金融数量方法课件：第四章 金融中的优化方法

1、1第四章第四章 金融中的优化方法金融中的优化方法内容概览内容概览4.1 线性规划简介线性规划简介4.2 二次规划简介二次规划简介4.3 方法应用：最优投资组合的确定方法应用：最优投资组合的确定24.1 线性规划简介线性规划简介o主要内容：主要内容：一、线性规划概述一、线性规划概述二、线性规划问题引例二、线性规划问题引例三、线性规划问题的三要素三、线性规划问题的三要素四、解法之一：图解法四、解法之一：图解法 五、解法之二：单纯形法（略去）五、解法之二：单纯形法（略去）3首先，说明线性规划与古典最优化首先，说明线性规划与古典最优化区别区别o前面我们学习过的最优化方法主要是以微积分为前面我们学习过的

2、最优化方法主要是以微积分为基础的古典最优化方法。基础的古典最优化方法。o线性规划与古典最优化方法的不同之处在于：线性规划与古典最优化方法的不同之处在于：（1 1）线性规划主要解决带有不等式约束的优化问题，）线性规划主要解决带有不等式约束的优化问题，这样变量的约束放松了，变量的选择余地更大了，这样变量的约束放松了，变量的选择余地更大了，也更有现实意义了。也更有现实意义了。（2 2）能够解决约束个数多于变量数目的优化问题，）能够解决约束个数多于变量数目的优化问题，而对此拉格朗日乘子法是无能为力的。而对此拉格朗日乘子法是无能为力的。（3 3）古典优化方法求出的是局部最优解，而线性规）古典优化方法求出

3、的是局部最优解，而线性规划求出的解，不仅是局部最优解，还是全局最优划求出的解，不仅是局部最优解，还是全局最优解。解。4o 线性规划线性规划(Linear Programming )(Linear Programming )是在一定条是在一定条件下寻求有限的资源优化配置和利用的一种数学件下寻求有限的资源优化配置和利用的一种数学方法。方法。o 在在2020世纪世纪3030年代，特别是自年代，特别是自19471947年，由美国的年，由美国的丹捷格（丹捷格（George. B. DantzigGeorge. B. Dantzig）提出了一种求解）提出了一种求解线性规划的一般方法线性规划的一般方法单纯形

4、法单纯形法(The simplex (The simplex method)method)以来，线性规划在理论上日趋成熟。特以来，线性规划在理论上日趋成熟。特别是随着计算机技术的飞速发展和日益普及，为别是随着计算机技术的飞速发展和日益普及，为线性规划的应用提供了数据计算工具。线性规划的应用提供了数据计算工具。o 目前，线性规划方法的应用已经广泛渗透到目前，线性规划方法的应用已经广泛渗透到工业、农业、商业、教育、国防等部门，以及生工业、农业、商业、教育、国防等部门，以及生产、经营、管理、计划、规划、预测等领域。产、经营、管理、计划、规划、预测等领域。一、线性规划概述5线性规划在经济分析中的地位线

5、性规划在经济分析中的地位o线性规划在经济分析中占有重要地位。这一点，线性规划在经济分析中占有重要地位。这一点，可以从三位经济学大师可以从三位经济学大师朵夫曼（朵夫曼（Robert Robert DorfmanDorfman）、萨穆尔森）、萨穆尔森(Paul A. Samuelson) (Paul A. Samuelson) 、以及索罗以及索罗(Robert M. Solow)(Robert M. Solow)在在19581958年联合所著年联合所著的的Linear Programming and Economic Analysis 一书中可以窥见一斑。一书中可以窥见一斑。o其中，他们将最为活跃

6、的数量经济分析方法概括其中，他们将最为活跃的数量经济分析方法概括为三大分支：为三大分支：线性规划、投入产出分析，以及博线性规划、投入产出分析，以及博弈论。弈论。o我们这门课程都已经都涉及到这三大类经济分析我们这门课程都已经都涉及到这三大类经济分析方法。方法。6o 线性规划是将问题归结为一种数学模型，线性规划是将问题归结为一种数学模型，o一般地，把资源的分配利用方案用一般地，把资源的分配利用方案用决策变量决策变量来表来表示，将所要实现的目标表示为这些变量的线性函示，将所要实现的目标表示为这些变量的线性函数，称为数，称为目标函数目标函数。o而对资源稀缺的限制，即需要满足的前提条件往而对资源稀缺的限

