成都大学解析几何课件总复习

1、上页 下页 结束 解析几何总复习解析几何总复习第一章第一章 向量代数向量代数第二章第二章 空间解析几何空间解析几何第三章第三章 坐标变换与二次曲线分类坐标变换与二次曲线分类第四章第四章 正交变换与仿射变换正交变换与仿射变换第五章第五章 考试题型考试题型上页 下页 结束 向量代数向量代数1. 向量的各种运算向量的各种运算加法、数乘、内积、外积、混合积加法、数乘、内积、外积、混合积重点掌握重点掌握:(1) 各种向量运算各种向量运算的的法则法则及其及其坐标运算坐标运算. = (a1, a2, a3), = (b1, b2, b3), = (c1, c2, c3), R, 设在某设在某直角坐标系直角坐

2、标系I: O; e1, e2, e3中中,解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 + = (a1 + b1, a2 + b2, a3 + b3) 一个一个向量向量 = a1b1 + a2b2 + a3b3 一个一个数数 = (a1, a2, a3) 一个一个向量向量321321321bbbaaaeee 一个一个向量向量 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 321321321cccbbbaaa ),( 一个一个数数 (2) 向量的向量的夹角夹角 ,cos ( ) = ( ) ( ) 一个一个向量向量 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 (3) 外积、混合积外积、混合积的

3、的几何意义几何意义.外积的长度外积的长度 | | -以以 , 为邻边的为邻边的平行四边形平行四边形的的面积面积 混合积的绝对值混合积的绝对值 |( , , )| -以以 , , 为同一顶点三条棱的为同一顶点三条棱的平行六面体体积平行六面体体积 2. 向量向量或或点点的共线、的共线、共面共面问题问题(1) 与与 共线共线 = 0. (2) , , 共面共面 ( , , ) = 0. 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 空间解析几何空间解析几何1. 求求平面方程平面方程(1) 平面的平面的点向式方程点向式方程已知一点已知一点M0(x0, y0, z0) , 方向向量方向向量 v1(X1,

4、 Y1, Z1) , v2(X2, Y2, Z2) 不共线不共线, 则则过过M0且且平行于平行于 v1, v2的的平面方程为平面方程为(M0M, v1, v2) 0222111000 ZYXZYXzzyyxx其中其中 M 为平面上为平面上任一点任一点. 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 (2) 平面的平面的一般方程一般方程(3) 直角坐标系直角坐标系中平面的中平面的点法式方程点法式方程Ax + By + Cz + D = 0 其中其中 .,212121212121YYXXCXXZZBZZYYA 注意注意: 标准方程与一般方程之间的互化标准方程与一般方程之间的互化. 已知一点已知一点

5、 M0(x0, y0, z0) , 平面的法向量平面的法向量 n(A, B, C) , 则平面方程为则平面方程为A (x x0) + B(y y0)+ C(z z0) + D = 0, 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 2. 求求空间直线方程空间直线方程(1) 直线的直线的标准方程标准方程已知一点已知一点 M0(x0, y0, z0) , 一个方向向量一个方向向量v(X, Y, Z) , 则直线方程为则直线方程为ZzzYyyXxx000 (2) 直线的直线的参数方程参数方程 .,ZzzYyyXxx000解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 (3) 直线的直线的一般方程一般方

6、程 0022221111DzCyBxADzCyBxA注意注意: 标准方程与一般方程之间的互化标准方程与一般方程之间的互化. 3. 求求夹角夹角(1) 直线与直线直线与直线(2) 直线与平面直线与平面(3) 平面与平面平面与平面归结为归结为两向量的夹角两向量的夹角解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 4. 求求距离距离(1) 点到直线点到直线(2) 点到平面点到平面(3) 两异面直线两异面直线222000CBADCzByAxd uPMulP0 ),(d21212121uuMMuulld ),(),(解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 5. 判断判断位置关系位置关系(1) 两直线

7、两直线(平行、相交、重合、异面平行、相交、重合、异面) (2) 两平面两平面(平行、相交、重合平行、相交、重合)(3) 直线与平面直线与平面(属于、平行、相交属于、平行、相交)6. 求求旋转面、柱面、锥面方程旋转面、柱面、锥面方程(1) 旋转面旋转面设旋转面设旋转面S 轴线轴线 l 过点过点M0 , 平行于向量平行于向量u0; 母线母线 M (x , y ) , M M u0 = 0, |M0M | = |M0M| . 则则 M(x, y) S 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 圆柱面圆柱面 定义定义: 由由直线直线绕与绕与它平行的轴线它平行的轴线旋转所得的旋转旋转所得的旋转 面称

