高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1.2 分析法课件 新人教A版选修2-2

1、第2课时分析法 主题分析法主题分析法证明不等式证明不等式: : 成立成立, ,可用下面的方法进行可用下面的方法进行. .证明证明: :要证明要证明 由于由于只需证明只需证明3 2 227 3 2 2 27, 3 2 2 0,270,22( 3 2 2)(27)展开得展开得 只需证明只需证明67,67,显然显然6767成立成立. .所以所以 成立成立. .11 4 6 11 4 7,3 2 227 据上面的内容据上面的内容, ,回答下列问题回答下列问题: :(1)(1)本题证明从哪里开始本题证明从哪里开始? ?提示提示: :从结论开始从结论开始. .(2)(2)证题思路是什么证题思路是什么? ?

2、提示提示: :寻求每一步成立的充分条件寻求每一步成立的充分条件. .结论结论: :1.1.分析法的定义分析法的定义一般地一般地, ,从要证明的从要证明的_出发出发, ,逐步寻求使它成立的逐步寻求使它成立的_,_,直至最后直至最后, ,把要证明的结论归结为判定一个把要证明的结论归结为判定一个_的条件的条件( (已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等).).这这种证明的方法叫做分析法种证明的方法叫做分析法, ,又叫逆推证法或执果索因法又叫逆推证法或执果索因法. .结论结论充分条件充分条件明显成立明显成立2.2.分析法的流程分析法的流程其中其中Q Q表示要证明的结论表示要证明的结论

3、,P,P1 1,P,P2 2,P,P3 3,P,P分别表示使分别表示使Q,Q,P P1 1,P,P2 2,P,Pn n成立的成立的_条件条件,P,P表示最后寻求到的一个表示最后寻求到的一个明显成立的条件明显成立的条件. .充分充分【微思考微思考】1.1.分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理? ?提示提示: :分析法的推理过程是演绎推理分析法的推理过程是演绎推理, ,因为分析法的每因为分析法的每一步推理都是严密的逻辑推理一步推理都是严密的逻辑推理, ,从而得到的结论都是正从而得到的结论都是正确的确的, ,不同于合情推理中的猜想不同于合情推理中的猜想. .2

4、.2.分析法的证题思路是什么分析法的证题思路是什么? ?提示提示: :分析法的基本思路是分析法的基本思路是“执果索因执果索因”. .由求证走向由求证走向已知已知, ,即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发即从数学题的待证结论或需要求证的问题出发, ,一步一步探索下去一步一步探索下去, ,最后寻找到使结论成立的一个明显最后寻找到使结论成立的一个明显成立的条件成立的条件, ,或者是可以证明的条件或者是可以证明的条件. .3.3.分析法证题的模式一般是什么分析法证题的模式一般是什么? ?提示提示: :“要证要证”“”“只需证只需证”“”“即证即证”的语的语言模式言模式. .【预习自测预习自测】1.

5、1.证明不等式证明不等式 , ,比较适合的方法是比较适合的方法是( () )A.A.综合法综合法B.B.分析法分析法C.C.放缩法放缩法D.D.反证法反证法7 1115 【解析解析】选选B.B.由于题目不容易找到证明的突破口由于题目不容易找到证明的突破口, ,故最故最合理的不是综合法合理的不是综合法, ,本题使用本题使用“执果索因执果索因”法法, ,故适合故适合的方法为分析法的方法为分析法. .2.2.在不等边在不等边ABCABC中中,a,a为最大边为最大边, ,要想得到要想得到A A为钝角的结为钝角的结论论, ,对三边对三边a,b,ca,b,c应满足的条件应满足的条件, ,判断正确的是判断正

6、确的是( () )A.aA.a2 2bbb2 2+c+c2 2D.aD.a2 2bb2 2+c+c2 2【解析解析】选选C.C.要想得到要想得到A A为钝角为钝角, ,只需只需cosA0,cosA0,因为因为cosA= ,cosA= ,所以只需所以只需b b2 2+c+c2 2-a-a2 20,0,即即b b2 2+c+c2 2aa2 2. .222bca2bc3.3.补充下面用分析法证明基本不等式补充下面用分析法证明基本不等式 abab的步骤的步骤: :要证要证 , ,只需证只需证a a2 2+b+b2 22ab,2ab,只需证只需证_,_,只需证只需证_._.由于由于_显然成立显然成立,