7、制，即需要满足的前提条件往往表示成变量之间的关系，通常表现为一组不等往表示成变量之间的关系，通常表现为一组不等式或等式，称为式或等式，称为约束条件约束条件。o线性规划线性规划是指，在一组线性约束条件下，确定一是指，在一组线性约束条件下，确定一组变量的取值，使线性目标函数达到最大或最小组变量的取值，使线性目标函数达到最大或最小的优化问题。此时，变量的一组取值就对应着一的优化问题。此时，变量的一组取值就对应着一个最优方案（称为最优解），目标函数的最优值个最优方案（称为最优解），目标函数的最优值就表示最优的结果值。就表示最优的结果值。 一、线性规划概述7 在经济与管理领域中常遇到各种决策问题，其中常

8、常可在经济与管理领域中常遇到各种决策问题，其中常常可以归结为一个线性规划问题，对这类问题需要建立数学模型以归结为一个线性规划问题，对这类问题需要建立数学模型来解决。因而建立数学模型是解决线性规划问题的一个重要来解决。因而建立数学模型是解决线性规划问题的一个重要步骤。步骤。 建立的线性规划数学模型是否真正地反映客观实际，建立的线性规划数学模型是否真正地反映客观实际，模型本身的设定是否正确，都将直接影响着求解结果，从而模型本身的设定是否正确，都将直接影响着求解结果，从而影响决策结果。所以，建立正确的线性规划模型尤为重要。影响决策结果。所以，建立正确的线性规划模型尤为重要。下面举例说明如何建立线性规

9、划问题的数学模型。或下面举例说明如何建立线性规划问题的数学模型。或者说，如何将实际问题转化为线性规划问题。者说，如何将实际问题转化为线性规划问题。 二、线性规划问题引例二、线性规划问题引例8引例引例1. 1. 饮食营养配方问题饮食营养配方问题(diet (diet problem: Minproblem: Min，)o o 这是在线性规划文献中的一个经典的问题。人这是在线性规划文献中的一个经典的问题。人们在作购买食品等饮食决策的时候，通常要考虑们在作购买食品等饮食决策的时候，通常要考虑如何满足身体所必需的营养条件下，同时又要使如何满足身体所必需的营养条件下，同时又要使得花费最省的问题。得花费最

10、省的问题。o假设，人体所需要两种营养成分假设，人体所需要两种营养成分卡路里卡路里（caloriescalories）与维他命）与维他命(vitamin)(vitamin)，并有营养学，并有营养学规定的人体所必需营养成分的标准量。规定的人体所必需营养成分的标准量。o为简单起见，这里假设有为简单起见，这里假设有5 5种食品可供选择，每种食品可供选择，每一种食品价格也是已知的。具体数值假设如下。一种食品价格也是已知的。具体数值假设如下。9 该饮食营养问题可表述为，现有该饮食营养问题可表述为，现有5 5种食物可供消种食物可供消费选择，每一种食物均含有卡路里和维他命两种营养费选择，每一种食物均含有卡路里

11、和维他命两种营养成分，这成分，这5 5种食物的单位数量中含有的营养成分以及它种食物的单位数量中含有的营养成分以及它们的价格见表们的价格见表3-13-1中所示。中所示。我们要解决的问题是：分别购买这我们要解决的问题是：分别购买这5 5种食物各多少数量，种食物各多少数量，才能在满足营养标准的前提下，使得开支花费最少？才能在满足营养标准的前提下，使得开支花费最少？表表3-13-110假设五种食品的购买数量分别用假设五种食品的购买数量分别用x1x1、x2x2、x3x3、x4x4、x5x5表示，这是变量（或决策变量）。目标函数是表示，这是变量（或决策变量）。目标函数是花费的钱数，用花费的钱数，用 表示。

12、表示。o约束条件是满足最低营养标准，表示为约束条件是满足最低营养标准，表示为x1+x3+x4+2x5x1+x3+x4+2x5700 700 x2+x4+x5 x2+x4+x5400400。o于是，该问题的数学模型可描述为：于是，该问题的数学模型可描述为：5432112113202xxxxxZ11 该问题可表示为如下线性规划模型：0,4007002. .1211320254321542543154321xxxxxxxxxxxxt sxxxxxMinZ12某厂利用某厂利用A A、B B 两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：两种原料，生产甲、乙两种产品，有关数据如下：引例引例2.2.产品合理

13、组合使产值最大问题（产品合理组合使产值最大问题（Max, Max, ）产品名称产品名称甲甲 乙乙单位产品单位产品消耗原料消耗原料原料名称原料名称可供利用的原料可供利用的原料数量（数量（T/T/日）日）6 68 81 21 22 12 1A AB B产品售价产品售价 （千元（千元/T/T） 3 23 2根据市场调查，有如下资料：根据市场调查，有如下资料：1.1.乙产品的需求量至多乙产品的需求量至多 2 2 吨吨/ /日日; ;2.2.乙产品的需求量比甲产品的需求量至多超过乙产品的需求量比甲产品的需求量至多超过 1 1 吨吨/ /日。日。求该厂产值最大的生产方案。求该厂产值最大的生产方案。13提出

