高中数学 第三单元 导数及其应用 3.3.3 导数的实际应用课件 新人教B版选修1-1

1、1第三章导数及其应用3.3.3导数的实际应用21.能利用导数解决实际问题.2.提高综合运用导数知识解题的能力，培养化归与转化意识.学习目标3题型探究知识梳理内容索引当堂训练4知识梳理5知识点生活中的优化问题1.生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为 .2.利用导数解决优化问题的实质是求函数最值.3.解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的 过程.优化问题数学建模6题型探究7类型一几何中的最值问题命题角度命题角度1平面几何中的最值问题平面几何中的最值问题例例1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场.如图，圆形广场的圆心为O，半径为100 m，并与

2、北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的垂线，垂足为点B.市园林局计划在ABM内进行绿化.设ABM的面积为S(单位：m2)，AON(单位：弧度).(1)将S表示为的函数；解答8BMAOsin 100sin ，ABMOAOcos 100100cos ，(0，)，5 000(sin sin cos )，(0，).9(2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积.解答10S5 000(2cos2cos 1)5 000(2cos 1)(cos 1)，当变化时，S，S的变化情况如下表：此时AB150 m，即点A到北京路一边l的距离为150 m.11平面图形中的最值问题

3、一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值.反思与感悟12跟踪训练跟踪训练1如图所示，在二次函数f(x)4xx2的图象与x轴所围成图形中有一个内接矩形ABCD，求这个矩形面积的最大值.解答13设点B的坐标为(x,0)，且0 x2，f(x)4xx2图象的对称轴为x2，点C的坐标为(4x,0)，|BC|42x，|BA|f(x)4xx2.矩形面积为y(42x)(4xx2)16x12x22x3，y1624x6x22(3x212x8)，1415命题角度命题角度2立体几何中的最值问题立体几何中的最值问题例例2请你设计一个包装盒如图

4、所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得ABCD四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AEFBx cm.(1)若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x应取何值？解答16当且仅当x30 x，即x15时，等号成立，所以若广告商要求包装盒侧面积S最大，则x15.17(2)若广告商要求包装盒容积V最大，则x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值.解答18(1)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，并在此基础上解决与实际相关的问题.(2)解决

5、此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程.反思与感悟19跟踪训练跟踪训练2周长为20 cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为_ cm3.答案解析20设矩形的长为x cm，则宽为(10 x)cm (0 x10).由题意可知，圆柱体积为Vx2(10 x)10 x2x3.V20 x3x2.21类型二实际生活中的最值问题解答22所以a2.23(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.解答24210(x3)(x6)2,3x6.从而f(x

6、)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6).25于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3,4)4(4,6)f(x)0f(x)极大值42由上表可得x4是函数f(x)在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点.所以当x4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答答当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.26反思与感悟解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系有：(1)利润收入成本.(2)利润每件产品的利润销售件数.27跟踪训练跟踪训练3某集团为了获得更大的收益，每年要投入一定的资金用于广告促销

7、.经调查，每年投入广告费t(百万元)，可增加销售额t25t(百万元)(0t3).(1)若该公司将当年的广告费控制在3百万元之内，则应投入多少广告费，才能使该公司由此获得的收益最大？解答设投入t(百万元)的广告费后增加的收益为f(t)(百万元)，则有f(t)(t25t)tt24t(t2)24(0t3)，当t2时，f(t)取得最大值4，即当投入2百万元的广告费时，该公司由此获得的收益最大.28解答2930解答31设隔热层厚度为x cm，又C(0)8，所以k40，而隔热层建造费用为C1(x)6x.所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为32(2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最

8、小值.解答当0 x5时，f(x)0，当5x0，故x5为f(x)的极小值点也为最小值点，答答当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值为70万元.33反思与感悟(1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象.正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答.(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f(x)0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值.34跟踪训练跟踪训练4现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为50

9、0海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元.(1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数；解答35(2)为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？解答令y0，解得x40或x40(舍去).因为函数的定义域为(0,35，所以函数在定义域内没有极值点.又当0 x35时，y0，yx281(9x)(9x)，令y0，解得x9，又当x(0,9)时，y0，x(9，)时，y0，当t(8,9)时，y0，故当t8时，y取极大值也为最大值.40123453.用长为18 m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长

10、方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积为A.2 m3 B.3 m3C.4 m3 D.5 m3答案解析4112345从而V(x)18x18x218x(1x)，令V(x)0，解得x1或x0(舍去).4212345故在x1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值，从而最大体积为VV(1)9126133(m3).434.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_元.12345答案解析160当x2时，ymin160(元).445.某商品每件成本9元，售价30元，每星期卖出432件.如果降低价

11、格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0 x21)的平方成正比.已知当商品单价降低2元时，每星期多卖出24件.(1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数；12345设商品降价x元，则每星期多卖的商品数为kx2.若记商品在一个星期的获利为f(x)，则有f(x)(30 x9)(432kx2)(21x)(432kx2).由已知条件，得24k22，于是有k6.所以f(x)6x3126x2432x9 072，x0,21.解答45(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？12345根据(1)，f(x)18x2252x43218(x2)(x12).当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：解答x0,2)2(2,12)12(12,21f(x)00f(x)极小值极大值故当x12时，f(x)取得极大值.因为f(0)9 072，f(12)11 664.所以当定价为301218(元)时，才能使一个星期的商品销售利润最大.46规律与方法1.利用导数解决生活中优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的