7、,因此原不等式成立因此原不等式成立. .22ab222abab2【解析解析】要证要证 ab,ab,只需证只需证a a2 2+b+b2 22ab,2ab,只需证只需证a a2 2+b+b2 2-2ab0,-2ab0,只需证只需证(a-b)(a-b)2 20,0,由于由于(a-b)(a-b)2 200显然成立显然成立, ,因此原不等式成立因此原不等式成立. .答案答案: :a a2 2+b+b2 2-2ab0-2ab0(a-b)(a-b)2 200(a-b)(a-b)2 20022ab2【补偿训练补偿训练】当当a2a2时时, ,求证求证: : 【证明证明】要证要证 只需证只需证 只需证只需证 只需

8、证只需证 只需证只需证 a 1aa 1a 2. a 1aa 1a 2 ，a 1a 2aa 1 ， 22a 1a 2aa 1 ，a 1 a 2 2a 1 a 2a a 1 2 a a 1. (a 1) a 2a a 1，只需证只需证(a+1)(a-2)a(a-1),(a+1)(a-2)a(a-1),即证即证-20,-20,而而-20-20,a0,求证求证: : 2211a2a2.aa 【解题指南解题指南】观察到已知条件简单观察到已知条件简单(a0),(a0),而证明的结而证明的结论论 比较复杂，这时我们一般采比较复杂，这时我们一般采用分析法用分析法. .2211( a2a2)aa 【证明证明】要

9、证要证 只要证只要证 因为因为a0,a0,故只要证故只要证 即即 从而只要证从而只要证 2211a2a2,aa 2211a2 a2,aa 222211( a2)(a2 ,aa ）2222221111a4 a4 a22 2(a) 2,aaaa 22112 a2(a),aa只要证只要证即证即证 而上述不等式显然成立而上述不等式显然成立, ,故原不等式成立故原不等式成立. .2222114(a) 2(a2).aa 221a2,a【方法总结方法总结】分析法证明不等式的依据、方法与技巧分析法证明不等式的依据、方法与技巧(1)(1)解题依据解题依据: :分析法证明不等式的依据是不等式的基分析法证明不等式的

10、依据是不等式的基本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论本性质、已知的重要不等式和逻辑推理的基本理论. .(2)(2)适用范围适用范围: :对于一些条件复杂对于一些条件复杂, ,结构简单的不等式的结构简单的不等式的证明证明, ,经常用综合法经常用综合法. .而对于一些条件简单、结论复杂而对于一些条件简单、结论复杂的不等式的证明的不等式的证明, ,常用分析法常用分析法. .(3)(3)思路方法思路方法: :分析法证明不等式的思路是从要证的不分析法证明不等式的思路是从要证的不等式出发等式出发, ,逐步寻求使它成立的充分条件逐步寻求使它成立的充分条件, ,最后得到的最后得到的充分条件是已知充分条

11、件是已知( (或已证或已证) )的不等式的不等式. .(4)(4)应用技巧应用技巧: :用分析法证明数学命题时用分析法证明数学命题时, ,一定要恰当地一定要恰当地用好用好“要证要证”“”“只需证只需证”“”“即证即证”等词语等词语. .【拓展延伸拓展延伸】综合法与分析法证明格式的区别综合法与分析法证明格式的区别(1)(1)综合法是从综合法是从“已知已知”看看“可知可知”逐步推向未知逐步推向未知, ,由由因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件因导果通过逐步推理寻找问题成立的必要条件. .它的证它的证明格式为明格式为: :因为因为, ,所以所以, ,所以所以所以所以成立成立. .(2)(2)分析

12、法证明问题时分析法证明问题时, ,是从是从“未知未知”看看“需知需知”, ,执果执果索因逐步靠拢索因逐步靠拢“已知已知”, ,通过逐步探索通过逐步探索, ,寻找问题成立寻找问题成立的充分条件的充分条件, ,它的证明格式它的证明格式: :要证要证, ,只需证明只需证明, ,只需证只需证因为因为成立成立, ,所以所以成立成立. .【巩固训练巩固训练】1.1.若若a,b,ca,b,c是不全相等的正数是不全相等的正数, ,求证求证: :a bb cc alg lg lg lg a lg b lg c.222【证明证明】要证要证只需证只需证 只需证只需证 ( (中间结果中间结果) )a bb cc al

