第03章 平面问题的直角坐标解答part2

1、3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答多项式解答多项式解答3 3、取应力函数为三次式：、取应力函数为三次式：f f= =ay3显然，不论各系数取何值，相容方程显然，不论各系数取何值，相容方程(2-25)(2-25)总能满足；总能满足；代入方程代入方程(2-24)(2-24)求得应力分量：求得应力分量： s sx= = 6ay ，s sy = =0 ，t txy= =t tyx= = 0代入应力边界条件方程代入应力边界条件方程(2-15)(2-15)，求得各边界上面力分，求得各边界上面力分布如下：布如下：0, 0yxff上边界：上边界： 下边界：下边界：左边界：左边界：

2、右边界：右边界：0, 0yxff0,6yxfayf0,6yxfayf3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答多项式解答多项式解答结论：结论：（1 1）上下边界）上下边界无面力；无面力；（2 2）左右边界为线性水平面力，并能合成为一个力偶，）左右边界为线性水平面力，并能合成为一个力偶，因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。因而能解决矩形梁受纯弯曲的问题。0, 0yxff上边界：上边界： 下边界：下边界：左边界：左边界：右边界：右边界：0, 0yxff0,6yxfayf0,6yxfayf3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答多项式解答多项式解答4 4、如

3、果应力函数取四次或四次以上的多项式，、如果应力函数取四次或四次以上的多项式，则其中的系数必须满足一定的条件，才能满足则其中的系数必须满足一定的条件，才能满足相容方程。相容方程。( (思考题：当应力函数取四次多项式思考题：当应力函数取四次多项式ax4 + bx3y + cx2y2 + dxy3 + ey4，求其满足相容方程的条件）求其满足相容方程的条件）3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答半逆解法半逆解法 (1) (1)对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的对于给定的弹性力学问题，根据弹性体的几何形状、几何形状、受力特征和变形的特点或已知的一些简单结论受力特征和变形的特

4、点或已知的一些简单结论，如材料力学得，如材料力学得到的初等结论，假设到的初等结论，假设部分或全部应力分量的函数形式部分或全部应力分量的函数形式；半逆解法：半逆解法：yxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222ftfsfs (2) (2)按式按式(2-24)(2-24)，由应力反推出应力函数，由应力反推出应力函数f f的一般形式（含的一般形式（含待定函数项）；待定函数项）； (3) (3)将应力函数将应力函数f f代入代入相容方程进行校核，解出应力函数相容方程进行校核，解出应力函数f f的具体表达形式；的具体表达形式；024422444yyxxfff3.2 逆解法与半

5、逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答半逆解法半逆解法 (5) (5)校核全部全部应力边界条件（对于多连体，还须满足校核全部全部应力边界条件（对于多连体，还须满足位移单值条件），由此确定未知函数中的待定参数。位移单值条件），由此确定未知函数中的待定参数。如果全部边界条件都能满足，则所得出的解就是正确解如果全部边界条件都能满足，则所得出的解就是正确解答，否则要重新假设应力分量，重复上述过程，重新求解。答，否则要重新假设应力分量，重复上述过程，重新求解。 (4)(4)将应力函数将应力函数f f代入代入式式(2-24)(2-24)，由应力函数求得应力分量，由应力函数求得应力分量yxyxyfx

6、yxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222ftfsfs3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答半逆解法半逆解法逆解法和半逆解法的求解过程带有逆解法和半逆解法的求解过程带有“试算试算”的性质的性质，显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法，显然弹性力学解的唯一性定理是逆解法和半逆解法的理论依据。的理论依据。3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题例例1：习题：习题33解：按逆解法解：按逆解法 1 1、将、将f f代入相容方程，可知其是满足的。因此，它代入相容方程，可知其是满足的。因此，它有可能成为该问题的解。有可能成为该

7、问题的解。2 2、将、将f f代入式（代入式（2 22424），得出应力分量：），得出应力分量：)41 (23),(0),(12),(22222322hyhFyxyxyfxyxhFxyxfyyxxyyyxxftfsfs3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题3 3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：0, 0,2xyyhyts在主要边界上：在主要边界上：因此，在因此，在y= =h/2的边界面上，反推出面力如下：的边界面上，反推出面力如下：0, 0yxff在在x=0,=0,l的次要边界上，反推出面力如下：的次要边界上，

