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1、10.4 二项式定理九章算术九章算术杨辉杨辉详解九章算法中记载的表详解九章算法中记载的表1“杨辉三角杨辉三角”的来历及规的来历及规律律 展开式中的二项式系数，当时，如下表所示： nba)( 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1)(ba2)(ba3)(ba4)(ba5)(ba6)(ba点击图片可以演示“杨辉三角”课件 4. 扬辉三角：1ba 1 1 表中每行两端都是1，而且除1以外的每一个数都等于它肩上两数的和. 1 3 3 13ba 1 4 6 4 14ba1 5 10 10 5 15ba 1 6 15 20

2、15 6 16ba2ba 1 2 10ba1 展开式的二项式系数依次是： nba)( nnnnnC,C,C,C210 从函数角度看， 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是： rnC)(rfn, 2 , 1 , 0 当 时，其图象是右图中的7个孤立点6n2二项式系数的性质二项式系数的性质 （1）对称性）对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式 得到mnnmn CC图象的对称轴：2nr （2）增减性与最大值）增减性与最大值 kknkkknnnnknkn1C)!1() 1()2)(1(C1由于：所以 相对于 的增减情况由 决定 knC1Cknkkn1（2）增减性与最

3、大值）增减性与最大值 由：2111nkkkn 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。 21nk 可知，当 时，（2）增减性与最大值）增减性与最大值 因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式2Cnn系数 取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数 、21Cnn21Cnn相等，且同时取得最大值。（3）各二项式系数的和）各二项式系数的和 在二项式定理中，令 ，则： 1bannnnnn2CCCC210 这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于：nba)( n2同时由于 ，上式还可以写成：1C0n12CCCC321nnnnnn这是组合总数公式 nba)( 例例1 证明在 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和nxx)2(34项的二项式系数是倒数第2项的二项式系数的7倍，求展开式中x的一次项例例2 已知 的展开式中，第 二项展开式中的二项式系数都是一些特殊的组合数，它有三条性质，要理解和掌握好，同时要注意“系数”与“二项式系数”的区别，不能混淆，只有二项式系数最大的才

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