电动力学习题解答2

1、 席 w/pr/f 第二章静电场21. 一个半径为R的电介质球，极化强度为P Kr/r，电容率为解：(1)pPK(r/r2)pn (P2P1)er Pr R(2)D内0E PP/(0)fD内P/(0)(3)E内D内/P/(0)(1)计算束缚电荷的体密度和面密度：(2 )计算自由电荷体密度；(3)计算球外和球内的电势；(4 )求该带电介质球产生的静电场总能量2 2 2K(1/r ) r r (1/r ) K/rK/RK/( o)r2D外fdVE外2 er040r0 (KR外E外drr0(0)rR内r E内drRE外dr -11K2(4) WD EdV22(0)2K2R(1)(-)200KR2 e

2、ro)ro r or4 r2dr 12K2R24 r2dr2.在均匀外电场中置入半径为R0的导体球，试用分离变量法求下列两种情况的电势:(1) 导体球上接有电池，使球与地保持电势差(2) 导体球上带总电荷 Q解：(1)该问题具有轴对称性， 对称轴为通过球心沿外电场 极轴，球心为原点建立球坐标系。当R R0时，电势 满足拉普拉斯方程，通解为bn尹E0，Eo方向的轴线，取该轴线为n(anRn因为无穷远处 E所以当aoR0时，0， a1所以即:)Pn(COS )0 E0R cos 0EoRR(cos )E0 ， an0, (n 2)ERoR(cos )b0 / R0 0 ,bnRo 1b1 / R0

3、E0 R0Pn (cos0)0空间各点的电势是点电荷的迭加。设极化电荷产生的电势为 式为：科 W * V -w w 02)所以00b0 R) ( 00 ),ERcosR( 0(R R0)b1E0 R0 , bn30)/ R E0R0 cos0,(n/R2(RR0)(2)设球体待定电势为0，同理可得0E0RCOSR( 030)/ R E0R0 cos/R2(RR0)0(R R0)当 RR0时,由题意，金属球带电量QQ0dS0 (E0 cos_0 2E。cos2)R0 sin d dnR R0R。4 0 R0(00)所以(0 0 )Q/40R00 E0RcosQ/40R (E0R；/R2)cos(

4、RR0)0 Q / 40 R(R R0)3.均匀介质球的中心置一点电荷 Qf，球的电容率为，球外为真空，试用分离变量法求空间电势，把结果与使用高斯定理所得结果比较。提示：空间各点的电势是点电荷 Qf的电势Qf/4 R与球面上的极化电荷所产生的电 势的迭加，后者满足拉普拉斯方程。解：(一)分离变量法Qf的电势Qf /4 R与球面上的极化电荷所产生的电势所以(anRnn(沐时,0时，外内为有限,CnbnanRnPn(COS )由于球对称性,an 0,n电势只与(n 1)内a0，外所以空间各点电势可写成R有关, dn do/R当RRo时，由 内為)Pn(COS )RdnRn0。1 )Pn(COS)舟

5、 Pn(COS ) R所以0,(n1)内 a0 Qf . 4 外 d0. R Q f4外 得：ao d 0 / Ro，它满足拉普拉斯方程。在球坐标系中解的形所以（二）在球外,a。内外Qf-o飞得：両(丄-)oQf ( 14K(TQ f /1oQf odo Qf 1 帀FT，do 仃-)QfQfTRQf4 RQf4 oR应用高斯定理RRo，由咼斯定理得:ds Q总 Qf Qp Qf，的束缚电荷Qp 0 ），所以 E外Qf E外 dR2 dRRr4 oR2在球内，R R0 )置一点电荷Qf，试用分离变量法求空间各点电势，证明所得结果与电象法结果相同。解：以球心为原点，以球心到点电荷的连线为极轴建立

6、球坐标系。将空间各点电势看作由两部分迭加而成。一是介质中点电荷产生的电势1 Qf /4R2 a2 2Racos ，二是球面上的感应电荷及极化面电荷产生的2。后者在球内和球外分别满足拉普拉斯方程。考虑到对称性，2与 无关。由于R 0时，i2n2为有限值，所以球内的anRnF(cos )2解的形式可以写成(1)由于R时，2应趋于零，所以球外的2解的形式可以写成o2鬻巳(COS )(2)nR由于.R2 a22Racos (1/a)(R/a)nR(cos)n1 (Qf/4 a) (R/a)nF(cos)(3)n席 wz呎当R Ro时，内i2(Qf/4 a)(R/a)n P.(cos)anRnF(cos

7、 )(4)当R R0时，外 1 o2(Qf/4 a)(R/a)nPn(cos)Pn(cos ) R(5)(6)R）将（6）代入（4）得:R0Qf/4(7)an(8)式得:(8)将（7）代入（5）并利用将（8）（ 9）分别代入（4） （ 5）得： 内 0（R &）Qfa； 2Racos外24. R2用镜像法求解：设在球内 据边界条件：球面上电势为r R0/a，所以空间的电势为Qr 0处的像电荷为 可得：（解略）%Qf /aQf2bnQfn1/4 an 1(9)(10)R0Qfa,R2 (R/a)2 2Rr0cos /a (R R0)Q由对称性，Q在球心与Qf的连线上,(11)根丄（Q: q丄外

