数模(差分方程模型)1概要完整版

1、重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模差分方程模型差分方程模型重庆邮电大学数理学院沈世云重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模7.1 差分方程基本知识差分方程基本知识7.2 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型7.3 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动7.4 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型7.5 按年龄分组的种群增长按年龄分组的种群增长第七章第七章 差分方程模型差分方程模型重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模7.1 差分方程基本知识差分方程基本知识 1、差分方程： 差分方程反映的是关于离散

2、变量的取值与变化规律。通过建立一个或几个离散变量取值所满足的平衡关系，从而建立差分方程。 差分方程就是针对要解决的目标，引入系统或过程中的离散变量，根据实际背景的规律、性质、平衡关系，建立离散变量所满足的平衡关系等式，从而建立差分方程。通过求出和分析方程的解，或者分析得到方程解的 特别性质（平衡性、稳定性、渐近性、振动性、周期性等），从而把握这个离散变量的变化过程的规律，进一步再结合其他分析，得到原问题的解。重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模Fibonacci 数列数列 13世纪意大利著名数学家世纪意大利著名数学家Fibonacci在他的著作在他的著作算盘书算盘

3、书中记载着这样一个有趣的问题：中记载着这样一个有趣的问题： 一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一一对刚出生的幼兔经过一个月可长成成兔，成兔再经过一个月后可以繁殖出一对幼兔个月后可以繁殖出一对幼兔. 若不计兔子的死亡数，问一年之若不计兔子的死亡数，问一年之后共有多少对兔子？后共有多少对兔子？月份月份 0 1 2 3 4 5 6 7 幼兔幼兔 1 0 1 1 2 3 5 8 成兔成兔 0 1 1 2 3 5 8 13 总数总数 1 1 2 3 5 8 13 21 重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 将兔群总数记为将兔群总数记为 fn, n=0,1,2,

4、，经过观察可以发现，数列，经过观察可以发现，数列fn满足下列递推关系：满足下列递推关系： f0 = f1 =1, fn+2 = fn+1 + fn , n=0,1,2, 这个数列称为这个数列称为Fibonacci数列数列. Fibonacci数列是一个十分有趣数列是一个十分有趣的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用的数列，在自然科学和数学领域中都有着广泛的应用. Fibonacci数列的一些实例数列的一些实例. 1. 蜜蜂的家谱蜜蜂的家谱 2. 钢琴音阶的排列钢琴音阶的排列 3. 树的分枝树的分枝 4. 杨辉三角形杨辉三角形重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学

5、建模日常的经济问题中的差分方程模型日常的经济问题中的差分方程模型 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利元的存款账户，银行的年利率为率为7%. 用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设设r为年利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型因此存款问题的数学模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学

6、建模 从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入银行存入x元作为家庭教育基金元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总额的表达式年后教育基金总额的表达式. 预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的岁入大学时所需的费用为费用为100000元，按年利率元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元入多少元? 设设n年后教育基金总额为年后

7、教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元万元. 他们已经筹他们已经筹集集10万元，另外万元，另外20万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为若贷款月利率为0.6%，还贷期限为还贷期限为20年，问小李夫妇每月要还多少钱？年，问小李夫妇每月要还多少钱？ 设贷款额为

8、设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠个月后的欠款额为款额为an，则，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 在上述模型中，给出了在上述模型中，给出了an+1与与an之间的递推公式之间的递推公式. 将它们写成将它们写成统一的形式：统一的形式： a0=c, an+1= an+b, n=0,1,2,3,称此类递推关系为称此类递推关系为. 当当b=0时称为齐次差分方时称为齐次差分方程，否则称为非齐

9、次差分方程程，否则称为非齐次差分方程. 对任意数列对任意数列A=a1,a2,an,，其差分算子，其差分算子 定义如下：定义如下： a1=a2-a1, a2=a3-a2, an=an+1-an, 对数列对数列A=a1,a2,an,，其一阶差分的差分称为二，其一阶差分的差分称为二阶差分阶差分, 记为记为 2A= ( A). 即：即： 2an= an+1- an=(an+2-an+1)-(an+1-an)=an+2-2an+1+an 一般地，可以定义一般地，可以定义n阶差分阶差分.重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 一阶线性差分方程一阶线性差分方程 an+1= an+