8、反推出面力如下：)41 (23)(, 0)(, 02200hyhFffxxxyyxxxts)41 (23)(,12)(,223hyhFfyhFlflxlxxyylxxxts)41 (23, 0,12223hyhFhFxyxyyxtss3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题各边界面上的面力分布如图所示：各边界面上的面力分布如图所示：)41 (23,12,)41 (23, 0, 00, 0,222322hyhFfyhFlflxhyhFffxffhyyxyxyx3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题在在x=0的次要边界上，进一步求出

9、面力主失量和主矩如下：的次要边界上，进一步求出面力主失量和主矩如下：202202202()0()()0hhNxxhhSyxhhxxFfdyFfdyFMfydy)41 (23, 0, 022hyhFffxyx3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题在在x= =l的次要边界上，进一步求出面力的主失量和主矩如下：的次要边界上，进一步求出面力的主失量和主矩如下：)41 (23,12,223hyhFfyhFlflxyxFlydyfMFdyfFdyfFhhlxxhhlxyShhlxxN222222)()(0)(3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答

10、例题例题在在x=0,=0,l的次要边界上，面力的主失量和主矩如下图：的次要边界上，面力的主失量和主矩如下图：结论：对于如图所示矩形板和坐标系，当应力函数取结论：对于如图所示矩形板和坐标系，当应力函数取上述函数时，可知上边、下边无面力；而左边界上受上述函数时，可知上边、下边无面力；而左边界上受铅直面力；右边界上有按线性变化的水平面力，它可铅直面力；右边界上有按线性变化的水平面力，它可合成为一力偶；同时该边界上还有铅直面力。所以，合成为一力偶；同时该边界上还有铅直面力。所以，该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力该应力函数可解决悬臂梁在自由端受集中力F作用的作用的问题。问题。3.2 逆解法与半逆解

11、法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题例例2：习题：习题34解：按逆解法解：按逆解法 1、将将f f代入相容方程，可知其是满足的。代入相容方程，可知其是满足的。2、将将f f代入式（代入式（2-24），得出应力分量：），得出应力分量：)4(6),() 134(2),(5346),(22323322333222yhhqxyxyxhyhyqyfxyxhqyhqyhyqxxfyyxxyyyxxftfsfs3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题3 3、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：、由边界形状和应力分量反推出边界上的面力：0)(, 0)(,)(2

12、22hyxyhyyhyyqtss在主要边界在主要边界y=h/2上：上：因此，在因此，在y= =h/2的边界面上面力为：的边界面上面力为：0, 02, 02yxyxffhyqffhy：233223333643436,(1),()524xyxyqx yqyqyqyyqx hyhhhhhhsst 3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题在在x=0,=0,l的次要边界上：的次要边界上：0)(,534)(, 00330 xxyyxxxfhqyhqyfxts)4(6)(,5346)(,2233332yhhqlfhqyhqyhyqlflxlxxyylxxxts3.2 逆解法与

13、半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题在在x=0的次要边界上，面力主失量和主矩如下：的次要边界上，面力主失量和主矩如下：0)(0)(0)(220220220hhxxhhxyShhxxNydyfMdyfFdyfF0)(,534)(, 00330 xxyyxxxfhqyhqyfxts3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题在在x= =l的次要边界上，面力的主失量和主矩如下：的次要边界上，面力的主失量和主矩如下：2)()(0)(2222222qlydyfMqldyfFdyfFhhlxxhhlxyShhlxxN)4(6)(,5346)(,2233332

14、yhhqlfhqyhqyhyqlflxlxxyylxxxts3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答例题例题结论：对于如图所示矩形板和坐标系，当应力函数取结论：对于如图所示矩形板和坐标系，当应力函数取上述函数时，可知：上述函数时，可知：（1 1）左边、下边无面力；）左边、下边无面力；（2 2）上边界上受向下的均布面力；）上边界上受向下的均布面力；（3 3）右边界上有水平面力，它可合成为一力偶；）右边界上有水平面力，它可合成为一力偶；同时该边界上还有铅直面力。同时该边界上还有铅直面力。所以，该应力函数可解决右端为固定约束的悬臂所以，该应力函数可解决右端为固定约束的悬臂梁在

15、上边界受均布向下荷载梁在上边界受均布向下荷载q作用的问题。作用的问题。3.2 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答课后作业课后作业作业作业1：已知函数已知函数f f= =a(x4 -y4)，试校核它能否作为应力函试校核它能否作为应力函数？若能，试求出应力分量（数？若能，试求出应力分量（不计体力不计体力），并结合如），并结合如图所示矩形薄板图所示矩形薄板 ( l h ) ，考察该应力函数能解决什，考察该应力函数能解决什么样的受力问题？么样的受力问题？q 弹性力学的基本任务与基本原理弹性力学的基本任务与基本原理q 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答q 矩形