14、三个问题大家思考：提出三个问题大家思考：1.1.问题的未知数是什么？问题的未知数是什么？ 决策变量决策变量2.2.以什么准则进行决策？以什么准则进行决策？ 目标函数目标函数3.3.约束条件是什么？约束条件是什么？ 约束不等式约束不等式14 分析：这里生产方案指的是如何安排甲、乙两种产品的生产产量。分析：这里生产方案指的是如何安排甲、乙两种产品的生产产量。显然，显然，产量是未知数产量是未知数。 设：设：甲产品的产量为甲产品的产量为 x x1 1 T/ T/日日 乙产品的产量为乙产品的产量为 x x2 2 T/ T/日日 决策准则是产值最大，用决策准则是产值最大，用 Z Z 代表产值，则有：代表产

15、值，则有： Z=3xZ=3x1 1+2x+2x2 2 Z Z 是是x x1 1、x x2 2 的线性函数，称为目标函数，目标是求极大值，的线性函数，称为目标函数，目标是求极大值， 即：即：max Z= 3xmax Z= 3x1 1+2x+2x2 2 约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制）约束条件（分三部分：资源限制、市场限制、非负限制） x x1 1+2x+2x2 266 2x 2x1 1+x+x2 288 x x2 222 x x2 2 -x -x1 111 x x1 1，x x2 200约束条件约束条件资源限制资源限制市场限制市场限制非负限制非负限制15引例引例3. 合理配料使

16、成本最小问题（合理配料使成本最小问题（min, ) )设设 x1, x2分别代表每粒胶丸分别代表每粒胶丸中甲、乙两种原料的配方中甲、乙两种原料的配方用量用量0 x,x20.2x0.5x1.20.6x0.2x30.3x1.0 x20.5x0.5xs.t.0.5x0.3xminZ(x)212121212121 某厂生产一种胶丸，且单位原料中的成分含量及对每某厂生产一种胶丸，且单位原料中的成分含量及对每粒胶丸的质量要求如下，问：该胶丸在满足成分质量要求粒胶丸的质量要求如下，问：该胶丸在满足成分质量要求的条件下，如何配料才能使生产成本最低？的条件下，如何配料才能使生产成本最低？营养成分16引例引例4.

17、 4. 产销地之间的运输问题产销地之间的运输问题(Min(Min，=)=)o假设，甲城市需要某物资假设，甲城市需要某物资3 3万吨，乙城市需万吨，乙城市需要同一物资要同一物资8 8万吨，恰好万吨，恰好A A工厂有该物资工厂有该物资4 4万万吨，吨，B B工厂有物资工厂有物资7 7万吨，每个工厂到各城万吨，每个工厂到各城市运输所需要的运费如下表所示。市运输所需要的运费如下表所示。o问：问：为了使总运费最低，应如何安排运输为了使总运费最低，应如何安排运输计划？计划？ 17已知如下信息：已知如下信息：表表3-23-218 假设用假设用xijxij表示从第表示从第i i个生产地到第个生产地到第j j个

18、销售地的运个销售地的运输量，输量，i=1, 2, j=1, 2i=1, 2, j=1, 2，则该运输问题可描述为如下线性规划模型：，则该运输问题可描述为如下线性规划模型：你能说出这里的决你能说出这里的决策变量、目标函数、策变量、目标函数、约束条件的经济意约束条件的经济意义吗？义吗？ 19三、线性规划问题的三要素三、线性规划问题的三要素 每一个问题都用一组每一个问题都用一组决策变量决策变量( (x x1 1，x x2 2，x xn n) )表示某表示某一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。这一方案；这组决策变量的值就代表一个具体方案。这些变量取值往往都是非负的。些变量取值往往都是非负的。

19、存在一定的存在一定的约束条件约束条件，这些约束条件可以用一组，这些约束条件可以用一组线性线性等式或线性不等式来表示。等式或线性不等式来表示。 都有一个要求达到的都有一个要求达到的目标目标，它可用决策变量的，它可用决策变量的线性函线性函数数（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目（称为目标函数）来表示。按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化标函数实现最大化或最小化。20或者说，一个完整的线性规划模型必须包含以下三个要素：1.1.变量（或决策变量变量（或决策变量）。这是问题中的未知量，他表）。这是问题中的未知量，他表明规划中用数量所表示的方案、措施、可由决策明规划中用数量所表示的方案、措