13、g lg lg lg a lg b lg c,222a b b c c alg() lg(a bc)222，a b b c c aabc.222因为因为a,b,ca,b,c是不全相等的正数是不全相等的正数, ,则则且上述三式中的等号不全成立且上述三式中的等号不全成立, ,所以所以 ( (中间结果中间结果) )所以所以a bb cc aab0,bc0,ca0,222a b b c c aabc.222a b b cc alg lglg lg a lg b lg c.2222.2.已知非零向量已知非零向量ab,ab,求证求证: :2.aba b【解题指南解题指南】本题含有绝对值符号本题含有绝对值符

14、号, ,可用分析法通过变可用分析法通过变形、平方证明形、平方证明. .【证明证明】因为因为ab, ,所以所以ab=0.=0.要证要证 , ,只需证只需证| |a|+|+|b| | |a- -b|,|,平方得平方得| |a| |2 2+|+|b| |2 2+2|+2|a|b| |2(|2(|a| |2 2+|+|b| |2 2-2-2ab),),只需证只需证| |a| |2 2+|+|b| |2 2-2|-2|a|b|0|0成立成立, ,即证即证(|(|a|-|-|b|)|)2 20,0,显然成立显然成立. .故原不等式成立故原不等式成立. .2aba b2类型二类型二分析法证明其他问题分析法证

15、明其他问题【典例典例2 2】求证求证: :以过抛物线以过抛物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦点的弦为直焦点的弦为直径的圆必与直线径的圆必与直线x=- x=- 相切相切. .p2【解题指南解题指南】【证明证明】如图所示如图所示, ,过点过点A,BA,B分别作分别作AA,BBAA,BB垂直准线垂直准线于点于点A,B,A,B,取取ABAB的中点的中点M,M,作作MMMM垂直准线于点垂直准线于点M,M,要要证明以证明以ABAB为直径的圆与准线相切为直径的圆与准线相切, ,只需证只需证|MM|= |AB|.|MM|= |AB|.12由抛物线的定义有由抛物线的定义有|AA|=|AF|,|A

16、A|=|AF|,|BB|=|BF|,|BB|=|BF|,所以所以|AB|=|AA|+|BB|,|AB|=|AA|+|BB|,因此只需证因此只需证|MM|= (|AA|+|BB|).|MM|= (|AA|+|BB|).根据梯形的中位线定理可知上式是成立的根据梯形的中位线定理可知上式是成立的, ,所以以过抛所以以过抛物线物线y y2 2=2px(p0)=2px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线焦点的弦为直径的圆必与直线x=- x=- 相切相切. .12p2【方法总结方法总结】分析法证明问题的两个关键点分析法证明问题的两个关键点(1)(1)利用分析法证明时利用分析法证明时, ,在叙述过程中在叙述过程

17、中“要证要证”“”“只需只需证证”“”“即证即证”这些词语必不可少这些词语必不可少, ,否则会出现错误否则会出现错误. .(2)(2)逆向思考是用分析法证题的主题思想逆向思考是用分析法证题的主题思想, ,通过反推通过反推, ,逐逐步寻找使结论成立的充分条件步寻找使结论成立的充分条件, ,正确把握转化方向正确把握转化方向, ,使使问题顺利获解问题顺利获解. .【巩固训练巩固训练】(2017(2017深圳高二检测深圳高二检测) )已知三角形的三已知三角形的三边长为边长为a,b,c,a,b,c,其面积为其面积为S,S,求证求证: :222abc4 3S.【证明证明】要证要证只需证只需证a a2 2+

18、b+b2 2+(a+(a2 2+b+b2 2-2abcosC)2 absinC,-2abcosC)2 absinC,即证即证a a2 2+b+b2 22absin(C+302absin(C+30),),因为因为2absin(C+302absin(C+30)2ab,)2ab,只需证只需证a a2 2+b+b2 22ab.2ab.显然上式成立显然上式成立. .所以所以a a2 2+b+b2 2+c+c2 24 S.4 S.222abc4 3S,33类型三类型三综合法与分析法的综合应用综合法与分析法的综合应用【典例典例3 3】已知已知a,b,ca,b,c表示表示ABCABC的三边长的三边长,m0,m

