课题学习：黄金分割

1、神奇的神奇的0.618 黄金分割黄金分割 数学缔造完美，梦想从这里开始 探索一探索一 ：建立概念：建立概念 1、以下3张图片，哪张构图最美？ 活动一：初步体会活动一：初步体会 2、芭蕾舞演员做相同的动作，踮脚尖和不踮脚尖，哪个更美？ 活动一：初步体会活动一：初步体会 探索一探索一 ：建立概念：建立概念 活动二：探索交流活动二：探索交流 想一想想一想 观察表格，寻找数据之间的特殊关系：观察表格，寻找数据之间的特殊关系： 构图美的图片 踮脚尖的演员 AB C A C B AC AB BC AC = 探索一探索一 ：建立概念：建立概念 度量C到点A、B的距离, AC ABAC BC 与 相等吗？ C

2、 CB B 探索二探索二 ：建立概念：建立概念 活动三：归纳定义活动三：归纳定义 黄金分割黄金分割 点点C把线段把线段AB分成两条线段分成两条线段AC和和BC，如果，如果 那么称线段那么称线段AB被点被点C黄金分割黄金分割，点，点 C叫做线段叫做线段AB的的黄金分割点黄金分割点，AC与与AB的比称为的比称为 黄金比黄金比. , AC BC AB AC = = A BC 618.01: 2 15 : =ABAC黄金比： 从形式上理解：成比例线段的形式。从形式上理解：成比例线段的形式。 = 较长线段较短线段 原长线段较长线段 从比值上理解：黄金比从比值上理解：黄金比 51 2 =较即长线段原线段

3、0.618原线段 方法总结方法总结 证明线段上的点是线段的黄金 分割点的方法： C AB 如果如果 AC ABAC BC =、，、，那么那么点是线段的点是线段的 黄金分割点。（比例线段）黄金分割点。（比例线段） 5 1 2AC BC = AC AB 5 1 2 、如果或， 那么点是线段的黄金分割点。（比值法） 比一比比一比 东方明珠塔，塔高东方明珠塔，塔高468米，在设计的最初，设计师将塔身设计为米，在设计的最初，设计师将塔身设计为 直线形。后来为了使平直单调的塔身变得丰富多彩，更协调、美观，直线形。后来为了使平直单调的塔身变得丰富多彩，更协调、美观， 设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处，设计

4、一个球体。设计师决定在靠近塔尖的黄金分割点处，设计一个球体。 哪个更美观哪个更美观 上海东方明珠电视塔上海东方明珠电视塔 高高468m,468m,上球体上球体是塔身是塔身 的的黄金分割点黄金分割点, ,它到塔它到塔 底部的距离大约是多底部的距离大约是多 少米少米( (精确到精确到0.10.1m m)?)? 468m468m ? ? 4684680.618289.2m0.618289.2m 悟一悟悟一悟 一条线段有两个黄金分割点。一条线段有两个黄金分割点。 探索四探索四 ：寻找黄金分割点的作法：寻找黄金分割点的作法 1.1.作顶角为作顶角为3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出 底底BCB

5、C与腰与腰ABAB的长度的长度, ,计算计算: : ; ; 2.2.作作B B的平分线的平分线, ,交交ACAC于点于点D,D,量出量出CDCD的长度的长度, , 再计算再计算: : . (. (精确到精确到0.001)0.001) BC AB CD BC 0.6180.618 0.6180.618 顶角为顶角为3636的等腰三角形的等腰三角形底边底边 与腰之比约为与腰之比约为0.618;0.618; 点点D D是线段是线段ACAC的黄金分割点的黄金分割点. . 再作再作CC的平分线的平分线, ,交交BDBD于于E, E, CDECDE也是也是黄金三角形黄金三角形 DD C C A A B B

6、 E E DD 探索五探索五 ：概念拓展之黄金三角形：概念拓展之黄金三角形 C CA A DDE E B B F H GM N 如图如图, ,正五边形正五边形ABCDEABCDE的的5 5条边相等条边相等, , 5 5个内角也相等个内角也相等. . 找找看找找看, ,图中是否有图中是否有黄金三角形黄金三角形? ? 探索五探索五 ：概念拓展之黄金三角形：概念拓展之黄金三角形 如果用图中的虚线表示的矩形画成如图所示的矩形 ABCD，以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD， 那么我们可以惊奇的发现， 。点E是AB的 黄金分割点吗？矩形ABCD的宽与长的比是黄金比吗？ BC BEBC AB =

