第三章 事故树计算题

1、事故树定量分析一、顶上事件发生的概率一、顶上事件发生的概率1如果如果事故树中不含有重复的或相同的基本事事故树中不含有重复的或相同的基本事件件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件，各基本事件又都是相互独立的，顶上事件发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式发生的概率可根据事故树的结构，用下列公式求得。求得。 用用“与门与门”连接的顶事件的发生概率为：连接的顶事件的发生概率为： 用用“或门或门”连接的顶事件的发生概率为：连接的顶事件的发生概率为： 式中：式中：qi第第i个基本事件的发生概率（个基本事件的发生概率（i=1，2，n）。）。 niiqTP1)(niiqTP1)1 (1)(例如：例如：某

2、事故树共有某事故树共有2个最小割集：个最小割集：E1=X1，X2，E2=X2，X3，X4。已知各基本事件发生的概率为：已知各基本事件发生的概率为：q1=0.5；q2=0.2；q3=0.5；q4=0.5；求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率？+ +T. . .E1E2X2X4X1X2X32121231112234( )1(1)1 (1) (1)1 (1) (1)1 (1) (1)EiEEiiiiiP TPPPqqq qq q q 1223413222412234134( )1 (1)0.5 0.20.2 0.5 0.50.2 0.5 0.5 0.50.125q qqP Tq qq q qqq

3、qq qq q qqq q ( )1 (1 0.5 0.2) (1 0.2 0.5 0.5)0.145P T 2但当事故树含有但当事故树含有重复出现的基本事件重复出现的基本事件时，时，或或基本事件可能在几个最小割集中重复基本事件可能在几个最小割集中重复出现出现时，最小割集之间是相交的，这时，时，最小割集之间是相交的，这时，应按以下几种方法计算。应按以下几种方法计算。最小割集法最小割集法 事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这事故树可以用其最小割集的等效树来表示。这时，顶上事件等于最小割集的并集。时，顶上事件等于最小割集的并集。 设某事故树有设某事故树有K个最小割集：个最小割集：E1、E2、E

4、r、Ek，则有：，则有： 顶上事件发生概率为：顶上事件发生概率为：krrET1krrEPTP1)( 化简，顶上事件的发生概率为：化简，顶上事件的发生概率为： 式中：式中：r、s、k最小割集的序号，最小割集的序号，rsk； i 基本事件的序号，基本事件的序号，1rskk个最小割集中第个最小割集中第r、s两个割集的组合两个割集的组合顺序；顺序；属于第属于第r个最小割集的第个最小割集的第i个基本事件；个基本事件；属于第属于第r个或第个或第s个最小割集的第个最小割集的第i个基个基本事件。本事件。riEx sriEEx1231111( )( 1)irirsikkkkiiirr s kxErxEExEEE

5、EP Tqqq 1231111( )( 1)irirsikkkkiiirr s kxErxEExEEEEP Tqqq 在第三项第三项 “加上每三个最小割集同时发生的概率” （将每三个最小割集并集的基本事件的概率积 相加） ；以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小割集同时发生的概率”公式中的第一项第一项 “求各最小割集E的发生概率的和”（将各最小割集中的基本事件的概率积 相加）；但有重复计算的情况，因此，在第二项第二项中 “减去每两个最小割集同时发生的概率”（将每两个最小割集并集的基本事件的概率积 相加）；还有重复计算的情况，例如：某事故树共有例如：某事故树共有3个最小割集：个最小割

6、集：试用试用最小割集法计算顶事件的发生的概率。最小割集法计算顶事件的发生的概率。E1=X1，X2，X3，E2=X1，X4E3=X3，X5已知各基本事件发生的概率为：已知各基本事件发生的概率为：q1=0.01；q2=0.02；q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率？1231111( )( 1)irirsikkkkiiirr s kxErxEExEEEEP Tqqq 123143512341235134512345( )0.001904872P Tq q qq qq qq q q qq q q qq q q qq q q q qE1=X1，X2，X3，

7、E2=X1，X4E3=X3，X51、列出顶上事件、列出顶上事件发生的概率表达式发生的概率表达式2、展开，消除每个概率积中、展开，消除每个概率积中的重复的概率因子的重复的概率因子qi qi=qi3、将各基本事件的概率值带、将各基本事件的概率值带入，计算顶上事件的发生概率入，计算顶上事件的发生概率如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事如果各个最小割集中彼此不存在重复的基本事件，可省略第件，可省略第2步步最小径集法最小径集法 根据最小径集与最小割集的对偶性，利根据最小径集与最小割集的对偶性，利用最小径集同样可求出顶事件发生的概用最小径集同样可求出顶事件发生的概率。率。 设某事故树有设某事故树有k个

8、最小径集：个最小径集：P1、P2、Pr、Pk。用。用Dr（r=1，2，k）表）表示最小径集不发生的事件，用示最小径集不发生的事件，用表示顶表示顶上事件不发生。上事件不发生。T 由最小径集定义可知，只要由最小径集定义可知，只要k个最小径集个最小径集中有一个不发生，顶事件就不会发生，中有一个不发生，顶事件就不会发生，则：则：krrDT1krrDPTP1)(1 故顶上事件发生的概率：故顶上事件发生的概率：式中：Pr最小径集（最小径集（r=1，2，k）；）；r、s最小径集的序数，最小径集的序数，rs；k最小径集数；最小径集数；（1-qr）第第i个基本事件不发生的概率；个基本事件不发生的概率；属于第属于