16、梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 简支梁受均匀分布荷载简支梁受均匀分布荷载q 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力主要内容主要内容3.3 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲 问题的提出问题的提出问题：问题：矩形截面长梁（矩形截面长梁（ l h），），宽度远小于深度和长宽度远小于深度和长度（近似于平面应力问题），或者远大于深度和长度（近度（近似于平面应力问题），或者远大于深度和长度（近似于平面应变问题），两端受相反的力偶作用而弯曲，体似于平面应变问题），两端受相反的力偶作用而弯曲，体力不计。（设梁宽为单位宽度力不计。（设梁宽为单位宽度1，每单位宽度上力偶的矩，每单位宽

17、度上力偶的矩为为M，量纲与力的量纲相同），量纲与力的量纲相同）3.3 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲解：以平面应力问题为例，且为单连体，按逆解法求解解：以平面应力问题为例，且为单连体，按逆解法求解求得应力分量：求得应力分量： s sx= = 6ay ，s sy = =0 ，t txy= =t tyx= = 0024422444yyxxfffyxyxyfxyxxfyyxxyyyxx),(,),(,),(22222ftfsfs(1)假定应力函数：假定应力函数：由上一节可知，当应力函数为三由上一节可知，当应力函数为三次式次式 f f= =ay3 时，时，能解决矩形梁受纯弯曲的问题。该应力能解决矩形梁受

18、纯弯曲的问题。该应力函数满足相容方程函数满足相容方程(2-25)(2)求应力分量：求应力分量：代入方程代入方程(2-24)(2-24)3.3 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲(3)考察应力分量是否满足边界条件？原则是：考察应力分量是否满足边界条件？原则是：a. 先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力先校核主要边界（大边界），必须精确满足应力边界条件边界条件(2-15)；b. 后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应后校核次要边界（小边界），若不能精确满足应力边界条件力边界条件(2-15)，则应用圣维南原理，用积分应，则应用圣维南原理，用积分应力边界条件代替。力边界条件代替。3.3 矩形梁的纯

19、弯曲矩形梁的纯弯曲对于主要边界对于主要边界 y = =h/2 没有面力作用，代入应力边界条件没有面力作用，代入应力边界条件(2-15)(2-15)，得主要边，得主要边界处界处 s sy = =0 ，t txy= = 0。由于梁内应力分量分布为由于梁内应力分量分布为s sx= = 6ay ，s sy = =0 ，t txy= =t tyx= = 0，显然上述条件成立。显然上述条件成立。3.3 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲左右两次要边界：左右两次要边界：(a): :没有切向面力作用，代入应力边界没有切向面力作用，代入应力边界条件条件(2-15)(2-15)，得，得 t txy= = 0，这也能满足

20、。这也能满足。因为所有各点均有上述条件成立。因为所有各点均有上述条件成立。(b): :对于对于s sx其应力边界条件不能精确满其应力边界条件不能精确满足，须应用圣维南原理，由两个积分边足，须应用圣维南原理，由两个积分边界条件代替，即有界条件代替，即有Mydydyhhlxxhhlxx22,022,0)(,0)(ss将应力分量代入，可得将应力分量代入，可得32hMa 从而有从而有0,123xyxyyxyIMyhMttsss sx= =6ay , s sy= =0, t txy= =03.3 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲与材料力学中解答完全相同，与材料力学中解答完全相同，即各纤维只受按直线分布的弯应

21、即各纤维只受按直线分布的弯应力。如左图所示力。如左图所示当组成力偶的面力按左图所示当组成力偶的面力按左图所示的直线分布时，上述解答是完全的直线分布时，上述解答是完全精确的；否则应力分布有误差。精确的；否则应力分布有误差。但是根据圣维南原理，只在两端但是根据圣维南原理，只在两端附近有显著误差，而离开两端较附近有显著误差，而离开两端较远处，误差可以不计。远处，误差可以不计。0,123xyyxyIMyhMtss3.3 矩形梁的纯弯曲例题矩形梁的纯弯曲例题例题（习题例题（习题3-6）：）：如图如图3-11所示的墙，高度为所示的墙，高度为 h 远远大于宽度大于宽度 b，在两侧受均布剪力在两侧受均布剪力q

