电子科技大学随机过程第一章

1、电子科技大学21.7.311.1 随机过程定义及分布随机过程定义及分布 随机过程随机过程 概率论的概率论的“动力学动力学”部分，部分，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，即它的研究对象是随时间演变的随机现象，它是从多维随机变量向一族它是从多维随机变量向一族( (无限多个无限多个) )随机随机变量的推广。变量的推广。 一随机过程定义一随机过程定义电子科技大学21.7.31 给定一随机试验给定一随机试验E，其样本空间为，其样本空间为，将，将样本空间中的每一元样本空间中的每一元 作如下对应：作如下对应：( ), ( ),XY12( ),( ),( ),nXXX12( ),( ),),XX( ),X

2、( ( , ) (,),Xt t 一维随机变量一维随机变量X二维随机变量二维随机变量( (X,Y)n维随机变量维随机变量( (X1,X2,.Xn)随机序列随机序列X1, X2, .随机过程随机过程 Xt , tR电子科技大学21.7.31为为(, F, P)上的一个随机过程上的一个随机过程. .RT 定义定义1.1.1 设设(,F, P)是概率空间是概率空间, ,若若对每个对每个tT,)(tX 是概率空间是概率空间(, F, P)上的上的随机变量随机变量, , )(TtXt 则称随机变量族则称随机变量族注注 称称T是是参数集参数集( (或或指标集指标集、参数空间参数空间) )当当T=(1,2,

3、 ，n),),(, )(21ntXXXTtX 随机向量随机向量电子科技大学21.7.31当当T=(1,2, , n,),),(, )(21XXTtXt 时间序列时间序列当当T=(x, y):axb, cyd), )(TtXt 平面随机场平面随机场 随机过程是随机过程是n 维随机变量，随机变量序列的维随机变量，随机变量序列的一般化一般化, ,是随机变量是随机变量X t , , 的集合的集合. .Tt 用用E表示随机过程表示随机过程 的值域的值域, ,称为过称为过程的程的状态空间状态空间. . TtXt ,当当T=0,+), 0, )(, )(） tXTtXtt 随机过程随机过程电子科技大学21.

4、7.31xXt tX称事件称事件“”为在时刻为在时刻 t 时随机过程时随机过程处于状态处于状态x 按状态空间和参数集的不同情况按状态空间和参数集的不同情况, 可将随机可将随机过程分为四类过程分为四类, 列入下表列入下表参数集参数集 T离离 散散连连 续续状态空状态空间间E离离 散散（离散参数）链（离散参数）链（连续参数）链（连续参数）链非离非离散散随机序列随机序列随机过程随机过程随机过程随机过程电子科技大学21.7.31 Ex.1.1.1 质点布朗运动质点布朗运动 设质点在直线上设质点在直线上随机游动随机游动, 经随机碰撞后各以经随机碰撞后各以1/2的概率向左的概率向左或向右移动或向右移动.若

5、经无穷多次碰撞若经无穷多次碰撞，次次碰碰撞撞后后向向右右第第，次次碰碰撞撞后后向向左左第第记记)(2)(1nnnn 随机变量序列随机变量序列 问题：问题：如何描述质点的运动过程？如何描述质点的运动过程？电子科技大学21.7.31)1,2,(. 1,;, 1)()(2)(1 nXnnn则则 描述了质点的随机运动描述了质点的随机运动. 1,2,: nXn其参数集其参数集T =1,2, 状态空间状态空间E=1, 1.随机过程的理解随机过程的理解,:),( TttT为集合为集合T 与与的的积集积集. .称称电子科技大学21.7.31 随机过程随机过程 可看成定义在积集可看成定义在积集 上的二元函数：上

6、的二元函数： )(tX T 1)当固定当固定 是一个定义是一个定义在（在（, F, P）上的随机变量）上的随机变量；,Tt )(tX 2) 定义定义1.1.2 当固定当固定 ( (对于特定的试对于特定的试验结果验结果), ), 是一个定义在是一个定义在T 上的普通函数上的普通函数( (自变量为自变量为t t).).称为随机过程称为随机过程 的一个的一个样本函数样本函数.0 )(0tx),(TtXt 也称也称轨道轨道, ,路路径径, ,现实现实电子科技大学21.7.31Xt1()Xt2()xt (1)xt (2)xt (3)t1t2tnt 注注: 一个样本函数可看成是对随机过程一个样本函数可看成