10、b 的通解是：的通解是： 对一阶线性差分方程对一阶线性差分方程 an+1= an+b, 若若 | |1, 则则 an逐渐远离平衡解逐渐远离平衡解 b/(1- ) (发散型不动点发散型不动点). 1,1, 1,bccnbann重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模0)(.)()(110tnntntxtaxtaxta则被称为方程对应的则被称为方程对应的 齐次线性差分方程齐次线性差分方程 。若所有的若所有的 ai(t)均为与均为与t无关的常数，则称其为无关的常数，则称其为 常系数差分常系数差分方程方程，即，即n阶常系数线性差分方程可分成阶常系数线性差分方程可分成)(.11

11、0tbxaxaxatntntn（7.1） 的形式，其对应的齐次方程为的形式，其对应的齐次方程为0.110tntntnxaxaxa（7.2） )2(2)1(1tttxcxcx)1(tx)2(tx容易证明，若序列容易证明，若序列与与均为方程（均为方程（7.2）的解，则）的解，则也是方程（也是方程（7.2）的解，其）的解，其 中中c1、c2为任意常数，这说明，为任意常数，这说明，齐次方程的解构成一个齐次方程的解构成一个 线性空间线性空间（解空间）。（解空间）。 此规律对于（此规律对于（7.1）也成立。）也成立。重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 方程（方程（7.1）可

12、用如下的代数方法求其通解：）可用如下的代数方法求其通解：（步一步一）先求解对应的特征方程）先求解对应的特征方程 0.110nnnaaa （7.3） （步二步二）根据特征根的不同情况，求齐次方）根据特征根的不同情况，求齐次方 程程(7.2）的通解的通解 情况情况1 若特征方程（若特征方程（7.3）有）有n个互不相同的实根个互不相同的实根1 , n ，则齐次方程（，则齐次方程（7.2）的通解为）的通解为tnntCC.11 (C1,Cn为任意常数为任意常数)，iC情况情况2 若若 是特征方程（是特征方程（7.3）的）的k重根，通解中对应重根，通解中对应 于于的项为的项为tkktCC )(11 为任意

13、常数，为任意常数，i=1,k。情况情况3 若特征方程（若特征方程（7.3）有单重复根）有单重复根 ia 通解中对应它们的项为通解中对应它们的项为 tttt sinCcosC21 22 为为的模，的模， arctan 为为的幅角。的幅角。 重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模情况情况4 若若ia 为特征方程（为特征方程（7.3）的）的k重复根，则通重复根，则通 解对应于它们的项为解对应于它们的项为tttttktk sin)CC(cos)CC(12k1k1k1 iC为任意常数，为任意常数，i=1,2k。 ty .若若yt为方程为方程(7.2)的的通解通解,则非齐次方程

14、则非齐次方程 (7.1)的通解为的通解为（步三步三） 求非齐次方程求非齐次方程 (7.1)的一个特解的一个特解ttyy 求非齐次方程（求非齐次方程（7.1）的特解一般）的特解一般要用到要用到 常数变易法常数变易法，计算较繁。，计算较繁。对特殊形式对特殊形式 的的b(t)也可使用也可使用 待定待定系数法系数法。 重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模0)(6) 1(5) 2(nynyny初始条件为初始条件为y(0)=2y(0)=2和和y(1)=3y(1)=3，求方程的齐次解。，求方程的齐次解。例例2.系统的差分方程系统的差分方程特征根为特征根为. 3, 221nnhC

15、Cny) 3()2()(21于是于是由初始条件由初始条件212)0(CCy21323) 1 (CCy解得：解得：1, 321CC故齐次解故齐次解nnhny3)2( 3)(0) 3)(2(652解：特征方程为解：特征方程为重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模2 2、特解、特解 特解得求法：将激励特解得求法：将激励x(n)x(n)代入差分方程右端得到代入差分方程右端得到自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。自由项，特解的形式与自由项及特征根的形式有关。（1 1）自由项为）自由项为n nk k的多项式的多项式1 1不是特征根：不是特征根：kkkpDnDnDny1

16、10)(1 1是是K K重特征根：重特征根：)()(110kkkKpDnDnDnny重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模（2 2）自由项为）自由项为na 不是特征根，则特解不是特征根，则特解anpDany)( 是特征单根，则特解是特征单根，则特解anpaDnDny)()(21 是是k k重特征根，则特解重特征根，则特解ankkkpaDnDnDny)()(1121重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模（3 3）自由项为正弦）自由项为正弦 或余弦或余弦 表达式表达式0cosn0201cossin)(nDnDnyp0sinn（4 4）自由项为