8、为面称为圆柱面圆柱面. 母线与轴线的距离母线与轴线的距离称为它的称为它的半径半径. 方法方法1: 轴线轴线过点过点 M0, 平行于向量平行于向量 u, 半径半径为为 r, 点点 M 在圆柱面上在圆柱面上 ,0ruuMM 方程的建立方程的建立: 方法方法2: 轴线轴线过过M0, 平行于向量平行于向量u, M1在圆柱面上在圆柱面上, |M0M u| = |M0M1 u|. 点点 M 在圆柱面上在圆柱面上 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 圆锥面圆锥面 定义定义: 由由直线直线绕绕与它相交而不垂直的轴线与它相交而不垂直的轴线旋转旋转所得的旋转面称为所得的旋转面称为圆锥面圆锥面. 母线与轴

9、线的交点母线与轴线的交点称为称为锥顶锥顶, 夹角夹角称为称为半顶角半顶角. 方程的建立方程的建立: 方法方法1: 锥顶锥顶为为M0, 半顶角半顶角为为, 点点 M 在圆锥面上在圆锥面上 |M0M u| = |M0M| |u| cos . 方法方法2: 锥顶锥顶为为M0, M1在圆柱面上在圆柱面上, 点点 M 在圆锥面上在圆锥面上 |M0M u| |M0M1| = |M0M1 u| |M0M| . 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 (2) 柱面柱面设设柱面柱面S / u(k, m, n), 准线准线 : ,),(,),(00zyxzyxGF则点则点 M(x, y, z) S 存在实数

10、存在实数 t, 使得使得 ,),(,),(00tnztmytkxtnztmytkxGF从其中一式从其中一式解出解出 t 代入另一式代入另一式, 即得即得 S 一般方程一般方程. 定理定理: 若一个若一个柱面柱面的的母线平行于母线平行于z 轴轴 (或或 x 轴轴, 或或 y 轴轴), 则它的方程中则它的方程中不含不含 z (或或x, 或或y); 反之反之, 一个一个 三元方程若三元方程若不含不含z (或或x, 或或y), 则它一定表示一个则它一定表示一个母线平行于母线平行于z 轴轴 (或或 x 轴轴, 或或 y 轴轴) 的的柱面柱面. 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 (3) 锥面锥

11、面定理定理: x, y, z 的的 n 次齐次方程次齐次方程的图像的图像 (添上原点添上原点)一定是一定是锥顶为原点的锥面锥顶为原点的锥面. 在在以锥面顶点为原点以锥面顶点为原点的直角坐标系的直角坐标系中中, 锥面方程锥面方程必是关于必是关于 x, y, z 的的齐齐次次方程方程. ,),(,),(00zyxzyxGF设设锥面锥面S锥顶锥顶M0(x0, y0, z0) , 准线准线 :则则M(x, y, z) (不是锥顶不是锥顶)在锥面上在锥面上存在实数存在实数t, 使使 ,)( ,)( ,)(,)( ,)( ,)(01110111000000tzzttyyttxxttzzttyyttxxtG

12、F从其中一式从其中一式解出解出 t 代入另一式代入另一式, 即得即得 S 的方程的方程. 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 (一一) 椭球面椭球面 1 椭球面椭球面: ; 1222222 czbyax 2 点点: ; 0222222 czbyax (二二) 双曲面双曲面 3 单叶双曲面单叶双曲面: ; 1222222 czbyax (1) 非空二次曲面的类型非空二次曲面的类型 4 双叶双曲面双叶双曲面: ; 1222222 czbyax 7. 二次曲面二次曲面解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 (三三) 抛物面抛物面 5 椭圆抛物面椭圆抛物面: ; zbyax22222

13、6 双曲抛物面双曲抛物面: ; zbyax22222 (四四) 二次锥面二次锥面 7 二次锥面二次锥面: ; 0222222 czbyax (五五) 二次柱面二次柱面 8 椭圆柱面椭圆柱面: ; 12222 byax 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 9 一条直线一条直线: ; 02222 byax 10 双曲柱面双曲柱面: ; 12222 byax 11 一对相交平面一对相交平面: ; 02222 byax 12 抛物柱面抛物柱面: ;pyx22 14 一张平面一张平面: . 02 x 13 一对平行平面一对平行平面: .,02 aax 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结