7、是对随机过程的一次具体观察结果的一次具体观察结果. 电子科技大学21.7.31 对某城市的气温进行对某城市的气温进行 n 年的连续观察年的连续观察, ,用用Xt表示表示t t时刻的温度，是与时间时刻的温度，是与时间t t有关的随机变量，有关的随机变量，随机过程反映了该城市气温在随机过程反映了该城市气温在n n年中的变化规律。年中的变化规律。0,ntXt 此例中样本函数是什么？此例中样本函数是什么？气温气温曲线曲线电子科技大学21.7.31 (布朗运动布朗运动) 漂浮在液面的微小粒子漂浮在液面的微小粒子,不断进行不断进行杂乱无章的运动杂乱无章的运动.这种运动是由于大量随机的、这种运动是由于大量随

8、机的、相互独立的分子碰撞的结果相互独立的分子碰撞的结果. 用用(Xt, Yt)表示表示t 时时刻粒子的位置刻粒子的位置, 由于运动的无规则性由于运动的无规则性, 当时间当时间 t 改改变时变时Xt 和和Yt 都是随机变量都是随机变量, 二维随机过程二维随机过程(Xt, Yt), t 0描述了粒子的运动过程描述了粒子的运动过程.此例中样本此例中样本函数是什么？函数是什么？-40-20020406080100120-100102030405060708090粒子运动轨迹粒子运动轨迹电子科技大学21.7.31 Ex.1.1.2 Xt() = cos(t+), U(0, 2) 2 = 1.91643

9、= 2.60991 =5.4938样本函数的几个例子样本函数的几个例子电子科技大学21.7.31 Ex.1.1.3 独立重复抛一个均匀硬币，定义独立重复抛一个均匀硬币，定义一个随机过程如下一个随机过程如下 ., 1;, 1次次出出现现反反面面第第次次出出现现正正面面第第nnXn nEEE21，次出现反面次出现反面第第，次出现正面次出现正面第第)(2)(1nnnn 解解 将抛第将抛第n 次硬币的试验记为次硬币的试验记为En , 过程试验过程试验为无穷维积集为无穷维积集记记本题中本题中T, E ， ，样本函数分别是什么？，样本函数分别是什么？电子科技大学21.7.31), 2 , 1(,)(2)(

10、1 nnnn n 21, 2 , 1,:),()()()2()1( nnnn 则第则第n次试验对应的样本空间是次试验对应的样本空间是则该随机过程的样本空间为无穷维乘积空间则该随机过程的样本空间为无穷维乘积空间该过程有无穷条样本函数该过程有无穷条样本函数. 如图如图电子科技大学21.7.3112345-1167是对应是对应的样本点的样本点),(),()()2()1(正正反反正正正正反反反反正正 n 的一条样本函数的一条样本函数(1,1,1, 1, 1,1, 1,) 电子科技大学21.7.31 Ex.1.1.4 抛抛一次一次硬币定义一个随机过程如下硬币定义一个随机过程如下.,2,cosRtttXt

11、 出出现现反反面面出出现现正正面面； 设出现正反面的概率相同设出现正反面的概率相同 , 写出写出 X t 的所有的所有样本函数样本函数.解解记记 1= 出现正面出现正面,2= 出现反面出现反面,则则X t 的所有样本函数为两条的所有样本函数为两条xt(1)= cost,和和 xt(2)= 2t.电子科技大学21.7.311234( )X t1()tx2()txt子系统子系统1输出输出xt (1) =cost子系统子系统2输出输出xt (2) =2t输入输入随机开关系统随机开关系统 电子科技大学21.7.31二随机过程的分布二随机过程的分布、分布函数、分布函数, )(RxxXPxFtt ),(T

12、tXt 定义定义1.1.3 随机过程随机过程 , 对任意对任意 tT, 随机变量随机变量Xt()的分布函数为的分布函数为,:)(RxTtxFt ),(TtXt 称称 为随机过程为随机过程的一维分布函数族的一维分布函数族.要了解随机过程的演变规律，需描述过程要了解随机过程的演变规律，需描述过程对应的这族随机变量的统计特性对应的这族随机变量的统计特性电子科技大学21.7.31注注 一维分布函数描述了随机过程在各个孤立一维分布函数描述了随机过程在各个孤立时间点处的统计特性时间点处的统计特性, 未给出过程的整体统计未给出过程的整体统计特性特性.),(21ntttXXX,21Ttttn 定义定义1.1.

