材料力学-刘鸿文 第二章 2-4

1、1. .拉伸与压缩静不定问题概念拉伸与压缩静不定问题概念 所有的未知力均能由静所有的未知力均能由静力平衡方程确定的结构称为力平衡方程确定的结构称为静定结构静定结构。 而仅仅用平衡方而仅仅用平衡方程不能求得所有的未知力的结构程不能求得所有的未知力的结构称为称为静不定结构静不定结构或或超静定结构超静定结构。静定结构静不定结构P2P 1232 210 10 拉压超静定问题拉压超静定问题（1）静力平衡方程力学原有基础2、超静定问题的解法、超静定问题的解法（2）变形协调方程几何灵活思考（3）材料本构方程物理构筑桥梁（4）方程联立求解代数综合把握FNNx012:FNNNPy0123: ()cos变形几何关

2、系（变形协调方程）变形内力关系（物理方程）补充方程P 1N3N2NPA未知力3个；平衡方程只有2个。P2例1 两等直杆与三等直杆的受力分析这个问题就是一次静不定问题。平衡方程:例2 求图示两端固定等直杆的约束反力PabEAEABAPRARB0ABPRR解：几何方程:(),BBPRRabPallE AE A物理方程:代入平衡方程解得:APaRab平衡方程:解除约束,以已知方向约束反力代替BPRll 为得到变形协调方程,解除多余约束，分别考虑外力和多余约束反力产生的位移叠加位移叠加设B为多余约束，此处的实际位移必须为实际位移必须为0PBAlPBAlRRB解得:BPbRab设杆的B段有初始间隙，求约

3、束反力解：几何方程:设外力在B处的位移大于初始间隙BPRll B处的实际位移为初始间隙PBAlPBAlRRBPabEAEABA物理方程:(),BBPRRabPallE AE A解得:例例3 3 木制短柱的四角用四个40404的等边角钢加固，角钢和木材的许用应力分别为1=160M Pa和2=12MPa，弹性模量分别为E1=200GPa 和 E2 =10GPa；求许可载荷P。0421PNNY21LL2222211111LAELNAELNL几何方程物理方程及补充方程：解：平衡方程:P1mPN 24N 1PyPy4N1N2250250 解平衡方程和补充方程，得:111112222211220.0740

4、.724E ANPPE AE AE ANPPE AE A 11107. 0APN求结构的许可载荷： 方法:角钢面积由型钢表查得角钢面积由型钢表查得: : A1 1=3.086=3.086cm222272. 0APN kN104272. 0/1225072. 0/2222AP kN4 .70507. 0/1606 .30807. 0/111APP1mP2502501111122222112244E ANPE AE AE ANPE AE AP1mP250250超静定结构的第一个特点：超静定结构的第一个特点： 超静定结构中杆件的内力按照杆件的刚度超静定结构中杆件的内力按照杆件的刚度占总刚度的比例分配

5、。即：杆的刚度越大，杆占总刚度的比例分配。即：杆的刚度越大，杆件承受的内力越大。件承受的内力越大。例例4 4： 图示悬吊结构图示悬吊结构ABCABC梁刚性，各杆梁刚性，各杆EAEA相同，求各杆内力相同，求各杆内力解：解：1.平衡方程平衡方程120220AMNaNaPa，12220NNP2.几何方程几何方程122 ll 2l1lPACBaal12lN2N1ABCP3.物理方程物理方程1212,N lN lllEAEA 补充方程与平衡方程联立解得补充方程与平衡方程联立解得:12255PPNN；例例5：已知：AE杆为刚性杆，CD杆和BF杆的横截面面积为A，弹性模量为E, 求CD杆、BF杆的内力。(

6、)0m E cos230CBNaNaPa解：解：(1) (1) 平衡方程平衡方程(2) (2) 变形几何方程变形几何方程2CBll cosCCll (3) (3) 补充方程补充方程, , 基本原则：在小变基本原则：在小变 形条件下，形条件下，C C发生垂直位移到发生垂直位移到 CC点；夹角点；夹角 不变不变。PaaABDCaEFlClClCCPABCENCNBBlClC/sinCCNalEA(4) (4) 物理方程物理方程PABCENCNBBlClPaaABDCaEFlClClCCCBBNllEAP 123解：列平衡方程解：列平衡方程1N3N2NPAFNNx012:FNNNPy0123: ()