14、束 (2) 五类二次曲线的图形特征五类二次曲线的图形特征 (平行截线的变平行截线的变化规律化规律; 范围范围; 对称性对称性; 图像图像)1 椭球面椭球面 2 单叶双曲面单叶双曲面 3 双叶双曲面双叶双曲面 4 椭圆抛物面椭圆抛物面 5 双曲抛物面双曲抛物面 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 类型类型 所有二次柱面所有二次柱面 所有二次锥面所有二次锥面 单叶双曲面单叶双曲面 双曲抛物面双曲抛物面 特点特点 二次柱面二次柱面: 所有直母线都所有直母线都平行于一个固定向量平行于一个固定向量. 二次锥面二次锥面: 所有直母线都所有直母线都过同一个点过同一个点. (3) 直纹二次曲面直纹二

15、次曲面解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 双曲抛物面双曲抛物面: 恰有两族直母线恰有两族直母线 ,)(: l c zbyaxccbyax2,)(: l c zbyaxccbyax2c R, 同族的直母线都平行于同一张平面同族的直母线都平行于同一张平面; 异族的直母线一定相交异族的直母线一定相交. 有如下有如下特征特征性质性质: 方向向量方向向量分别为分别为: uc (a, b, c), uc (a, b, c), 同族的两条不同直母线一定异面同族的两条不同直母线一定异面;解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 单叶双曲面单叶双曲面: 恰有两族直母线恰有两族直母线 ,)()()(

16、)(: l bysczaxtbytczaxsts11 l )()()()(:bysczaxtbytczaxsts11其中其中 s, t 不全为零不全为零. 解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 同族的任何三条不同的直母线都不平行于同族的任何三条不同的直母线都不平行于同一张平面同一张平面; 异族的直母线一定共面异族的直母线一定共面. 有如下有如下特征特征性质性质: 方向向量方向向量可分别取为可分别取为: ),(,),(:2222tscbststats u ),(,),(:2222tscbststats u 同族的两条不同直母线一定异面同族的两条不同直母线一定异面;解析几何总复习解析几何总

17、复习上页 下页 结束 坐标变换与二次曲线的分类坐标变换与二次曲线的分类1. 坐标变换公式坐标变换公式(1) 仿射坐标变换公式仿射坐标变换公式、过渡矩阵过渡矩阵的的性质性质(2) 直角坐标变换公式直角坐标变换公式、正交矩阵正交矩阵的的特点特点2. 二次曲线的分类二次曲线的分类(1) 利用利用移轴移轴和和转轴转轴求求二次曲线标准方程二次曲线标准方程(2) 利用利用不变量判断二次曲线类型不变量判断二次曲线类型解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 3. 计算计算二次曲线的仿射特征、度量特征二次曲线的仿射特征、度量特征(1) 中心型二次曲线的中心型二次曲线的中心中心(2) 渐近线渐近线(3) 直

18、径直径与与共轭直径共轭直径(4) 圆锥曲线的圆锥曲线的切线切线(5) 圆锥曲线的圆锥曲线的对称轴、顶点对称轴、顶点(6) 根据圆锥曲线的仿射、度量特征根据圆锥曲线的仿射、度量特征画简图画简图解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 保距变换与仿射变换保距变换与仿射变换1. 仿射变换仿射变换(1) 概念概念与与性质性质(2) 仿射变换仿射变换基本定理基本定理(3) 仿射变换的仿射变换的变换公式变换公式、变换矩阵变换矩阵(4) 仿射变换的仿射变换的不动点不动点与与特征向量特征向量2. 保距变换保距变换(1) 概念概念与与特点特点(2) 保距变换保距变换基本定理基本定理(3) 保距变换的保距变换的变换公式变换公式、变换矩阵变换矩阵解析几何总复习解析几何总复习上页 下页 结束 3. 图形的图形的仿射分类仿射分类与与度量分类度量分类(1) 仿射等价仿射等价与与度量等价度量等价(2) 仿射概念、仿射性质仿射概念、仿射性质和和度量概念、度量性质度量概念、度量性质(3) 利用利用图形的仿射分类解决某些几何问题图形的仿射分类解决某些几何问