可分离变量的微分方程一阶线性微分方程PPT学习教案

1、会计学1可分离变量的微分方程一阶线性微分方可分离变量的微分方程一阶线性微分方程程一般形式：求解步骤： dxxfdyyg)()(其其中中:)(yG和和)(xF是是 yg1和和)(xf的的原原函函数数. CxFyG )()(分离变量法 ygxfdxdy)( (1) 分离变量 dxxfygdy (2) 两边积分(3) 求出积分目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第1页/共24页例1 求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解分离变量,2xdxydy 两端积分,2 xdxydy12lnCxy.2为所求通解为所求通解xcey 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本

2、节重点与难点本节复习指导Cxy2ln第2页/共24页例2 求微分方程.012的通解的通解 dyxxydx解：分离变量，有：dxxxydy21 两端积分，得：cxyln1ln2 21 xCey 21:xCey 原方程的通解为原方程的通解为即：目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第3页/共24页)(xyfdxdy 形如形如的微分方程称为齐次方程.2.解法,xyu 作变量代换,xuy 即即代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即按可分离变量的方程求解1.定义目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导

3、第4页/共24页)(2)(12222xyxyxyyxdxdy 代入有代入有令令它是齐次方程它是齐次方程,.xyu xuudxdu212满足满足,2)(22xydydxyx 例3 求微分方程解.01的特解的特解初始条件初始条件 xy方程可化为：目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第5页/共24页Cxuln21ln21)1ln(212 所求方程的特解为：xxy 22两边积分，得：即：1)1(2 uCxxyxC )(22通解为：1,01 Cyx求出求出代入上式代入上式将初始条件将初始条件目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第6页/共24

4、页)()(xQyxPdxdy 一阶线性微分方程的标准形式:, 0)( xQ当当上方程称为齐次的.上方程称为非齐次的., 0)( xQ当当例如,2xydxdy ,sin2ttxdtdx , 32 xyyy, 1cos yy线性的;非线性的.目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第7页/共24页. 0)( yxPdxdy,)(dxxPydy ,)( dxxPydy,ln)(lnCdxxPy 齐次方程的通解为.)( dxxPCey1. 线性齐次方程一阶线性微分方程的解法(使用分离变量法)目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第8页/共24页

5、2. 线性非齐次方程).()(xQyxPdxdy 讨论,)()(dxxPyxQydy 两边积分,)()(ln dxxPdxyxQy),()(xvdxyxQ为为设设 ,)()(ln dxxPxvy.)()( dxxPxveey即即非齐方程通解形式与齐方程通解相比:)(xuC 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第9页/共24页常数变易法把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法.实质: 未知函数的变量代换.),()(xyxu原未知函数原未知函数新未知函数新未知函数作变换 dxxPexuy)()(,)()()()()( dxxPdxxPexPxuexuy目录后退主页

6、退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第10页/共24页代代入入原原方方程程得得和和将将yy ,)()()(CdxexQxudxxP ),()()(xQexudxxP 积分得一阶线性非齐次微分方程的通解为: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(对应齐次方程通解非齐次方程特解目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第11页/共24页.sin1的通解的通解求方程求方程xxyxy ,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin

7、 Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解例1目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第12页/共24页例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 .y)(xfy )0(3 xxy)(xf,)()(230yxdxxfx xyxydx03,两边求导得,32xyy 解解此微分方程xyoxPQ3xy )(xfy 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第13页/共24页 dxexCeydxdx23, 6632 xxCex, 0|0 xy由由, 6 C得得所求曲线为).22(32xxeyx

8、 23xyy 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第14页/共24页一、分离变量法步骤:1.分离变量;2.两端积分-隐式通解.1.齐次方程2.线性非齐次方程)(xyfy ;xuy 令令 dxxPexuy)()(令令二、齐次方程:目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第15页/共24页一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、0tansectansec22 xdyyydxx； 2 2、0)()( dyeedxeeyyxxyx； 3 3、0)1(32 xdxdyy. .二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解

9、求下列微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、xdxyydyxsincossincos , ,40 xy； 2 2、0sin)1(cos ydyeydxx, ,40 xy. .分离变量法练 习 题目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第16页/共24页练习题答案一一、1 1、Cyx tantan； 2 2、Ceeyx )1)(1(； 3 3、Cxy 433)1(4. . 二二、1 1、xycoscos2 ； 2 2、yexcos221 . . 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第17页/共24页一一、 求求下下列列齐齐次次方

10、方程程的的通通解解: : 1 1、0)(22 xydydxyx； 2 2、0)1(2)21( dyyxedxeyxyx. .二二、 求求下下列列齐齐次次方方程程满满足足所所给给初初始始条条件件的的特特解解: : 1 1、1, 02)3(022 xyxydxdyxy； 2 2、,0)2()2(2222 dyxxyydxyxyx 11 xy . .三三、化化下下列列方方程程为为齐齐次次方方程程, ,并并求求出出通通解解: : 1 1、31 yxyxy； 2 2、0)642()352( dyyxdxyx. .齐次方程练 习 题目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第18

11、页/共24页练习题答案一、一、1 1、)ln2(22cxxy ； 2 2、cyexyx 2. .二、二、1 1、322yxy ； 2 2、yxyx 22. .三、三、1 1、Cyxxy )2()1ln(2112arctan22； 2 2、Cxyxy 2)32)(34(. .目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第19页/共24页一、求下列微分方程的通解一、求下列微分方程的通解: : 1 1、xexyysincos ； 2 2、0)ln(ln dyyxydxy； 3 3、02)6(2 ydxdyxy. . 二、二、 求下列微分方程满足所给初始条件的特解求下列微分方程

12、满足所给初始条件的特解: : 1 1、4,5cot2cos xxyexydxdy； 2 2、. 0,132132 xyyxxdxdy 一阶线性微分方程练 习 题目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第20页/共24页练习题答案一、一、1 1、xeCxysin)( ； 2 2、Cyyx 2lnln2； 3 3、2321yCyx . . 二、二、1 1、15sincos xexy； 2 2、113322 xexxy. . 目录后退主页退出本节知识引入本节目的与要求本节重点与难点本节复习指导第21页/共24页1了解一阶微分方程的概念；2熟练掌握可分离变量的微分方程的求解；3掌握一