22、的作用，体力不计的作用，体力不计。试用如下应力函数求解应力分量。试用如下应力函数求解应力分量。yBxAxy33.3 矩形梁的纯弯曲例题矩形梁的纯弯曲例题解：本题属于解：本题属于逆解法的第二种应用：应力函数含待定参逆解法的第二种应用：应力函数含待定参数，面力已知。数，面力已知。（1）考察所假设的应力函数是否满足相容方程）考察所假设的应力函数是否满足相容方程经验证，它是满足相容方程的。经验证，它是满足相容方程的。000024422444yyxxfff3.3 矩形梁的纯弯曲例题矩形梁的纯弯曲例题（2）由应力函数求应力分量由应力函数求应力分量（3）考察边界条件，求待定系数）考察边界条件，求待定系数)3

23、(),(6),(0),(222222BxAyxyxBxyyfxyxxfyyxxyyyxxftfsfsqbxxybxx2/2/)(0)(ts在主要边界在主要边界 x=b/2上，应精确满足式（上，应精确满足式（2 2-15-15）：）：)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyxstts第一式自然满足，由第二式有：第一式自然满足，由第二式有：qbBA2)2(33.3 矩形梁的纯弯曲例题矩形梁的纯弯曲例题在在次要边界次要边界y=0=0上上，应用圣维南原理，用三个积分边，应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：界条件代替：0)3()(0)6()(0)6()(220222022022022022

24、0bbybbyxybbybbyybbybbyydxBxAdxxdxBxyxdxdxBxydxtss前两式自然满足，由第三式得前两式自然满足，由第三式得：0413BbAbqbBA2)2(3结合前面方程结合前面方程：222bqBqA解得解得：22262120 xbqqxybqxyyxtss3.3 矩形梁的纯弯曲例题矩形梁的纯弯曲例题例题：习题例题：习题37解：按逆解法解：按逆解法 1 1、将、将f f代入相容方程，可知其是满足的。代入相容方程，可知其是满足的。2 2、将、将f f代入式（代入式（2 22424），得出应力分量：），得出应力分量：)3(),(0),(662),(222222DyAyx

25、yxyfxyxDxyCyBxfyyxxyyyxxftfsfs3.3 矩形梁的纯弯曲例题矩形梁的纯弯曲例题3 3、考察边界条件、考察边界条件0)(, 0)(22hyxyhyyts在主要边界上，应精确满足式（在主要边界上，应精确满足式（2 21515）：）：第一式自然满足，由第二式有第一式自然满足，由第二式有：043)(22DhAhyxyt（a）)3(06622DyADxyCyBxyyxtss)()()()(sfmlsfmlysyxyxsxyxstts3.3 矩形梁的纯弯曲例题矩形梁的纯弯曲例题在在次要边界次要边界x=0=0上上，只给出了面力的主失量和主矩，只给出了面力的主失量和主矩，应用圣维南原

26、理，用三个积分边界条件代替：应用圣维南原理，用三个积分边界条件代替：由此得由此得：ShhxxyhhxxNhhxxFdyMydyFdy2/2/02/2/02/2/01)(1)(1)(tssSNFDhAhhMChFB334122（b）)3(6622DyADxyCyBxyxts3.3 矩形梁的纯弯曲例题矩形梁的纯弯曲例题结合（结合（a a）、（）、（b b）求解：求解：代入应力分量，得代入应力分量，得：SFDhAhDhA32410433223hFDhFASS)41 (23)623(01212222333yhhFyhFhFxyhFyhMhFSSSxyySNxtss3.3 矩形梁的纯弯曲例题矩形梁的纯弯

27、曲例题如果区域内的平衡微分方程和相容方程已如果区域内的平衡微分方程和相容方程已经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应经满足，且除了最后一个小边界外，其余的应力边界条件也都分别满足。则可以推论出，最力边界条件也都分别满足。则可以推论出，最后一个小边界上的三个积分应力边界条件（即后一个小边界上的三个积分应力边界条件（即主失量和主矩条件）必然是满足的。主失量和主矩条件）必然是满足的。q 弹性力学的基本任务与基本原理弹性力学的基本任务与基本原理q 逆解法与半逆解法、多项式解答逆解法与半逆解法、多项式解答q 矩形梁的纯弯曲矩形梁的纯弯曲q 位移分量的求出位移分量的求出q 简支梁受均匀分布荷载简支梁受均