7、 D F C AEB 探索六：概念拓展之黄金矩形探索六：概念拓展之黄金矩形 巴台农神庙巴台农神庙 想想一一想想 F DC AEB BC BEBC AB = AE ABAE BE = 1.1.点点E E是是ABAB的黄金分割点吗？的黄金分割点吗？ 2.2.矩形矩形ABCDABCD的宽与长的比是的宽与长的比是 黄金比吗？黄金比吗？ BC ABBC BE = 点点E E是是ABAB的黄金分割点的黄金分割点 AE AB （即（即 ）是黄金比）是黄金比 BC AB 矩形矩形ABCDABCD的宽与长的比是黄金比的宽与长的比是黄金比 宽与长的比等于黄金比的矩形也称为宽与长的比等于黄金比的矩形也称为黄金矩形黄

8、金矩形 比例的性质比例的性质BC=AE 探索六：概念拓展之黄金矩形探索六：概念拓展之黄金矩形 巴台农神庙巴台农神庙 （1）支撑点）支撑点C是靠近点是靠近点B的黄金分割点。的黄金分割点。 （2）点）点D是线段是线段AB的靠近的靠近A的黄金分割点的黄金分割点 A B C D 黄金分割之应用大观园黄金分割之应用大观园 黄金分割与音乐黄金分割与音乐 黄黄 金金 分分 割割 与与 建建 筑筑 古希腊的巴台农神庙，在建筑时，古希腊的巴台农神庙，在建筑时， 高和宽也是按黄金比高和宽也是按黄金比0.618来建来建 立。立。 希希 腊腊 巴巴 台台 农农 神庙神庙 文明古国埃及的金字塔，文明古国埃及的金字塔，

9、形似方锥，大小各异。形似方锥，大小各异。 但这些但这些金字塔底面的边金字塔底面的边 长与高这比都接近于长与高这比都接近于0.618. 埃及金字塔埃及金字塔 黄金分割之应用大观园黄金分割之应用大观园 黄黄 金金 分分 割割 与与 艺术艺术 . 世界艺术珍品世界艺术珍品维纳斯维纳斯女女 神神，她的上半身和下半身的她的上半身和下半身的 比比值接近值接近0.6180.618. .这样的身体这样的身体 给人的感觉就是非常的匀称，给人的感觉就是非常的匀称， 充满着美感。充满着美感。 黄金分割之应用大观园黄金分割之应用大观园 黄黄 金金 分分 割割 与与 艺术艺术 蒙娜丽莎的蒙娜丽莎的头和两肩头和两肩在在

10、整幅画面中都完美的体整幅画面中都完美的体 现了现了黄金分割黄金分割，使得这，使得这 幅油画看起来是那么的幅油画看起来是那么的 和谐和完美和谐和完美. . 黄金分割与军事黄金分割与军事 当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候，当发射子弹的步枪刚刚制造出来的时候， 它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不它的枪把和枪身的长度比例很不科学合理，很不 方便于抓握和瞄准。到了方便于抓握和瞄准。到了19181918年，一个名叫年，一个名叫阿尔阿尔 文文约克约克的美远征军将士，对这种步枪进行了改的美远征军将士，对这种步枪进行了改 造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合造，改进后的枪型枪身和枪把的比例恰恰符合

11、 0.6180.618的比例。的比例。 黄金分割与生物黄金分割与生物 黄金分割与人体黄金分割与人体 人体肚脐不但是黄金点美化 身型，有时还是医疗效果黄金点， 许多民间名医在肚脐上贴药治好 了某些疾病。人体最感舒适的温 度，也是正常人体温的黄金点， 这说明医学与0.618有千丝万缕 联系,尚待开拓研究。人体还有 几个黄金点：肚脐上部分的黄金 点在咽喉，肚脐以下部分的黄金 点在膝盖，上肢的黄金点在肘关 节。上肢与下肢长度之比均近似 0.618. 黄金分割之应用大观园黄金分割之应用大观园 黄黄 金金 分分 割割 与与 摄摄 影影 摄影中摄影中4条线的条线的4 个交点是人们视个交点是人们视 觉最敏感的

12、地方。觉最敏感的地方。 在用相机拍摄照在用相机拍摄照 片时，往往把主片时，往往把主 要景色放在要景色放在黄金黄金 分割分割点上。点上。 黄金分割之应用大观园黄金分割之应用大观园 黄黄 金金 分分 割割 与设与设 计计 由黄金分割画出的正五角星形由黄金分割画出的正五角星形,有庄严雄健之美有庄严雄健之美. 黄金分割之应用大观园黄金分割之应用大观园 课堂检测课堂检测 2、据有关测定、据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值当气温处于人体正常体温的黄金比值 时时 , 人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度人体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度 调到什么温度最适合调到什么温度最适合? （人的正常体温约为（人的正常体温约为37 ） （A）（B）（C）（D） 3 1 2 1 3 2 3 3、如何作黄金矩形？（只说做法）、如何作黄金矩形？（只说做法） C AB 1 1、写作业时，要想使写出来的作业看起写作业时，要想使写出来的作业看起