7、cos(一次静不定)找变形协调关系（几何方程）找变形协调关系（几何方程）213cosLLL 例例6 6：图示结构，三根杆的材料及横截：图示结构，三根杆的材料及横截面积为面积为 试求三杆的轴力。试求三杆的轴力。lllll321,cosAAA123321EEE 123AA,L3 L2物理方程：物理方程：lN lE AiiiiiNNE AE A1311332cos补充方程补充方程： 333113cos21AEAEPN 2113321coscos2AEAEPNN 将物理方程代入几和方程得补充方程将物理方程代入几和方程得补充方程补充方程与平衡方程联立求解得补充方程与平衡方程联立求解得P 1231N3N2

8、NPA找变形协调关系（几何方程）找变形协调关系（几何方程）213cosLLL 这个例题虽然是一个具体问题，但是其求解这个例题虽然是一个具体问题，但是其求解方法具有一般性，由此可归纳出：方法具有一般性，由此可归纳出：求解静不定问题的一般方法求解静不定问题的一般方法2.根据结构的约束条件画变形图根据结构的约束条件画变形图, ,找变形找变形协调关系协调关系, ,列列几何方程几何方程; ;3.由力与变形由力与变形( (或温度与变形或温度与变形) )的物理关系的物理关系, , 列列物理方程物理方程; ;4.联立几何方程与物理方程建立联立几何方程与物理方程建立补充方程补充方程; ;1. .画受力图画受力图

9、, ,列列平衡方程平衡方程, ,判断静不定次数判断静不定次数; ;5.补充方程与平衡方程联立解全部未知力补充方程与平衡方程联立解全部未知力. .平衡方程平衡方程几何方程几何方程物理方程物理方程补充方程补充方程aaaABCDP1.1.先解静不定先解静不定2PaaaABCD2PPRARD平衡方程平衡方程0,Y 30ADRPR几何方程几何方程DPRLL 物理方程物理方程33DPDRP aP aLEAEARaLEA联立以上联立以上4式得式得:33.3,26.7ADRkN RkN例例7：等截面刚杆，已知：横截面积：等截面刚杆，已知：横截面积A=200mm2，P=20kN。许用应力许用应力 =160MPa

10、，弹性模量，弹性模量E=200GPa。 试校核杆的强度。试校核杆的强度。 aaaABCD2PPRARD2.校核杆的强度校核杆的强度画杆的轴力图画杆的轴力图DyN(kN)26.76.733.3最大轴力最大轴力max33.3NkN 3maxmax633.3 10200 10166.5NAMPa相对误差相对误差:166.5 160%1604%5% 结论结论: :杆安全杆安全! !33.3,26.7ADRkN RkN超静定结构的第二个特点：超静定结构的第二个特点：2 211 11 温度应力和装配应力温度应力和装配应力1 1、静定问题无装配应力。制造误差引起的应力称为、静定问题无装配应力。制造误差引起的

11、应力称为装配应力装配应力(misfits or stresses due to assembling)(misfits or stresses due to assembling)。超静定结构在制造误差等变形因素的影响下会引起。超静定结构在制造误差等变形因素的影响下会引起应力。应力。2 2、静定问题无温度应力、静定问题无温度应力(Thermal stresses)(Thermal stresses)变化外变化外界因素的影响下会引起应力。界因素的影响下会引起应力。一、一、温度应力温度应力 在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的制约，当温度改变时，

12、必然要在杆内引起附加应力，由制约，当温度改变时，必然要在杆内引起附加应力，由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。 式中：式中： 为材料的线膨胀系数。为材料的线膨胀系数。 对于无约束的杆件，当温度变化为对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆时，杆件的变形为：件的变形为： 21ttt tlt l 例例8 图图 例例8 8 图示结构，杆图示结构，杆、杆、杆 均相同，当杆均相同，当杆温度升高温度升高 度时，两杆的内力和应力为多少？度时，两杆的内力和应力为多少？ EA t 解（一）解（一）绘受力图如图示（设二杆均受压）绘受力图如图示（设二杆均受压） 121

13、20,2 ,21AMNaNa NN 列平衡方程列平衡方程受力图受力图（二）绘变形几何关系图如图示（二）绘变形几何关系图如图示22Nl 即即 122tNNlll 化简后得化简后得 12222N aN ataEAEA 由图可列出变形几何关系方程由图可列出变形几何关系方程 （三）求解内力和应力（三）求解内力和应力1244552255IIINEAtEtsNEAtEt联立（联立（1）、（）、（2）可解得：）可解得： 121221222NNN aN ataEAEA RARBLTRBLR解：解：1.平衡方程平衡方程 (共线力系共线力系)0,0ABABXRRRR得：(一次静不定一次静不定)2.几何方程几何方程