20、施、可由决策者制定和控制。者制定和控制。 线性规划中通常包含两类变量，其中一类是实线性规划中通常包含两类变量，其中一类是实际求解的决策变量，另一类是为了模型的求解而际求解的决策变量，另一类是为了模型的求解而引进的变量（如松弛变量、剩余变量和人工变引进的变量（如松弛变量、剩余变量和人工变量）。量）。2.2.约束条件约束条件。是指决策者取值时受到的各种资源条件。是指决策者取值时受到的各种资源条件的限制，通常表达为含有决策变量的的限制，通常表达为含有决策变量的线性线性等式或等式或不等式。不等式。3.3.目标函数目标函数。它是决策变量的。它是决策变量的线性函数线性函数，按照优化目，按照优化目标分别在这

21、个函数前加上标分别在这个函数前加上MaxMax或或MinMin。21四、线性规划解法之一：图解法o对只有两个决策变量的线性规划问题，可以通过对只有两个决策变量的线性规划问题，可以通过在平面上作图的方法求解。在平面上作图的方法求解。o我们称能够找出一组变量值我们称能够找出一组变量值xjxj (j=1,2, (j=1,2,n) ,n) ,它满足约束条件，称这组它满足约束条件，称这组xjxj 为问题的为问题的可行解可行解。通常线性规划问题总是含有多个可行解，称全部通常线性规划问题总是含有多个可行解，称全部可行解的集合为可行解的集合为可行域可行域，在可行域中使得目标函，在可行域中使得目标函数值达到最优

22、的可行解成为数值达到最优的可行解成为最优解最优解。o若线性规划问题若线性规划问题不存在可行解不存在可行解，称该问题，称该问题无解无解。o图解法图解法求解的目的求解的目的，一是判别线性规划问题解的，一是判别线性规划问题解的情况；二是在存在最优解的情况下，将最优解求情况；二是在存在最优解的情况下，将最优解求出来。出来。22（一）（一）“等高线等高线”、约束集合的概、约束集合的概念念o我们这里研究目标函数与约束集合的几何意义，我们这里研究目标函数与约束集合的几何意义，在此基础上，再讨论只有两个变量（在此基础上，再讨论只有两个变量（n=2n=2）的线）的线性规划问题的图解法。性规划问题的图解法。o1.

23、”1.”等高线等高线”的概念的概念。o我们知道，二元函数我们知道，二元函数t=f(x1,x2)t=f(x1,x2)的图形时三维空的图形时三维空间中的一张曲面。而间中的一张曲面。而t=c (ct=c (c为常数为常数) )在三维空间在三维空间中表示平行于（中表示平行于（x1,x2x1,x2）坐标平面的一张平面，）坐标平面的一张平面，这个平面上任一点与坐标平面（这个平面上任一点与坐标平面（x1,x2x1,x2）的距离）的距离（即（即“高度高度”）都等于常数）都等于常数c,c,如图所示。如图所示。23“等高线等高线”是平面与曲面交线（截痕）是平面与曲面交线（截痕）在底面上的投影线在底面上的投影线等高

24、线等高线的图形的图形24 “ “等高线等高线”的意义的意义o 现在，在三维空间中存在曲面现在，在三维空间中存在曲面 z=f(x1,x2)z=f(x1,x2)和平面和平面 z=cz=c，它们相交有一条交线它们相交有一条交线L L交线交线L L在在(x1(x1，x2)x2)平面上的投影为平面上的投影为LL可见，可见，LL上的任意一点到平面上的任意一点到平面z=cz=c上的上的“高度高度”都具都具有相同的数值有相同的数值c c，也即，也即LL上的点上的点(x1(x1，x2)x2)的函数值的函数值 f(x1f(x1，x2)x2)都具有相同的数值都具有相同的数值c co 当常数当常数c c取不同的值时，

25、重复上面的过程，在取不同的值时，重复上面的过程，在(x1(x1，x2)x2)坐标平面上得到一族曲线，我们称为坐标平面上得到一族曲线，我们称为“等高线等高线”( (也称为等也称为等值线值线) ) 顾名思义，在同一条曲线上的点对应的高度（即函顾名思义，在同一条曲线上的点对应的高度（即函数值）都是相等的。数值）都是相等的。o o 不难看出，等高线的形状完全由曲面不难看出，等高线的形状完全由曲面 z=f(x1z=f(x1，x2) x2) 的形的形状决定；反之，由等高线的形状也可以推测出曲面状决定；反之，由等高线的形状也可以推测出曲面z=f(x1,x2) z=f(x1,x2) 的形状的形状o在以后的讨论