8、4r1 r2 4R2 a2 2RacosR)Qf,(RR2 (R； /a)2 2RF0cos/aR0)9. 接地的空心导体球的内外半径为R1和R2，在球内离球心为a处（a a)，试用电象法求空间电势。解：如图，根据一点电荷附近置一无限大接地导体平板和一点电 荷附近置一接地导体球两个模型，可确定三个镜像电荷的电 量和位置。(Q Q)/4c aQ1Q，r1b2aaez ； Q2-Q，r2bb2 a b ez ；QQabO aQ bQ3 Q， r3bez，所以亠14 0. R2 b2 2Rbcos1: 2 2.R2 b2 2RbcosabR2 :22a Rcos ba4a22 2a Rcos b(0

9、R a)12.有一点电荷Q位于两个互相垂直的接地导体平面所围成的直角空间内，它到两个平面的距离为 a和b， 空间电势。解：用电像法，可以构造如图所示的三个象电荷来代替两导 体板的作用。亠1 40(xx。)2(y a)2(zb)21(xx0)2 (ya)2 (zb)21 Q(X?a,b* za)-、Q(X0,a,b)5Q(Xo, a, b)Q(xo,a, b)(x 冷)2 (y a)2 (z b)2. (x x。)2 (y a)2 (z设有两平面围成的直角形无穷容器，其内充满电导率为(的液体。取该两平面为xz面和yz面在(x0,y0,z0)和(x0, y0, z0)两 点分别置正负电极并通以电流

10、 I，求导电液体中的电势。本题的物理模型是，由外加电源在 A、B两点间建立电场，使 溶液中的载流子运动形成电流I，当系统稳定时，属恒定场，即 / t 0, 方式处理。于是在b)2(y,z 0)13.解:E dSJ 0。对于恒定的电流,A点取包围A的高斯面，则Q/ ，A(xo, yo,zo)可按静电场的B(x, y, Zo)由于I j dS，Q/可得：Q I /同理，对B点有：又，在容器壁上， 容器壁。由j E可知，当jnoQbjnE，所以I / Q0，即无电流穿过0 时，En 0。所以可取如右图所示电像，其中上半空间三个像电荷Q,下半空间三个像电荷 -Q,容器内的电势分布为：4*- -i8Qi

11、1 i4i iri4 (XXo)2(y yo)2(zzo)21i.(xXo)2(yy。)2(zZo)2(xXo)2(yyo)2(zzo)21i(xXo)2(yyo)2(zZo)2(xXo)2(yyo)2(zZo)2ii.(xXo)2(yyo)2i(zZo)2,(xXo)2(yyo)2(zZo)2(xXo)2(yyo)2(z2 Zo)(pi4.画出函数d (x)/dx的图，说明 于原点的偶极子的电荷密度。(x),Xod (x)(xx)(x)dx11mx oXo时,d (x)/dxoo时,a)对于 xo，d (x)limdxx od (x)b)对于 xo，limdxx o0xi) X2) Xx0解

12、：(i)(Pxi图象如右图所示。(P ) (X)/ Xi Px2)(x)是/ X2 Px3/ X3)(X)xdV (p ) (x)xdV (pxi / XiPx2 / X2Px3 / X3) (x)xdV其中第一项为:(PxiPxi)(x)xdV Xi(Xi)Pxi -Xi(Xi) (X2) (X3) (Xiei X2e2 X3e3)dxidx2dx3应用(X2) (X3)(XiX2e2Xig (t) dtd (Xi),ei PxiXidxidxi同理可得另外两项分别为d (xi) x3e3)dxidx2dx3 pXixidxidxiei Pxid Xi (Xi)d t (t)dt(t)，可得

13、:Pxi (Xi)dXieiPxiXi (xi)ei pxiei pxi(x=0)e2 Px2 及 e3Px3，所以,xdV p,即p是一个位于原点的偶极子的电荷密度。极化介质所产生的电势又可表为 两表达式是等同的。证明：由第一种表达式得P(x) rdVP(x)dV 席 w/pr/f 15.证明：(1)(2)(ax)(x)/a (ax (x)00)，(若 a0，结果如何？)证明：1)显然，当 x 0 时，(ax)(x)/a成立；又d(ax) 11(ax)dx(ax)(ax)d(ax)aaa(x)dx 1所以(ax)(x)/a在全空间成立。若a0,(ax)dx(ax)dx(ax)d( ax)1a

14、a即，(ax)(x) / a所以(ax) (x)/a在全空间成立。2)由(X)的选择性证明。x (x): 0 ；时为0，外0所以通解形式为:Pn (cosf()f(F面求fn。2n 12,(00 ,(fnPn(COs/2)/2 )R Pn (cos )sin dR00102n 122 02n 10 Pn (cos )sin d2由于Pn( x)2n 1 fn2当n为偶数时,o当n为奇数时,anfn/RobnfnR0n 1至此,2 0 11 Pn(x)dxo 01)nPn(x)，10Pn(x)dx所以(1)n1o Pn (cos ) sinPn(X)dx10Pn(x)dx2n 12n 1o11Pn 1(x) Pn 1(x)2no Pnn 11) 2dnoR(? ( 1)1(o)Pn1(0)1 3 5 (n 2)(2n2 4 6 (n 1)12 1 3 5 (n 2)2 4 6可写出球内外的电势为