极坐标系完整版

1、以人民路为以人民路为X轴轴以以番禺路为番禺路为Y轴轴.请问：去连州汽车站请问：去连州汽车站怎么走？怎么走？以以人民路人民路为为X轴轴以以番禺路番禺路为为Y轴轴.精神病！精神病！以以人民路人民路为为X轴轴以以番禺路番禺路为为Y轴轴.精神病！精神病！从这向南从这向南2000米。米。请问：去连州汽车站请问：去连州汽车站怎么走？怎么走？QQ:261772045 E-mail： 6060m45C图书馆图书馆D实验楼实验楼50m120mB体育馆体育馆A教学楼教学楼办公办公楼楼E右图为某校园的平面示意图。右图为某校园的平面示意图。假设某同学在教学楼处，假设某同学在教学楼处，请回答下列问题：请回答下列问题：（

2、1）他向东偏北）他向东偏北60 方向方向 走走120m后到达什么位置？后到达什么位置？（2）如果有人打听体育馆）如果有人打听体育馆 和办公楼的位置，他应和办公楼的位置，他应 如何描述？如何描述？办公楼办公楼E 从这里向南走从这里向南走20002000米就到了米就到了请问：去西华三请问：去西华三高怎么走？高怎么走？问路人问路人好心人好心人请分析上面这句话，他告诉了问路人请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？什么？从 这 向 南 走从 这 向 南 走 2 0 0 0 米 ！米 ！出发点出发点方向方向距离距离在生活中人们经常用方向和距离来表示在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用一点的

3、位置。这种用方向方向和和距离距离表示平表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。基本思想。一、极坐标系的建立：一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点在平面内取一个定点O，叫做，叫做极点极点。引一条射线引一条射线OX，叫做，叫做极轴极轴。再选定一个长度单位再选定一个长度单位和和角度单位角度单位及及它的正它的正方向方向（通常取逆时针（通常取逆时针方向）。方向）。这样就建立了一个这样就建立了一个极坐标系极坐标系。XOM 二、极坐标系内一点的极坐标的规定二、极坐标系内一点的极坐标的规定对于平面上任意一点对于平面上任意一点M，用，用 表示线段表示线段OM的长度，

4、用的长度，用 表示从表示从OX到到OM 的角度，的角度， 叫做点叫做点M的的极径极径， 叫做叫做点点M的的极角极角，有序数对，有序数对（ ， ）就叫做就叫做M的极坐标。的极坐标。特别强调特别强调： 表示线段表示线段OM的长度，即点的长度，即点M到到极点极点O的距离；的距离； 表示从表示从OX到到OM的角度，即的角度，即以以OX（极轴）为始边，（极轴）为始边，OM 为终边的角。为终边的角。XOM 题组一题组一：说出下图中各点的极坐标：说出下图中各点的极坐标ABCDEFGOX46535342 平面上一点的极坐标是否唯一？平面上一点的极坐标是否唯一？若不唯一，那有多少种表示方法？若不唯一，那有多少种

5、表示方法？坐标不唯一是由谁引起的？坐标不唯一是由谁引起的？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？不同的极坐标是否可以写出统一表达式？特别规定：特别规定： 当当M在极点时，它的极在极点时，它的极坐标坐标 =0， 可以取任意值。可以取任意值。想一想？想一想？三、点的极坐标的表达式的研究三、点的极坐标的表达式的研究XOM 如图：如图：OM的长度为的长度为4，4请说出点请说出点M的极坐标的其他的极坐标的其他表达式。表达式。思：这些极坐标之间有何异同？思：这些极坐标之间有何异同？思考：这些极角有何关系？思考：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是

6、终边相同的角。就是说它们是终边相同的角。点点M的极坐标统一表达式：的极坐标统一表达式：4 2k+4 ，极径相同，不同的是极角极径相同，不同的是极角(3,0)(6,2 )(3,)245(5,)(3,)(4, )365(6,)3ABCDEFG 题组二：在极坐标系里描出下列各点题组二：在极坐标系里描出下列各点46535342 ABCDEFGOX(3,0)(6,2 )(3,)245(5,)(3,)(4, )365(6,)3ABCDEFG 四、负极径四、负极径说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要说明：一般情况下，极径都是正值；在某些必要情况下，极径也可以取负值。（？）情况下，极径也可以取负值。（？

7、）对于点对于点M（ ， ）负极径时的规定：负极径时的规定：1作射线作射线OP，使，使 XOP= 2在在OP的反向延长的反向延长线上取一点线上取一点M，使，使 OM = OXP M1.1.负极径的定义负极径的定义OXP = /4M2.2.负极径的实例负极径的实例在极坐标系中画出点在极坐标系中画出点 M 的位置的位置.1作射线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M，使，使 OM = 3( 3,)4( 3,)4说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：A AB BC CD DE EO OX X261211122323

8、453、关于负极径的思考、关于负极径的思考“负极径负极径”真是真是“负负”的？的？ 根据极径定义，极径是距离，当然是正根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的的。现在所说的“负极径负极径”中的中的“负负”到底到底是什么意思？是什么意思？ 把负极径时点的确定过程，与正极径时把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？什么不同？4、正、负极径时，点的确定过程比较、正、负极径时，点的确定过程比较OXPOXP1作射线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的反向延长线上取一点的反向延长线上取一点M，使，使 OM