17、正弦）自由项为正弦)cossin(0201nAnAn 不是特征根不是特征根0je)cossin()(0201nDnDnynp)cossin()(0201nDnDnnynkp 是特征根是特征根0je重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模例例3 3： 求下示差分方程的完全解求下示差分方程的完全解) 1()() 1(2)(nxnxnyny其中激励函数其中激励函数 ，且已知，且已知2)(nnx1) 1(y解：特征方程：解：特征方程：02 2齐次通解：齐次通解：nc)2(将将 代入方程右端，得代入方程右端，得)(nx12)1()1()(22nnnnxnx设特解为设特解为 形式

18、，代入方程得形式，代入方程得21DnD重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模日常的经济问题中的差分方程模型日常的经济问题中的差分方程模型 假如你在银行开设了一个假如你在银行开设了一个1000元的存款账户，银行的年利元的存款账户，银行的年利率为率为7%. 用用an表示表示n年后你账户上的存款额，那么下面的数列年后你账户上的存款额，那么下面的数列就是你每年的存款额：就是你每年的存款额： a0, a1, a2, a3, , an, 设设r为年

19、利率，由于为年利率，由于an+1=an+r an, 因此存款问题的数学模型因此存款问题的数学模型是：是： a0=1000, an+1=(1+r)an, n=1,2,3, 重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 从从1994年开始，我国逐步实行了大学收费制度年开始，我国逐步实行了大学收费制度. 为了保障子女为了保障子女将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向将来的教育费用，小张夫妇从他们的儿子出生时开始，每年向银行存入银行存入x元作为家庭教育基金元作为家庭教育基金. 若银行的年利率为若银行的年利率为r，试写出第，试写出第n年后教育基金总额的表达式年后教育

20、基金总额的表达式. 预计当子女预计当子女18岁入大学时所需的岁入大学时所需的费用为费用为100000元，按年利率元，按年利率3%计算，小张夫妇每年应向银行存计算，小张夫妇每年应向银行存入多少元入多少元? 设设n年后教育基金总额为年后教育基金总额为an，每年向银行存入，每年向银行存入x元，依据复利元，依据复利率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为：率计算公式，得到家庭教育基金的数学模型为： a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 由由 a0=x, an+1=(1+r)an+x, n=0,1,2,3, 得

21、通解得通解: 将将 a0=x, =1+r, b=x 代入代入, 得得 c =x(1+r)/r, 因此方程的特解因此方程的特解是是:1bcannnnnnarrxrrxa1)1 (,1)1 (11 将将 a18=100000,r=0.03 代入计算出代入计算出 x=3981.39.重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 小李夫妇要购买二居室住房一套，共需小李夫妇要购买二居室住房一套，共需30万元万元. 他们已经筹他们已经筹集集10万元，另外万元，另外20万元申请抵押贷款万元申请抵押贷款. 若贷款月利率为若贷款月利率为0.6%，还贷期限为还贷期限为20年，问小李夫妇每月要

22、还多少钱？年，问小李夫妇每月要还多少钱？ 设贷款额为设贷款额为a0，每月还贷额为，每月还贷额为x，月利率为，月利率为r，第，第n个月后的欠个月后的欠款额为款额为an，则，则 a0=200000, a1=(1+r)a0-x, a2=(1+r)a1-x, an=(1+r)an-1-x, n=1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 由由 a0=200000, an+1=(1+r)an-x, n=0,1,2,3,将将 =1+r, b=-x 代入得到方程的特解代入得到方程的特解:rrxraannn1)1 ()1 (0 若在第若在第N个月还清贷款，令个月还清贷款，令

23、 aN=0, 得得:1)1 ()1 (0NNrrrax 将将 a0=200000, r =0.006, N=20*12=240 代入计算出代入计算出 x=1574.70重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售小王看到一则广告：商场对电脑实行分期付款销售. 一台售一台售价价8000元的电脑，可分元的电脑，可分36个月付款，每月付个月付款，每月付300元即可元即可. 同时他同时他收到了银行提供消费贷款的消息：收到了银行提供消费贷款的消息：10000元以下的贷款，可在三元以下的贷款，可在三年内还清，年利率为年内还清，年利率为15