9、第r个最小径集的第个最小径集的第i个基本事件；个基本事件；属于第属于第r个或第个或第s个最小径集的第个最小径集的第i个个基本事件基本事件1231111( )11111irirsikkkkiiirr s kxPxPPrxPPPPP Tqqq ripx srippx 第一项 “减去各最小径集P实现的概率的和”（将各最小径集中的基本事件不发生的概率积 相加）；但有重复计算的情况，因此， 第二项 “加上每两个最小径集同时实现的概率”（将每两个最小径集并集中的各基本事件不发生的概率积 相加）；还有重复计算的情况， 第三项 “减去每三个最小径集同时实现的概率” （将每三个最小径集并集的基本事件不发生的概率

10、积 相加） ；以此类推，加减号交替，直到最后一项 “计算所有最小径集同时实现的概率”1231111( )11111irirsikkkkiiirr s kxPxPPrxPPPPP Tqqq 例如：某事故树共有例如：某事故树共有4个最小径集，个最小径集，P1=X1，X3，P2=X1，X5,P3=X3，X4,P4=X2，X4，X5已知各基本事件发生的概率为：已知各基本事件发生的概率为：q1=0.01；q2=0.02；q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05试用试用最小径集法最小径集法求顶上事件发生概率？求顶上事件发生概率？1231111( )11111irirsikkkkiiirr s kxP

11、xPPrxPPPPP Tqqq 131534245135134123451534124523( )1 (1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(P Tqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq 451345123451234512345123451)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)qqqqqqqqqqqqqqqqqqqqq

12、qqqqqP1=X1，X3，P2=X1，X5,P3=X3，X4,P4=X2，X4，X50.0019048721、列出定上事件、列出定上事件发生的概率表达式发生的概率表达式2、展开，消除每个概率积中的重、展开，消除每个概率积中的重复的概率因子复的概率因子(1-qi) (1-qi)=1-qi3、将各基本事件的概率值带、将各基本事件的概率值带入，计算顶上事件的发生概率入，计算顶上事件的发生概率如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事如果各个最小径集中彼此不存在重复的基本事件，可省略第件，可省略第2步步二、基本事件的概率重要度二、基本事件的概率重要度 基本事件的重要度：一个基本事件对顶上事件发基本事件

13、的重要度：一个基本事件对顶上事件发生的影响大小。生的影响大小。 基本事件的基本事件的结构重要度分析结构重要度分析只是按事故树的结构只是按事故树的结构分析各基本事件对顶事件的影响程度，所以，还分析各基本事件对顶事件的影响程度，所以，还应考虑各基本事件发生概率对顶事件发生概率的应考虑各基本事件发生概率对顶事件发生概率的影响，即对事故树进行影响，即对事故树进行概率重要度分析概率重要度分析。事故树的事故树的概率重要度分析概率重要度分析是依靠各基本事件的是依靠各基本事件的概率重要度系数概率重要度系数大小进行定量分析。大小进行定量分析。所谓所谓概率概率重要度分析重要度分析，它表示，它表示第第i个基本事件个

14、基本事件发生的概率发生的概率的变化引起的变化引起顶事件顶事件发生概率变化的程度。发生概率变化的程度。由于顶上事件发生概率函数是由于顶上事件发生概率函数是n个基本事件发生个基本事件发生概率的多重线性函数概率的多重线性函数,对对自变量自变量qi求一次偏导求一次偏导，即可得到该基本事件的概率重要度系数。即可得到该基本事件的概率重要度系数。xi基本事件的基本事件的概率重要度系数概率重要度系数：式中：式中：P（T）顶事件发生的概率；顶事件发生的概率； qi第第i个基本事件的发生概率。个基本事件的发生概率。利用上式求出利用上式求出各基本事件各基本事件的概率重要度系数，的概率重要度系数，可确定降低哪个基本事

15、件的概率能迅速有效地可确定降低哪个基本事件的概率能迅速有效地降低顶上事件的发生概率。降低顶上事件的发生概率。 igqTPiI)(例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小割集：个最小割集：E1=X1，X2，E2=X2，X3。已知各基本事件发生的概率为：。已知各基本事件发生的概率为：q1=0.4；q2=0.2；q3=0.3；排列各基本事件的概率重要度，；排列各基本事件的概率重要度，12231232231131322123( )0.116( )(1)0.16( )(2)0.49( )(3)0.12gggP Tq qq qq q qP TIqq qqP TIqqq qqP TIqq qq(2)(1

16、)(3)gggIII+ +T. .P1P2X2X3X1X2. .四、基本事件的四、基本事件的临界重要度（关键重要度）临界重要度（关键重要度）一般当各一般当各qi不等时，改变不等时，改变qi大的大的Xi较容易，较容易，但但概率重要度系数概率重要度系数并未反映并未反映qi变化。变化。考虑从考虑从本质上反映本质上反映Xi在事故树中的重要在事故树中的重要程度程度。临界重要度临界重要度分析，它表示分析，它表示第第i个基本事件个基本事件发生概率的变化率引起顶事件概率的变发生概率的变化率引起顶事件概率的变化率化率；相比概率重要度，相比概率重要度，临界重要度临界重要度更合理更更合理更具有实际意义。具有实际意义。基本事件的基本事件的临界重要度临界重要度（关键重要度）：（关键重要度）：式中：式中：第第i个基本事件的个基本事件的临界重要度临界重要度；第第i个基本事件的概率重要度；个基本事件的概率重要度； P(T) 顶事件发生的概率；顶事件发生的概率；qi第第i个基本事件发生概率。个基本事件发生概率。 )(TPqiIiIigcg iIcg iIg例如：某事故树共有例如：某事故树共有2个最小割集：个最小割集