微积分课件：3-5函数的微分

1、一、一、微分的定义微分的定义二、微分的几何意义二、微分的几何意义三、基本初等函数的微分公式三、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则与微分运算法则五、小结五、小结第五节第五节 函数的微分函数的微分四、微分在近似计算中的应用四、微分在近似计算中的应用一、微分的定义(differential)1.1.实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.20 xA 0 x0 x,00 xxx 变到变到设边长由设边长由,20 xA 正方形面积正方形面积2020)(xxxA .)(220 xxx )1()2(;,的主要部分的主要部分且为且为的线性函数的线性函数Ax .,很小时

2、可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx 0 xx 0再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否是否所有函数的改变量都有所有函数的改变量都有?它是什么它是什么?如何求如何求?2 2. 定义

3、定义.),(,)(,)(),()()()(,)(000000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxxxfyxxxx 即即或或记作记作的微分的微分相应于自变量增量相应于自变量增量在点在点为函数为函数并且称并且称可微可微在点在点则称函数则称函数无关的常数无关的常数是与是与其中其中成立成立如果如果在这区间内在这区间内及及在某区间内有定义在某区间内有定义设函数设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy ( (微分的实质微分的实质) )由定义知由定义知: :;) 1 (的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的增增量量 xdy;)()2(高阶无

4、穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)3(是等价无穷小是等价无穷小与与时时当当ydyA dyy xAxo )(1).0(1 x;)(,)4(0有有关关和和但但与与无无关关的的常常数数是是与与xxfxA ).(,)5(线线性性主主部部很很小小时时当当dyyx 3.可微(differentiable)的条件).(,)()(000 xfAxxfxxf 且且处可导处可导在点在点数数可微的充要条件是函可微的充要条件是函在点在点函数函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(0可可微微在在点点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(0

5、0 xfAxxf 且且可导可导在点在点即函数即函数(2) 充分性充分性),()(0 xxxfy 从而从而,)(0 xfxy即即,)(0可可导导在在点点函函数数xxf),(lim00 xfxyx ),0(0 x),()(0 xoxxf .)(,)(00Axfxxf 且且可微可微在点在点函数函数).(.0 xfA 可可微微可可导导.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数例例1 1解解.02. 0, 23时的微分时的微分当当求函数求函数 xxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxx

6、xdy.24. 0 .,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy ).(xfdxdy .微商微商导数也叫导数也叫该函数的导数该函数的导数之商等于之商等于与自变量的微分与自变量的微分即函数的微分即函数的微分dxdy二、基本初等函数的微分公式 与微分运算法则dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(secc

7、sc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvduuvdCduCuddvduvud arc例例2 2解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxedyxx 例例3 3解解.,cos31dyxeyx求求

8、设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex )(,),(duufdyuufy 是是自自变变量量时时当当对对于于函函数数:)(,)()(的的微微分分为为则则复复合合函函数数都都可可导导及及设设函函数数xgfyxguufy dxxgufdxydyx)()( ,)(dudxxg 又又因因为为的的微微分分公公式式也也可可写写成成所所以以复复合合函函数数)(xgfy 结论结论：的微分形式总是的微分形式总是函数函数是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量

9、无论无论)(,ufyu 微分形式的不变性微分形式的不变性duufdy)( 3. 复合函数的微分法则复合函数的微分法则;)(duydyduufdyu 或或例例4 4解解.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 例例6 6解解在下列等式左端的括号中填入适当的函数在下列等式左端的括号中填入适当的函数,使使等式成立等式成立.).()()(sin)2(;cos)()1(2xdxdtdtd ,cos)(sin)1(tdttd )(sin1costdtdt .cos)sin1(tdtCtd

10、);sin1(td dxxdxxxxdxd21cos2)()(sin)2(22 ,cos42xxx ).()cos4()(sin22xdxxxxd 三、微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,对应的增量对应的增量就是切线纵坐标就是切线纵坐标坐标增量时坐标增量时是曲线的纵是曲线的纵当当dyy xx0 P .,MNMPMx可近似代替曲线段可近似代替曲线段切线段切线段的附近的附近在点在点很小时很小时当当 ( geometrical meaning of the differential )四、微分在近似计算中的应用, 0)()(

11、00很小时很小时且且处的导数处的导数在点在点若若xxfxxfy .)(0 xxf 00 xxxxdyy ;)(. 10附近的近似值附近的近似值在点在点求求xxxf 000()()().yf xxf xf xx .)()()(000 xxfxfxxf )(很小时很小时x ;0)(. 2附附近近的的近近似似值值在在点点求求 xxf.)0()0()(xffxf ,)()()(000 xxfxfxxf ., 00 xxx 令令例例7 7.0360coso的近似值的近似值计算计算 .23)3(,21)3( ff)3603cos(0360coso 3603sin3cos 3602321 .4924. 0

12、解解,cos)(xxf 设设)( ,sin)(为为弧弧度度xxxf ,360,30 xx?,05. 0,10问面积增大了多少厘米半径伸长了厘米的金属圆片加热后半径解解,2rA 设设.05. 0,10厘米厘米厘米厘米 rrrrdAA 205. 0102 ).(2厘米厘米 例例8 8常用近似公式常用近似公式)(很小时很小时x.)1ln()5(;1)4();(tan)3();(sin)2(;111)1(xxxexxxxxxxnxxn 为弧度为弧度为弧度为弧度证明证明,1)()1(nxxf 设设,)1(1)(11 nxnxf.1)0(, 1)0(nff xffxf)0()0()( .1nx 例例9 9

13、.计计算算下下列列各各数数的的近近似似值值解解.)2(;5 .998)1(03. 03 e335 . 110005 .998)1( 3)10005 . 11(1000 30015. 0110 )0015. 0311(10 .995. 9 03. 01)2(03. 0 e.97. 0 五、小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 导数与微分的区别导数与微分的区别:.,)(),()(. 100000它是无穷小它是无穷小实际上实际上的定义域是的定义域是它它的线性函数的线性函数是是而微分而微分处的导数是一个定数处的导数是一个定数在点在点函数函数Rxxxxxfdyxfxxf )(limlim0000 xxxfdyxxxx . 0 .)(,()()()(,)(,(