26、中，我们不必具体画出在以后的讨论中，我们不必具体画出z=f(x1z=f(x1，x2)x2)的立体图的立体图形，只需在（形，只需在（x1,x2x1,x2）坐标平面上变动常数）坐标平面上变动常数c c，画出曲线族，画出曲线族 f(x1,x2)=c f(x1,x2)=c 即可。而且这些曲线族是由其中一条曲线平移即可。而且这些曲线族是由其中一条曲线平移得到的。得到的。25“等高线等高线”的经济学应用的经济学应用o其应用方面包括：其应用方面包括：（1）消费者行为理论中的）消费者行为理论中的“无差异曲线无差异曲线”；（2）生产者行为理论中的）生产者行为理论中的“等产量线等产量线”、“等利润线等利润线”；（

27、3）投资组合中的）投资组合中的“等收益线等收益线”；等方面。等方面。 262. 2. 可行域的概念可行域的概念o由于约束的形式分为等式约束与不等式约束，因此我们将分别由于约束的形式分为等式约束与不等式约束，因此我们将分别讨论等式约束确定的集合与不等式约束确定的约束集合。讨论等式约束确定的集合与不等式约束确定的约束集合。o首先，假定某一个含有两个变量的等式约束为首先，假定某一个含有两个变量的等式约束为o称满足上述等式约束的称满足上述等式约束的(x1,x2)所形成的集合为约束集合所形成的集合为约束集合R：o由于方程由于方程o在平面上表示的是一条直线，则约束集合在平面上表示的是一条直线，则约束集合

28、R为该直线上的所有为该直线上的所有点形成的集合。点形成的集合。bxaxa22110| ),(221121bxaxaxxRbxaxa2211x1x227再考虑不等式约束表示的几何意义再考虑不等式约束表示的几何意义o对于上面的等式约束，其图形对于上面的等式约束，其图形为直线为直线L上的所有点。上的所有点。o如果不等式约束为大于号的话，如果不等式约束为大于号的话，且纵坐标变量的系数且纵坐标变量的系数a20，则，则满足不等式约束的点应该在直满足不等式约束的点应该在直线的右上半平面上。线的右上半平面上。即，这个即，这个右半平面就是该不等式约束的右半平面就是该不等式约束的约束集合。约束集合。o反之，如果不

29、等式约束为小于反之，如果不等式约束为小于符号，则满足不等式约束的点符号，则满足不等式约束的点应该在直线的左下半平面上。应该在直线的左下半平面上。因此，因此，这时的小于不等式约束这时的小于不等式约束的几何意义是左下方半平面。的几何意义是左下方半平面。)0(,22211abxaxax1x2+21212abxaax)0(,22211abxaxa28若干不等式约束形成交叉集合，称若干不等式约束形成交叉集合，称为可行域为可行域o在两个决策变量的问题中，由若干个不等式形成在两个决策变量的问题中，由若干个不等式形成的约束集合，是各个不等式表示的半平面的的约束集合，是各个不等式表示的半平面的公共公共区域，即交

30、集区域，即交集 ，它是平面上的某个区域。，它是平面上的某个区域。o在多于两个决策变量的问题中，其对应的公共区在多于两个决策变量的问题中，其对应的公共区域是高维空间的一个域是高维空间的一个多面体多面体。o约束集的性质约束集的性质：线性规划的可行域是凸集，即集：线性规划的可行域是凸集，即集合中任意两点的线性组合对应的点（两点连线上合中任意两点的线性组合对应的点（两点连线上的所有点）仍然在该可行域中。的所有点）仍然在该可行域中。29（二）图解法步骤（二）图解法步骤1. 1. 建立直角坐标系，以两个变量建立直角坐标系，以两个变量 x1x1，x2x2分分别为横、纵坐标轴。别为横、纵坐标轴。2. 2. 画

31、出所有的约束条件所表示的区域，并确画出所有的约束条件所表示的区域，并确定可行域。定可行域。3. 3. 画出目标函数所代表的一族平行线，根据画出目标函数所代表的一族平行线，根据问题是求最大还是求最小，分别让这条直问题是求最大还是求最小，分别让这条直线向右上方或左下方平行移动。线向右上方或左下方平行移动。4. 4. 确定最优解是否存在，或者在存在的情形确定最优解是否存在，或者在存在的情形下求出是什么，以及最优值。下求出是什么，以及最优值。30例如：例如：A A、B B两种型号计算机的生产两种型号计算机的生产问题问题o解解 假设假设x1,x2 分别表示计划期内的计分别表示计划期内的计算机产量，该问题

