小幅振动满足胡克定律，kxF 物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终物体所受的合外力与和位移成正比，方向始终指向平衡位置，称为指向平衡位置，称为线性回复力线性回复力。 xktxm22dd0dd22xmktx令令mk20dd222xtx微分方程的解微分方程的解) cos(tAx ，T 决定于振动系统的动力学性质决定于振动系统的动力学性质固有角频率固有角频率kmT2mk固有周期固有周期A ， 决定于初始条件决定于初始条件) cos(tAx)sin(tAvcos0Ax sin0Av2200( )vAx) arctg(00 xv多值函数，由速度方向多值函数，由速度方向决定取舍决

9、定取舍判别简谐振动的依据判别简谐振动的依据1、运动表达式为、运动表达式为 ，其中，其中 A 、 和和 是常数。是常数。) cos(tAx2、作用力的形式为、作用力的形式为 ，k 为常系数。为常系数。kxF3、动力学方程可写成、动力学方程可写成 ， 为常系数，其平方根即为角频率。为常系数，其平方根即为角频率。0 dd22xtx弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动弹簧振子、单摆的小幅振动是简谐振动在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动在稳定平衡点附近的小幅振动是简谐振动Ol mgT22ddsintsmmgls 22ddsintmlmgsin小幅振动，小幅振动，0dd22lgtlgglT2v)(sin2

10、1212222ktAmmvE)(cos2121222ptkAkxEkm2 振子动能振子动能振子势能振子势能xo221kAEEEPk221kAE E pE kttAxcosxtE孤立谐振子的机械能守恒孤立谐振子的机械能守恒经典谐振子的总能量与振幅的平方成正比经典谐振子的总能量与振幅的平方成正比简谐振动系统的动量和动能的简谐振动系统的动量和动能的平均值平均值等于总能量的一半等于总能量的一半ttkATETd)(sin211220k241kA241kAttkATETd)(cos211220k质量为质量为 m 的比重计，放在密度为的比重计，放在密度为 的液体中。的液体中。已知比重计圆管的直径为已知比重计

11、圆管的直径为 d 。试证明在竖直方向的。试证明在竖直方向的振动为简谐振动，并计算周期振动为简谐振动，并计算周期。取平衡位置为坐标原点取平衡位置为坐标原点平衡点平衡点0 Vgmg V 为为平衡时平衡时比重计的排水体积比重计的排水体积mgFOx222dd2txmgxdVmg04dd222xmgdtx222dd2txmxdgVgmgmgd2gmdT42Ox2kp21kAEEEEkAkxEAxAx4181212222p当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能当简谐振动的位移为振幅的一半时，其动能和势能各占总能量的多少？和势能各占总能量的多少？ 物体在什么位置时其物体在什么位置时其动能和势能各占总能量的一半？动能和势能各占总能量的一半？EEEEAx43412k22212121kAkxAx21当当 时，时，动能和势能各占总能量的一半。动能和势能各占总能量的一半。l证明复摆的小幅振动是简谐振动，并求其证明复摆的小幅振动是简谐振动，并求其振动