28、匀分布荷载q 楔形体受重力和液体压力楔形体受重力和液体压力主要内容主要内容3.4 位移分量的求解位移分量的求解本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应本节所解决的问题：按应力求解时，如果已求出应力，如何求位移？力，如何求位移？ 以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移分量以矩形梁的纯弯曲为例，由应力分量求解位移分量1、假定考虑平面应力问题、假定考虑平面应力问题。首先将上节所求应力分。首先将上节所求应力分量代入物理方程量代入物理方程(2-12)xyxyxyyyxxEEEtssss)1(2)(1)(10 xyyxyEIMyEIM0 xyyxyIMtss3.4 位移分量的求解位移分量的求解2 2

29、、将应变分量代入平面问题的几何方程、将应变分量代入平面问题的几何方程(2-8)(2-8)：0,xyyxyuxvyEIMyvyEIMxu前两式分别积分，可得前两式分别积分，可得)(2, )(221xfyEIMvyfxyEIMu代入第三式，并整理可得代入第三式，并整理可得xEIMdxxdfdyydf)()(213.4 位移分量的求解位移分量的求解等式左右两边分别为等式左右两边分别为 y 和和 x 的函数，要想对于所有的的函数，要想对于所有的 y 和和 x 均成立，只可能两边都等于同一常数均成立，只可能两边都等于同一常数w w：xEIMdxxdfdyydf)()(21wxEIMdxxdfdyydf)

30、()(21分别积分，可得分别积分，可得022012)(,)(wwxxEIMxfuyyf3.4 位移分量的求解位移分量的求解代入位移分量公式，并整理可得代入位移分量公式，并整理可得其中表示刚体位移量的常数其中表示刚体位移量的常数u0 ， 0 和和 w w ，须由约束条，须由约束条件确定。件确定。022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu(d)3.4 位移分量的求解位移分量的求解对于同一个截面，对于同一个截面， x 为常量，因此上式也是常量。于为常量，因此上式也是常量。于是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截是可见，同一截面上的各垂直线段的转角相等，即截面仍然保持为平面。面仍然保

31、持为平面。由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求由位移分量的公式，可知不论约束条件如何，可求得得垂直线段的转角垂直线段的转角为为由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求由位移分量第二式，可知不论约束条件如何，可求得得梁的各纵向纤维的曲率梁的各纵向纤维的曲率是是就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。就是材料力学中求梁的挠度时所用的基本公式。wxEIMyu0uyxyEIMuwEIMx22102222wxxEIMyEIMv3.4 位移分量的求解位移分量的求解分两种约束情况讨论：分两种约束情况讨论：简支梁和悬臂梁简支梁和悬臂梁。下面根据约束条件来确定位移分量中的刚体位移下面根据约束条件来

32、确定位移分量中的刚体位移常数常数u0 ， 0 和和w w 。3.4 位移分量的求解位移分量的求解1、简支梁的约束条件为、简支梁的约束条件为:0)(,0)(, 0)(0,0, 00, 0ylxyxyxu将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得将位移分量代入上述约束条件，可求出三个常数，代回得22)(2,)2(yEIMxxlEIMvylxEIMu(3-3)022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu3.4 位移分量的求解位移分量的求解2、悬臂梁、悬臂梁其左端自由，右端完全固定。在梁的右端，对于任其左端自由，右端完全固定。在梁的右端，对于任何何 y 值要求两个位移均为值要求两个位移

33、均为0。在多项式解答中，此条件。在多项式解答中，此条件是无法满足的。实际工程上，这种完全固定的约束条件是无法满足的。实际工程上，这种完全固定的约束条件也是不大可能实现的。为此，与材料力学中一样，也是不大可能实现的。为此，与材料力学中一样，假设假设右端截面的中点不移动，该点的水平线段不转动右端截面的中点不移动，该点的水平线段不转动。022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu3.4 位移分量的求解位移分量的求解根据上述分析，对于根据上述分析，对于悬臂梁悬臂梁，其约束条件为，其约束条件为0)(, 0)(, 0)(0,0,0,ylxylxylxxu222)(2,)(yEIMxlEIMvyxlEIMu(3-4)可求出三个常数，代回可得可求出三个常数，代回可得0, 02, 0020wwlEIMllEIMu将位移分量代入上述约束条件将位移分量代入上述约束条件022022wwxxEIMyEIMvuyxyEIMu3.4 位移分量的求解位移分量的求解以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分量以上是以平面应力问题为例推导了相应的应变分量和位移分量解。对于和位移分量解