14、例例10：输热管道：输热管道AB长为长为L，横截面积横截面积A，材料的弹性摸，材料的弹性摸量量E，热膨胀系数为，热膨胀系数为，试试求：当温度升高求：当温度升高T(oC )时时管内的应力。管内的应力。(TRLL温度变形）=（再次变形）ABLLTRBLR3.物理方程物理方程4.补充方程补充方程BR LT LEA ,BRTR LLLT LEA 补充方程与平衡方程联立解得补充方程与平衡方程联立解得:ABRREAT5.温度应力温度应力ATREATETAA两个概念两个概念 温度变形温度变形; ; 再次变形再次变形2.几何方程几何方程(TRLL温度变形）=（再次变形）例例1111： 图示悬吊结构图示悬吊结构

15、ABAB梁刚性，各杆梁刚性，各杆EAEA相同，杆相同，杆3 3短短 求各杆装配应力求各杆装配应力aal123AB1l2l3lN1N2N3AB解：解：1.平衡方程平衡方程12300YNNN，23020AMN aNa，2.几何方程几何方程1232lll 在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。二、二、装配应力装配应力3.物理方程物理方程112233N llEAN llEAN llEA 4.补充方程补充方程3122N lN lN lEAEAEA补充方

16、程与平衡方程联立解得补充方程与平衡方程联立解得:13263EAEANNNll；aal123AB1l2l3lN1N2N3AB 例例12 两杆两杆 EA 相同，水平杆为刚性杆。杆相同，水平杆为刚性杆。杆比设计长比设计长度度 l 短了短了 ，求安装后两杆的内力和应力。，求安装后两杆的内力和应力。例例6 图图 解解：（一）绘受力图，列平衡方程，根据实际情况，杆：（一）绘受力图，列平衡方程，根据实际情况，杆在在 C C 点安装后，点安装后，杆杆受拉，杆受拉，杆受压，受力图如图示。受压，受力图如图示。受力图一受力图一 12120,20,2AMNaNaNNa 根据平衡条件得：根据平衡条件得：（二）绘变形几何

17、关系图如图示（二）绘变形几何关系图如图示122 ll 即：即： 122N lN lbEAEA 根据图可得变形几何关系方程为根据图可得变形几何关系方程为变形几何关系图一变形几何关系图一（三）求解内力和应力（三）求解内力和应力12225555IIIEAENllEAENll联立联立(a)、(b)可得：可得： 1212120,20,22AMNaNaNNaN lN lbEAEA PPPmaxPPPmax应力集中：应力集中：理论应力集中系数理论应力集中系数0maxk max 弹性力学计算弹性力学计算实验测试（光弹性实验实验测试（光弹性实验）2 212 12 应力集中概念 由于结构或功能上的需要，使构件截面

18、尺寸或形状发生突变引起的应力急剧增加的现引起的应力急剧增加的现象。象。 对弹性体某一局部区域的外力系，若用静力等效的力系来代替；则力的作用点附近区域的应力分布将有显著改变，而对略远处其影响可忽略不计。 圣文南圣文南(Saint-Venant)原理原理: 如右图所示，根据现代力学分析方法（有限元计算方法或光弹性测试方法）的研究结果显示：由于在杆端外力作用的方式不同，将会对杆端附近处各截面的应力分布产生影响（应力非均匀分布），而对远离杆端的各个截面，影响甚小或根本没有影响。 Ab； Be； Cp； Ds选择题：选择题：1、危险截面是_所在的截面。A.最大面积； B最小面积； C 最大应力； D 最大内力2、低碳钢整个拉伸过程中，材料只发生弹性变形的应力范围是不超过_。B.名义屈服极限0.23、没有明显屈服平台的塑性材料，其破坏应力取材料的 。A.比例极限p4、杆件的刚度是指 。B. 杆件的承载能力D. 杆件对弹性变形的抵抗能力C. 杆件对弯曲变形的抵抗能力C. 强度极限bD. 根据需要确定A. 杆件的软硬程度；CBBD5、用截面法时必须保留杆件_。A. 位于截面左边的部分；B. 位于截面右边的部分；C. 位于截面左、右两边哪一部分都可以；D. 统一的某一部分。Ds6、低碳钢整