32、的数学模型为算机产量，该问题的数学模型为0,1202410032. .46212121212, 1xxxxxxtsxxZMaxxx31答案：该企业应该在计划期内生产、型答案：该企业应该在计划期内生产、型计算机各计算机各2020台台, ,能使利润最大，此时最大利润能使利润最大，此时最大利润为为2000020000元，即元，即200200百元百元o分别在以分别在以x1,x2x1,x2为坐标轴的平面坐标系中画为坐标轴的平面坐标系中画出约束等式的两条直线，以确定点（出约束等式的两条直线，以确定点（x1,x2x1,x2）的可行区域；再画出目标函数的直线的可行区域；再画出目标函数的直线x1x24x1+2x

33、2 =1202x1+3x2 =100B6x1+4x2 =kx1x2最优点在最优点在B点处达到，点处达到，此时坐标对应为此时坐标对应为（20，20），最优），最优值为值为20000元，即元，即200百元百元32五、解法之二：单纯形法（五、解法之二：单纯形法（ The The simplex methodsimplex method），在此略去），在此略去o但是，有很多软件包都可以求解线性规划。但是，有很多软件包都可以求解线性规划。o例如，借助于例如，借助于Excel电子表格就可以求解线电子表格就可以求解线性规划。性规划。o在打开的在打开的Excel工作簿中，依次点击，工作簿中，依次点击，“工工具

34、具”/”规划求解规划求解”/对话框（若没有需要安对话框（若没有需要安装一下），进行相应的设置即可。装一下），进行相应的设置即可。o请见上例的求解演示！请见上例的求解演示！334.2 4.2 二次规划简介二次规划简介o在金融领域中，投资者通常需要对约束进在金融领域中，投资者通常需要对约束进行选择。行选择。o例如例如，投资者要求在收益不低于某既定水，投资者要求在收益不低于某既定水平下，要求投资组合的风险最小化。平下，要求投资组合的风险最小化。o该问题属于带有不等式约束的二次规划问该问题属于带有不等式约束的二次规划问题，因为目标函数是二次函数。题，因为目标函数是二次函数。34二次规划的模型二次规划的

35、模型以三种资产的投资以三种资产的投资组合为例组合为例o二次规划模型为二次规划模型为min1. .( )( )( )TabcaabbccZwwwwws tw E rw E rw E rR35二次规划的求解二次规划的求解o1. 等式约束条件下，应用拉格朗日等式约束条件下，应用拉格朗日（Lagrange ）乘数法）乘数法通过构造一个拉通过构造一个拉氏函数转化为无约束优化问题求解。氏函数转化为无约束优化问题求解。o2. 不等式约束条件下，应用库恩不等式约束条件下，应用库恩塔克塔克（Kuhn-Tucker）条件（略去）条件（略去）361. 1. 等式约束条件下，应用拉格朗日等式约束条件下，应用拉格朗日乘

36、数（乘数（Lagrange multiplierLagrange multiplier）法）法374.3 4.3 应用：最优投资组合的确定应用：最优投资组合的确定o投资组合最优化问题，是指如何确定每种投资的投资组合最优化问题，是指如何确定每种投资的分配比例，使得投资组合的期望收益和风险水平分配比例，使得投资组合的期望收益和风险水平能够最佳的满足投资者的目标。能够最佳的满足投资者的目标。o具体有以下两个方面应用：具体有以下两个方面应用：一、线性规划的应用：在投资选择中的一个应用是一、线性规划的应用：在投资选择中的一个应用是处理在处理在CAPM框架内的投资组合的构造问题。框架内的投资组合的构造问题

37、。二、二次规划的应用：最小方差投资组合的构造及二、二次规划的应用：最小方差投资组合的构造及其求解问题。其求解问题。38一、线性规划的应用：在一、线性规划的应用：在CAPMCAPM框架内的投资框架内的投资组合中资产的选择问题组合中资产的选择问题oCAPM的表达式的表达式o它表达了一项资产期望收益率是无风险利率、它表达了一项资产期望收益率是无风险利率、市场投资组合收益率和该资产的系统风险系数市场投资组合收益率和该资产的系统风险系数的线性函数。的线性函数。o其中，其中，i是该资产系统风险的度量，是该资产系统风险的度量，rm是市场是市场收益率。收益率。o当我们把一些资产构成一个投资组合时，投资当我们把

38、一些资产构成一个投资组合时，投资组合是以线性形式来组合每个资产的收益。即组合是以线性形式来组合每个资产的收益。即投资组合的风险投资组合的风险是单个资产是单个资产i的线性组合。的线性组合。( ) ()ifimfE rrE rr39证明：假设有两个资产，分别以比证明：假设有两个资产，分别以比例例Wa,WbWa,Wb组成一个投资组合组成一个投资组合o且两资产的期望收益率分别为且两资产的期望收益率分别为E(ra), E(rb), 系统风险分别为系统风险分别为i， jo则投资组合的收益率为则投资组合的收益率为 WaE(ra) +WbE(rb)在在CAPM模型中，因为有模型中，因为有则投资组合的收益率为则