19、0,求证求证: :abc.a m b m c m【解题指南解题指南】根据在根据在ABCABC中任意两边之和大于第三边中任意两边之和大于第三边, ,再利用分析法与综合法结合证明不等式成立再利用分析法与综合法结合证明不等式成立. .【证明证明】要证明要证明 只需证明只需证明 即可即可, ,所以所以 因为因为a0,b0,c0,m0,a0,b0,c0,m0,所以所以(a+m)(b+m)(c+m)0.(a+m)(b+m)(c+m)0.abc.a m b mc mabc0a m b m c mabca m b m c ma b m c mb a m c mc a m b ma m b m c m因为因为a

20、(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)a(b+m)(c+m)+b(a+m)(c+m)-c(a+m)(b+m)=abc+abm+acm+am=abc+abm+acm+am2 2+abc+abm+bcm+bm+abc+abm+bcm+bm2 2-abc-bcm-acm-abc-bcm-acm-cmcm2 2=2abm+am=2abm+am2 2+abc+bm+abc+bm2 2-cm-cm2 2=2abm+abc+(a+b-c)m=2abm+abc+(a+b-c)m2 2. .因为因为ABCABC中任意两边之和大于第三边中任意两边之和大于第三边, ,所以所以a+b-c

21、0,a+b-c0,所以所以(a+b-c)m(a+b-c)m2 20,0,所以所以2abm+abc+(a+b-c)m2abm+abc+(a+b-c)m2 20,0,所以所以 abc.a m b mc m【延伸探究延伸探究】1.1.本例增加条件本例增加条件“三个内角三个内角A,B,CA,B,C成等差数列成等差数列”, ,求证求证: :113.a b b ca b c 【证明证明】要证要证 , ,即证即证 即证即证即证即证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c),即证即证c c2 2+a+a2 2=ac+b=ac+b2 2. .因为因为ABC

22、ABC三个内角三个内角A,B,CA,B,C成等差数列成等差数列, ,所以所以B=60B=60. .由余弦定理由余弦定理, ,有有b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-2cacos60-2cacos60, ,即即b b2 2=c=c2 2+a+a2 2-ac.-ac.所以所以c c2 2+a+a2 2=ac+b=ac+b2 2成立成立, ,即命题得证即命题得证. .113a b b ca b c a b ca b c3a bb c ，ca1.a bb c2.2.证明证明: :【证明证明】要证要证 只需证只需证a+b+(a+b)ca+b+(a+b)c(1+a+b)c.(1+a+b)c.即证即证

23、a+bc.a+bc.而而a+bca+bc显然成立显然成立. .所以所以a bc.1 a b1 c a bc,1 a b1 c a bc.1 a b1 c 【方法总结方法总结】综合法、分析法的应用综合法、分析法的应用(1)(1)综合法推理清晰综合法推理清晰, ,易于书写易于书写, ,分析法从结论入手易于分析法从结论入手易于寻找解题思路寻找解题思路. .(2)(2)在实际证明命题时在实际证明命题时, ,常把分析法与综合法结合起来常把分析法与综合法结合起来使用使用, ,称为分析综合法称为分析综合法, ,其结构特点是其结构特点是: :根据条件的结构根据条件的结构特点去转化结论特点去转化结论, ,得到中间结论得到中间结论Q;Q;根据结论的结构特点根据结论的结构特点去转化条件去转化条件, ,得到中间结论得到中间结论P;P;若由若由P P可推出可推出Q,Q,即可得证即可得证. .(3)(3)在实际解决问题中在实际解决问题中, ,先分析由条件能产生什么结论先分析由条件能产生什么结论, ,再分析要产生需要的结论需要什么条件再分析要产生需要的结论需要什么条件, ,逐步探求两者逐步探求两者之间的联系之间的联系, ,寻找解答突破口寻找解答突破口, ,确定解题步骤确定解题步骤, ,然后用综然后用综合法写出解题的过程合法写出解题的过程. .【补偿训