24、%. 那么，他买电脑应该向银行贷款，还那么，他买电脑应该向银行贷款，还是直接向商店分期付款？是直接向商店分期付款？ 经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同经过分析可知，分期付款与抵押贷款模型相同. 设第设第n个月后个月后的欠款额为的欠款额为an，则，则 a0=8000, an+1=(1+r)an-300, n=0,1,2,3, 贷款模型贷款模型 a0=8000, an+1=(1+0.15/12)an-x, n=0,1,2,3,重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模7.2 市场经济中的蛛网模型市场经济中的蛛网模型问问 题题供大于求供大于求现现象象商品数量与价格的振荡

25、在什么条件下趋向稳定商品数量与价格的振荡在什么条件下趋向稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定当不稳定时政府能采取什么干预手段使之稳定价格下降价格下降减少产量减少产量增加产量增加产量价格上涨价格上涨供不应求供不应求描述商品数量与价格的变化规律描述商品数量与价格的变化规律数量与价格在振荡数量与价格在振荡重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模蛛蛛 网网 模模 型型gx0y0P0fxy0 xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格消费者的需求关系消费者的需求关系)(kkxfy 生产者的供应关系生产者的供应关系减函数减函数增函数增函数供应

26、函数供应函数需求函数需求函数f与与g的交点的交点P0(x0,y0) 平衡点平衡点一旦一旦xk=x0，则，则yk=y0, xk+1,xk+2,=x0, yk+1,yk+2, =y0 )(1kkyhx)(1kkxgy重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模xy0fgy0 x0P0设设x1偏离偏离x0 x1x2P2y1P1y2P3P4x3y332211xyxyx0321PPPP00,yyxxkkP0是稳定平衡点是稳定平衡点P1P2P3P4P0是不稳定平衡点是不稳定平衡点gfKKxy0y0 x0P0fg)(kkxfy )(1kkyhx)(1kkxgy00,yyxxkk gfK

27、K曲线斜率曲线斜率蛛蛛 网网 模模 型型0321PPPP 重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模)(kkxfy )(1kkyhx在在P0点附近用直线近似曲线点附近用直线近似曲线)0()(00 xxyykk)0()(001yyxxkk)(001xxxxkk)()(0101xxxxkk1P0稳定稳定P0不稳定不稳定0 xxkkxfKgK/1)/ 1()/ 1(1方方 程程 模模 型型gfKKgfKK方程模型与蛛网模型的一致方程模型与蛛网模型的一致重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模)(00 xxyykk 商品数量减少商品数量减少1单位单位,

28、 价格上涨幅度价格上涨幅度)(001yyxxkk 价格上涨价格上涨1单位单位, (下时段下时段)供应的增量供应的增量考察考察 , 的含义的含义 消费者对需求的敏感程度消费者对需求的敏感程度 生产者对价格的敏感程度生产者对价格的敏感程度 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定 小小, 有利于经济稳定有利于经济稳定结果解释结果解释xk第第k时段商品数量；时段商品数量；yk第第k时段商品价格时段商品价格1经济稳定经济稳定结果解释结果解释重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模经济不稳定时政府的干预办法经济不稳定时政府的干预办法1. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0 以行政手段

29、控制价格不变以行政手段控制价格不变2. 使使 尽量小，如尽量小，如 =0靠经济实力控制数量不变靠经济实力控制数量不变xy0y0gfxy0 x0gf结果解释结果解释需求曲线变为水平需求曲线变为水平供应曲线变为竖直供应曲线变为竖直重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模2/ )(0101yyyxxkkk模型的推广模型的推广 生产者根据当前时段和前一时生产者根据当前时段和前一时段的价格决定下一时段的产量。段的价格决定下一时段的产量。)(00 xxyykk生产者管理水平提高生产者管理水平提高设供应函数为设供应函数为需求函数不变需求函数不变, 2 , 1,)1 (22012kx

30、xxxkkk二阶线性常系数差分方程二阶线性常系数差分方程x0为平衡点为平衡点研究平衡点稳定，即研究平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件)(1kkyhx211kkkyyhx重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模48)(22, 1012)1 (22xxxxkkk方程通解方程通解kkkccx2211(c1, c2由初始条件确定由初始条件确定) 1, 2特征根，即方程特征根，即方程 的根的根 022平衡点稳定，即平衡点稳定，即k, xkx0的条件的条件:12,12平衡点稳定条件平衡点稳定条件比原来的条件比原来的条件 放宽了放宽了122, 1模型的推广模型的推广重庆邮电大