39、投资组合的收益率为其中，其中，=aWa+bWb( ) ()( ) ()afamfbfbmfE rrE rrE rrE rr () ()() () ()afamfbfbmffaabbmffmfw rE rrw rE rrrwwE rrrE rr40如果最优化的目标是将组合系统风险如果最优化的目标是将组合系统风险限制在限制在一定范围内的约束条件下，寻求最大的投资一定范围内的约束条件下，寻求最大的投资组合收益率，则构成了一个线性规划问题。组合收益率，则构成了一个线性规划问题。o在该问题中，目标函数是投资组合的收益在该问题中，目标函数是投资组合的收益率，是各资产收益的线性函数，且约束条率，是各资产收益

40、的线性函数，且约束条件也是线性的。件也是线性的。o下面以三种资产组合为例下面以三种资产组合为例，来说明使用线，来说明使用线性规划在控制系统风险的条件下，来选择性规划在控制系统风险的条件下，来选择组合中的各资产投资比例。组合中的各资产投资比例。41数值举例数值举例1：三种资产投资组合的选：三种资产投资组合的选择择o假设假设，有三种资产，有三种资产A、B、C可供投资选择，可供投资选择，它们的期望收益率分别是它们的期望收益率分别是0.11、0.15和和0.08；o其其系数分别为系数分别为1、1.2、0.9。o每个资产的投资比例记为每个资产的投资比例记为Wa，Wb，Wc，这是投资者要决定的变量，其余的

41、期望收这是投资者要决定的变量，其余的期望收益率和风险均是由市场所决定的常数。益率和风险均是由市场所决定的常数。o三项资产收益的协方差矩阵记为三项资产收益的协方差矩阵记为，并且，并且假设为假设为0.000150.000050.000070.000050.000250.000030.000070.000030.00010 42o我们希望求出该组合投资在每个资产上的我们希望求出该组合投资在每个资产上的比例比例wi，以便系统风险控制在，以便系统风险控制在1.1以内，使以内，使得组合收益最大。得组合收益最大。o即该投资组合问题的模型表达式为即该投资组合问题的模型表达式为o这是一个具有不等式约束的线性规划

42、问题，这是一个具有不等式约束的线性规划问题，且投资比例且投资比例wi为非负数为非负数abcmax1. . 0w10w10w1abcabcabcZwwwwwwwwws t 约束约束1：投资组合的：投资组合的不能超过不能超过1.1；约束约束2：资金必须全部：资金必须全部使用；使用；约束约束3：必须有非负的：必须有非负的投资投资43问题描述：问题描述：o投资人要设计资产组合中的投资比例。目投资人要设计资产组合中的投资比例。目的是在满足风险控制约束条件下，使得投的是在满足风险控制约束条件下，使得投资的平均收益率资的平均收益率达到最大的那个投资比例达到最大的那个

43、投资比例的最优数值。的最优数值。o换言之，该问题就是要确定每个资产的最换言之，该问题就是要确定每个资产的最优投资权重或比例，使其在既定风险水平优投资权重或比例，使其在既定风险水平约束下，期望收益率达到最大。约束下，期望收益率达到最大。 44此线性规划模型中的三要素此线性规划模型中的三要素o目标函数目标函数：投资组合的期望收益率：投资组合的期望收益率o约束条件约束条件：第一，投资组合的第一，投资组合的不超过不超过1.1；第二，每个资产权重不能为负；第二，每个资产权重不能为负；第三，全部投资额必须投入，不能有剩余；第三，全部投资额必须投入，不能有剩余；o决策变量决策变量：三种资产投资权重：三种资产

44、投资权重 Wa，Wb，Wc45模型的表达式为模型的表达式为o其中，目标函数和约束都是线性的，且约束中只有其中，目标函数和约束都是线性的，且约束中只有等式和不等式两种，这属于线性规划问题。等式和不等式两种，这属于线性规划问题。max01. . 01011abcabcabcabcZwwwwwwws twwwww46图解法求解图解法求解需要转化为两个变需要转化为两个变量量o通过最后的等式约束可以消去通过最后的等式约束可以消去Wc, 从从而变成两个决策变量而变成两个决策变量Wa, Wb，这，这样就可使用图解法。样就可使用图解法。o与之等价的模型与之等价的模型为