9、= 31作射线作射线OP，使，使 XOP= /4 2在在OP的上取一点的上取一点M，使，使 OM = 3M画出点画出点 （3， /4） 和（和（3， /4）给定给定,在极坐标系中描点的方法：在极坐标系中描点的方法：先按极角先按极角找到找到极径所在的射线极径所在的射线，后，后按极径的正负和数值按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描点。在这条射线或其反向延长线上描点。M5、负极径的实质、负极径的实质 从比较来看，负极径比从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射正极径多了一个操作，将射线线OP“反向延长反向延长”。OXPMOXPM 而反向延长也可以看成而反向延长也可以看成是旋转是旋转 ，

10、因此，所谓因此，所谓“负负极径极径”实质是实质是管方向管方向的。这的。这与数学中通常的习惯一致，与数学中通常的习惯一致，用用“负负”表示表示“反向反向 ”。负极径小结负极径小结：极径变为负极径变为负，极角增加极角增加 。练习：写出点练习：写出点 的负极径的极坐标的负极径的极坐标（6， ）6答：（答：（6， +）6或（或（6， +）611特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为认为 0 。因为负极径只在极少数情况用。因为负极径只在极少数情况用。五、极坐标系下点的极坐标五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点探索点M（3， /4）的）的所有极坐标所有极

11、坐标1极径是正的时候：极径是正的时候：423k，2极径是负的时候：极径是负的时候：)423k，（2.在极坐标系中在极坐标系中,与与(,)关于极轴对称关于极轴对称的点是的点是( )A.(,) B.(,)C.(,) D.(,)CD题组三题组三 1. 在极坐标系中，与点在极坐标系中，与点(3, )重合重合的点是的点是( )6A.(3, ) B. (3, ) C. (3, ) D. (3, ) 666565 在极坐标系中在极坐标系中,与点与点(8, )关于极点对称的关于极点对称的 点点 的一个坐标是（的一个坐标是（ )6A.(8, ) B. (8, ) C. (8, ) D.(8, ) 656665A

12、4.(1)(2)2QPPQOPQ 已知点（ , ),分别按下列条件求出点 的极坐标。是点 关于极点 的对称点；是点 关于直线 的对称点。(1)(,) (2) (,)或或(, -) （3）(,)极轴呢？极轴呢？3一点的极坐标有否统一的表达式？一点的极坐标有否统一的表达式？小结小结1建立一个极坐标系需要哪些要素建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。它的正方向。2极坐标系内一点的极坐标有多少种极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。无数，极径有正有负；极角有无数个。有。（有。（，2k+）四、课堂

13、练习四、课堂练习ABO 2.2.已知三点的极坐标为已知三点的极坐标为 , ,则则 为为( )( ) A A、正三角形、正三角形 B B、直角三角形、直角三角形 C C、锐角等腰三角形、锐角等腰三角形 D D、等腰直角三角形、等腰直角三角形 )310, 5( 、A)38, 5( D)34, 5( M1.1.已知极坐标已知极坐标 , ,下列所给出的下列所给出的 不能表示点不能表示点M M的坐标的是的坐标的是( )( )32, 5( 、B),43,2(),2, 2( BAC CD D)3, 5( 、C)0 , 0(O平面内一点平面内一点P P的直角坐标是的直角坐标是 ，其极，其极坐标如何表示坐标如何

14、表示? ?点点Q Q的极坐标为的极坐标为 ，其直角坐标如何表示？其直角坐标如何表示？)1 ,3( 思考？思考？)32,5( ),235,25( Q答案：答案：)6, 2( P三、极坐标与直角坐标的互化三、极坐标与直角坐标的互化 公式公式)0(tan,222 xxyyx 直直化化极极： sin,cos yx极极化化直直：例例3：互化下列直角坐标与极坐标：互化下列直角坐标与极坐标直角坐标极坐标)3, 3( ) 1, 3( )0 ,5(直角坐标极坐标)6, 4( )2, 1 ( ), 3( )2 ,32()1, 0( ) 0 , 3( )65, 32( )67, 2( )0 , 5( 2 2、已知极

15、坐标系中两点、已知极坐标系中两点 如何求线段如何求线段|PQ|PQ|的长？的长？19| PQ),2, 2( Q推广：极坐标系内两点推广：极坐标系内两点 的距离公式：的距离公式：),(),(2211 QP)cos(2|PQ|21212221 探索？探索？1 1、极坐标系中点的对称关系、极坐标系中点的对称关系? ? 关于极轴所在直线对称的点为关于极轴所在直线对称的点为, , , 关于极点对称的点为关于极点对称的点为, (3,)6P1、在极坐标系中在极坐标系中,O是极是极点，设点点，设点A(4, )， B(5, )，则则OAB的面积是的面积是_，|AB|= 。 365ABOx四、拓展：四、拓展：54120 3（2）在极坐标系中，与点关）在极坐标系中，与点关于极轴所在直线对称点的极坐标是；于极轴所在直线对称点的极坐标是；)3, 3( （3）在极坐标系中，若等边）在极坐标系中，若等边ABC的的两个顶点，则顶点两个顶点，则顶点C的的坐标是。坐标是。)45, 2(),4, 2( BA3,32 2、已知极坐标系中两点、已知极坐标系中两点 ， 如何求线段如何求线段|PQ|PQ|的长？的长？)6, 3( P),2, 2( Q推广：极坐标系内两点推广：极坐标系内两点 的距离公