31、学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模1、问题的分析问题的分析 由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑由于公鹿和母鹿的比例大致相等，所以在此仅考虑母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切母鹿的增长。鹿群的增长与鹿的死亡率和生育率密切相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿相关，因为鹿的生育周期为一年，即一岁以上的母鹿可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为可以生育，所以我们把母鹿分为两组，一岁以下的为幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后幼鹿，其余的为成年鹿。根据这样的分组，一年以后存活的幼鹿都为成年鹿，而这一年中出生的鹿构成新存活的幼鹿都为成

32、年鹿，而这一年中出生的鹿构成新的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取的幼鹿。从以上的分析，我们可把观测的时间间隔取为一年。为一年。2、模型假设、模型假设）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。）动物的数量足够大，故可以用连续的方法来度量。 ）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿）只考虑母鹿，并将其分为两组，一岁以下为幼鹿组，其余为成年鹿组。组，其余为成年鹿组。 7.3 简单的鹿群增长问题简单的鹿群增长问题重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 ）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡）把时间离散化，每年观测一次，即环境因素、生育、死亡

33、方式等每年重复发生。方式等每年重复发生。 ）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几）不考虑饱和状态，即在所考虑的时间段内，种群的增长几乎不受自然资源的制约。乎不受自然资源的制约。 ）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。）疾病是死亡的主要原因，鹿的死亡数与鹿的总数成正比。）鹿的生育数与鹿的总数成正比。）鹿的生育数与鹿的总数成正比。3、模型的建立与求解、模型的建立与求解分别以分别以nx和和ny表示第表示第n年幼鹿和成年鹿的数量。年幼鹿和成年鹿的数量。 一年后，幼鹿存活的数量与一年后，幼鹿存活的数量与nx之比叫做幼鹿的存活率。之比叫做幼鹿的存活率。 由假设，每年的存活率是一

34、常数，分别以由假设，每年的存活率是一常数，分别以1b和和2b表示幼鹿和成年鹿的存活率。表示幼鹿和成年鹿的存活率。 重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有生因为年长的幼鹿在这一年之内可能超过一岁，因而有生育能力。根据假设，生育率也是常数，育能力。根据假设，生育率也是常数， 分别以1a和2a表示幼鹿和成年鹿的生育率。表示幼鹿和成年鹿的生育率。 假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为假设刚出生的幼鹿在哺乳期的存活率为s。一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为一年以后，原来的幼鹿可生育幼鹿数为nxa1 成年鹿可生育的幼鹿数为成年鹿可生

35、育的幼鹿数为nya2 由于哺乳期的新生幼鹿的存活率为s， 所以一年以后新的幼鹿数：所以一年以后新的幼鹿数： 11(asxnsyaxnn)2nnysaxa21 (7.2.1)一年以后，原来的幼鹿存活数为一年以后，原来的幼鹿存活数为nxb1 原来的成年鹿的存活数为原来的成年鹿的存活数为nyb2 所以新的成年鹿的数目是所以新的成年鹿的数目是nnnybxby211 (7.2.2)重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模(7.2.1).(7.2.2)联立起来，即得下面的线性差分方程组：联立起来，即得下面的线性差分方程组： nnnnnnybxbyysaxsax211211 (7.

36、2.3)或用矩阵表示为：或用矩阵表示为： 11nnyx2121bbsasannyx (7.2.4) 这是一个一步方程，令这是一个一步方程，令 nunnyx， A=2121bbsasa则则(7.2.4)式可表示为式可表示为 nnAuu1 (7.2.5) 重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模于是可推出：于是可推出： 0uAunn或 nnyx=00yxAn n0 (7.2.6) 如果知道开始时幼鹿数量如果知道开始时幼鹿数量0 x和成年鹿的数量和成年鹿的数量0y，由，由(7.2.6)可算出第可算出第n年的鹿的总数。年的鹿的总数。 为了给出解的一般表达式，先把矩阵为了给出解

37、的一般表达式，先把矩阵A对角化：对角化： 令令 EA=0即即 02121bbsasa得特征方程：得特征方程：0)()(1221212babasbsa (7.2.7)重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模其判别式为其判别式为 )(4)(1221221babasbsa =122214)(asabsa 由于由于s,12,ba 都是大于零的，所以判别式都是大于零的，所以判别式 0，1和和2矩阵矩阵A可以对角化。可以对角化。 特征方程特征方程(7.2.7)有两个相异的实根有两个相异的实根，这保证了，这保证了 对于特征根1，从下面的线性方程组，从下面的线性方程组 121211b