13、4 随机过程随机过程 , ,对任给的对任给的,TtXt 随机向量随机向量的联合分布函数的联合分布函数称为随机过程的称为随机过程的n 维分布函数维分布函数. . ),(21,21ntttxxxFn,2121ntttxXxXxXPn 电子科技大学21.7.311,),( ,1,2,:),(2121,21 nRxxxniTtxxxFnninnttt任意有限维任意有限维分布函数的分布函数的全体构成的全体构成的集合集合称集合称集合为为 的有限维分布函数族的有限维分布函数族. .),(TtXt 随机过程的随机过程的n维分布函数能近似地描述维分布函数能近似地描述过程的统计特性过程的统计特性, n越大则描述越

14、趋于完善越大则描述越趋于完善.注注需研究随机过程与有限维分布函数的关系需研究随机过程与有限维分布函数的关系.电子科技大学21.7.31 随机过程的有限维分布函数族除具有联随机过程的有限维分布函数族除具有联合分布函数的三条性质外合分布函数的三条性质外, 还具有以下性质还具有以下性质: 1) 对称性对称性:对对1, 2, , n的任一排列的任一排列j1 , j2 , , jn , ,均有均有),(),(21,2111ntttjjttxxxFxxFnnnjj 因事件乘积满足交换律因事件乘积满足交换律. .注注 2) 相容性相容性: :对任意固定的自然数对任意固定的自然数mn, ,均有均有),(21,

15、21mtttxxxFm. 随机过程存在定理随机过程存在定理 电子科技大学21.7.31),(21,21 mttttxxxFnm),(lim1,211nmtttxxxxxFnnm 注注 联合分布函数能完全确定边缘分布函数联合分布函数能完全确定边缘分布函数. 定理定理1.1.1 (柯尔莫哥罗夫存在定理柯尔莫哥罗夫存在定理)如果分布函数族如果分布函数族1,),( , ),(212121,21 nRxxxTtttxxxFnnnntttn 满足相容性和满足相容性和对称性对称性, ,则存在一个概率空间上则存在一个概率空间上的随机过程的随机过程 , , 以以该函数族该函数族 为其有为其有限维分布函数族限维分

16、布函数族. TtXt , )( 电子科技大学21.7.31如何确定随机过程的分布？如何确定随机过程的分布？ Ex.1.1.5 设随机过程设随机过程, )cos(RttaXt 其中其中a, 是正常数是正常数, 随机变量随机变量U(, ), 试求过程的一维概率密度试求过程的一维概率密度.解解 : 利用特征函数法利用特征函数法易求得易求得Xt的一维概率密度为的一维概率密度为 ., 0;,1)(22其它其它axxaxftX电子科技大学21.7.31问题：问题：若改定义过程为若改定义过程为, )cos(RttAXt 其中其中是正常数是正常数, 随机变量随机变量A 与与相互独立相互独立, AU(0,1),

17、 U(, ), 过程的一维概率密过程的一维概率密度又如何？度又如何？解解 1) 已求得已求得A=a时，时，tX的条件概率密度为的条件概率密度为 ., 0;,1)(22A其它其它axxaaxftX？怎怎样样求求)( xftX电子科技大学21.7.31 daafaxfAAXt)()( 10)(daaxfAXt .01;,11|22其其它它xdaxax .01;, )11ln(12其它其它，xxx daaxfxfAXXtt),()(,电子科技大学21.7.31 Ex.1.1.6 设随机过程设随机过程 只有两条样只有两条样本函数本函数 RtXt ),( Rttxtxtt ,2cos)(,2cos)(2

18、1 且且31)(,32)(21 PP求求 1) 一维分布函数一维分布函数 和和 ; 2) 二维分布函数二维分布函数 F0,/4(x, y).)(0 xFX)(4/xFX 电子科技大学21.7.31解解 1) 对任意实数对任意实数tR,有有Xt 2cost 2costp 1/3 2/3特别特别X0 2 2p 1/3 2/3 ;2, 1; 22,31; 2, 0)(0 xxxxFX电子科技大学21.7.31X p 1/3 2/322 4 ;2, 1;22,31;2, 0)(4xxxxFX2) 分析分析xt(1)=2costxt(2)=2cost22 22电子科技大学21.7.31(X0, X/4) p 1/3 2/3)2, 2( )2, 2(二维随机变量二维随机变量(X0, X/4)的联合分布律为的联合分布律为 其联合分布函数为其联合分布函数为 ;2,2, 1;222222,31;2, 2, 0,),(404,0yxxyyxyxyXxXPyxF且且或或且且问题问题 随机变量随