38、bsasayx=00可解得特征向量可解得特征向量Tbb),(1211 同理可解得对应于特征根同理可解得对应于特征根2的特征向的特征向量量Tbb),(1222重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模所以可得矩阵 P112221bbbb 使得21100APPA112221bbbb21001112221bbbb即于是得 nA112221bbbbnn21001112221bbbb将上式代入(7.2.6)式00yxAnnnyx=重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模nnyx=112221bbbbnn21001112221bbbb00yx记 21cc=

39、1112221bbbb00yx (7.2.8)所以 nnyx=112221bbbbnn210021cc =nnnnbbbb2111222121)()(21cc 重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 由此可得： nnnnnnbcbcybcbcx21211122221211)()( n0 故解得：, 1, 1, 1)(, 1)(,322222231211113210322222223121, 12113210bcbcyyyybcbcxxxx (7.2.9) 现在利用公式现在利用公式(7.2.9)对下面的一组数据对下面的一组数据 0 x0.8（千头） 1a0.3 1b0

40、.62 s0.8 0y1 （千头） 2a1.5 2b0.75重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模计算今后6年鹿的总数。为此，将以上数据代入(7.2.7),解得39446. 1404458. 021将数据代入(7.2.8)得4798. 1133107. 021cc最后由(7.2.9)得011. 7,03. 5,602. 3,596. 2,829. 1,392. 1,621xxx746. 6,837. 4,471. 3,482. 2,798. 1,246. 1,621yyy重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 4、模型评价、模型评价 该模

41、型的假设中，没有考虑资源的制约，所以当该模型的假设中，没有考虑资源的制约，所以当鹿群的增长接近饱和状态时，该模型失效。如果考虑鹿群的增长接近饱和状态时，该模型失效。如果考虑自然资源的制约，则模型假设中的第条不成立，这自然资源的制约，则模型假设中的第条不成立，这时生育率与食物的获取有关。时生育率与食物的获取有关。重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模7.4 减肥计划减肥计划节食与运动节食与运动背背景景 多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持 通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到

42、减轻体重并维持下去的目标的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分分析析 体重变化由体内能量守恒破坏引起体重变化由体内能量守恒破坏引起 饮食（吸收热量）引起体重增加饮食（吸收热量）引起体重增加 代谢和运动（消耗热量）引起体重减少代谢和运动（消耗热量）引起体重减少 体重指数体重指数BMI=w(kg)/l2(m2). 18.5BMI25 超重超重; BMI30 肥胖肥胖.重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模模型假设模型假设1）体重增加正比于吸收的热量）体重增加正比于吸收的热量每每8000千卡增加体重千卡增加体重1千克；千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重）代谢引起的体

43、重减少正比于体重每周每公斤体重消耗每周每公斤体重消耗200千卡千卡 320千卡千卡(因人而异因人而异), 相当于相当于70千克的人每天消耗千克的人每天消耗2000千卡千卡 3200千卡；千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；形式有关； 4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。千卡。重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模某甲体重某甲体重100千克，目前每周吸收千克，目前每周吸收20000千卡热量，千

44、卡热量，体重维持不变。现欲减肥至体重维持不变。现欲减肥至75千克。千克。第一阶段：每周减肥第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（少，直至达到下限（10000千卡）；千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标 2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。）给出达到目标后维持体重的方案。重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学

45、市级精品课程-数学建模数学建模)()1()()1(kwkckwkw千卡）千克 /(80001 确定某甲的代谢消耗系数确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗即每周每千克体重消耗 20000/100=200千卡千卡基本模型基本模型w(k) 第第k周周(末末)体重体重c(k) 第第k周吸收热量周吸收热量 代谢消耗系数代谢消耗系数(因人而异因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收每周吸收20000千卡千卡 w=100千克不变千克不变wcww025. 0100800020000wc重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模 第一阶段第一阶段

46、: w(k)每周减每周减1千克千克, c(k)减至下限减至下限10000千卡千卡1) 1()(kwkwk20012000 )() 1()() 1(kwkckwkw第一阶段第一阶段10周周, 每周减每周减1千克，第千克，第10周末体重周末体重90千克千克10kkwkw)0()()1(1)0()1(kwkc80001025.09, 1 , 0,20012000) 1(kkkc吸收热量为吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划1)(1)1(kwkc10000mC重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模)1 ()1 (1 )()1 ()(1nmnC

47、kwnkw 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 代入得以10000,80001,025. 0mC5050)(975. 0)(kwnkwnmmnCCkw)()1 (1）不运动情况的两阶段减肥计划）不运动情况的两阶段减肥计划)() 1()() 1(kwkckwkw基本模型基本模型mCkwkw)()1 () 1(重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模nnkwkw求，要求已知75)(,90)(50)5090(975.075n 第二阶段：每周第二阶段：每周c(k)保持保持Cm, w(k)减至减至75千克千克 5050)(975.0

48、)(kwnkwn第二阶段第二阶段19周周, 每周吸收热量保持每周吸收热量保持10000千卡千卡, 体重按体重按 减少至减少至75千克。千克。)19, 2 , 1(50975. 040)(nnwn19975. 0lg)40/25lg(n重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模)028. 0()025. 0(t24,003. 0tt即取运动运动 t=24 (每周每周跳舞跳舞8小时或自行车小时或自行车10小时小时), 14周即可。周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量根据资料每小时每千克体重消耗的热量 (千卡千卡

49、): 跑步跑步 跳舞跳舞 乒乓乒乓 自行车自行车(中速中速) 游泳游泳(50米米/分分) 7.0 3.0 4.4 2.5 7.9t每周运动每周运动时间时间(小时小时)()() 1()() 1(kwtkckwkw基本基本模型模型6 .44)6 .4490(972. 075n14nmmnCCkwnkw)()1()(重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模3）达到目标体重）达到目标体重75千克后维持不变的方案千克后维持不变的方案)()() 1()() 1(kwtkckwkw每周吸收热量每周吸收热量c(k)保持某常数保持某常数C，使体重，使体重w不变不变wtCww)(wtC)

50、()(1500075025. 08000千卡C 不运动不运动)(1680075028. 08000千卡C 运动运动(内容同前内容同前)重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模)1()(Nxrxtx,2, 1),1 (1kNyryyykkkk7.3 差分形式的阻滞增长模型差分形式的阻滞增长模型连续形式连续形式的阻滞增长模型的阻滞增长模型 (Logistic模型模型)t, xN, x=N是是稳定平衡点稳定平衡点(与与r大小无关大小无关)离散离散形式形式x(t) 某种群某种群 t 时刻的数量时刻的数量(人口人口)yk 某种群第某种群第k代的数量代的数量(人口人口)若若yk=

51、N, 则则yk+1,yk+2,=N讨论平衡点的稳定性，即讨论平衡点的稳定性，即k, ykN ？y*=N 是平衡点是平衡点重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模kkyNrrx) 1( 1rb记) 1 ()1 (1Nyryyykkkk离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性离散形式阻滞增长模型的平衡点及其稳定性kkkyNrryry) 1(1) 1(1)2()1 (1kkkxbxx一阶一阶(非线性非线性)差分方程差分方程 (1)的平衡点的平衡点y*=N讨论讨论 x* 的稳定性的稳定性变量变量代换代换(2)的平衡点的平衡点brrx111*重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市

52、级精品课程-数学建模数学建模(1)的平衡点的平衡点 x*代数方程代数方程 x=f(x)的根的根稳定性判断稳定性判断)2()()(*1xxxfxfxkk(1)的近似线性方程的近似线性方程x*也是也是(2)的平衡点的平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的稳定平衡点的稳定平衡点1)(* xfx*是是(2)和和(1)的不稳定平衡点的不稳定平衡点补充知识补充知识一阶非线性差分方程一阶非线性差分方程) 1 ()(1kkxfx的平衡点及稳定性的平衡点及稳定性重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模)21()(*xbxf1)(* xf0yxxy )(xfy 4/b*x2/11)1 ()(xbxxfx)1 (1kkkxbxx的平衡点及其稳定性的平衡点及其稳定性平衡点平衡点bx11*稳定性稳定性31 b2/ 1/ 11*bx*xxk（单调增）0 x1x1x2xx* 稳定稳定21)1( b) 1)(3*xfbx* 不稳定不稳定另一平衡另一平衡点为点为 x=01 rb1)0(bf不稳定不稳定b 2重庆邮电大学市级精品课程重庆邮电大学市级精品课程-数学建模数学建模3)3(b01/21y4/bxy )(xfy 0 x1x*x2xx32)2( b2/