45、为max8(1)0.030.070.081.20.9(1)1.101. .01011abababababababZwwwwwwwwwwws twww 47暂时去掉目标函数中的暂时去掉目标函数中的0.080.08，之后只要，之后只要求出的最优目标值再加回之即可求出的最优目标值再加回之即可o目标函数也重新整理后变为目标函数也重新整理后变为o约束条件为约束条件为0101abaabwwwww0 .0 30 .0 7abww48以以Wa，Wb为坐标轴建立坐标系，为坐标轴建立坐标系，o找出可行域为凸四边形找出可行域为凸四边形OLMN，o再找出一条等收益线：再找出一条

46、等收益线：0.03wa+0.07wb=0.02149o再找出一条目标函数直线，并不断向上方平移，使其函再找出一条目标函数直线，并不断向上方平移，使其函数值越来越大，直到移动到与点数值越来越大，直到移动到与点M重合，则重合，则M点就是所点就是所求的最优点。求的最优点。o解出两条直线的交点解出两条直线的交点M的坐标为的坐标为(0.5, 0.5)，o即即W0.5，=0.5, 这时的目标函数值为这时的目标函数值为0.030.5+0.070.5+0.08=0.13=13%，o这意味着只要对、两资产各投资这意味着只要对、两资产各投资50的资金进行组的资金进行组合投资，而不需要投资资产，就能在控制系统风险为

47、合投资，而不需要投资资产，就能在控制系统风险为1.1的条件下，使预期的收益达到的条件下，使预期的收益达到1350o当然，对于多个变量，甚至数百个变量和当然，对于多个变量，甚至数百个变量和带有约束的复杂线性规划问题可用计算机带有约束的复杂线性规划问题可用计算机程序给予有效的解决。程序给予有效的解决。51二、二次规划的应用：最小方差下的投二次规划的应用：最小方差下的投资组合的构造及其模型求解问题资组合的构造及其模型求解问题oCAPM假定，投资组合的构造仅仅与单个假定，投资组合的构造仅仅与单个资产的资产的系统风险系统风险有关。有关。o然而然而，广泛应用的由，广泛应用的由Markowitz(1952)

48、发展发展的原始模型是使用每个单个资产的的原始模型是使用每个单个资产的总风险总风险。o因此，当构造投资组合时以及确定投资组因此，当构造投资组合时以及确定投资组合的总风险时，必须要考虑投资组合中资合的总风险时，必须要考虑投资组合中资产之间的相关性。产之间的相关性。52投资组合的收益率与标准差：投资组合的收益率与标准差： 以以 n n 项资产组合为例项资产组合为例o投资组合的收益率是投资组合的收益率是单个资产收益率的加单个资产收益率的加权平均，即权平均，即o但是，投资组合的标但是，投资组合的标准差并不是那些单个准差并不是那些单个资产标准差的加权平资产标准差的加权平均值。而是要考虑相均值。而是要考虑相

49、互间的相关性（用协互间的相关性（用协方差表示）方差表示）1nPi iiRwr222111,nnnPiiijijiijijww w 532.有效边界有效边界(资本市场线资本市场线)o在第章我们已经知道，如果两项资产之在第章我们已经知道，如果两项资产之间的相关系数小于，投资组合的期望收间的相关系数小于，投资组合的期望收益率和风险的关系可有多种改进途径。益率和风险的关系可有多种改进途径。o因为组合的收益是其各个资产平均收益的因为组合的收益是其各个资产平均收益的线性函数，而风险则是资产收益方差的二线性函数，而风险则是资产收益方差的二次函数，因此，改进程度依赖于每种资产次函数，因此，改进程度依赖于每种资

50、产在组合中的权重，以及这些资产之间的相在组合中的权重，以及这些资产之间的相关程度。关程度。54下表的数据显示了两种资产与组合，在下表的数据显示了两种资产与组合，在相关系数分别为相关系数分别为0.6,0.9时的标准差时的标准差o并把表中所反映的数并把表中所反映的数据关系描绘在图中。据关系描绘在图中。o表和图都说明了表和图都说明了，当，当资产收益之间的相关资产收益之间的相关程度适中时，分散化程度适中时，分散化投资带来益处，能有投资带来益处，能有效降低组合的风险。效降低组合的风险。o从而产生了有效边界从而产生了有效边界(effective frontier)的的概念。概念。55图中说明了两点：图中说

51、明了两点：o第一，对于同一组合比例第一，对于同一组合比例(Wa, Wb)，相关，相关系数较小的组合更能有效降低风险系数较小的组合更能有效降低风险;o第二，对不同的投资组合比例，总有一个第二，对不同的投资组合比例，总有一个适当的组合比例（适当的组合比例（Wa*,Wb*），使得风险），使得风险达到最小。达到最小。56o注意注意：两种情况下的曲线都是凸的，且凸的程度：两种情况下的曲线都是凸的，且凸的程度越大，分散化带来的益处就愈加明显。越大，分散化带来的益处就愈加明显。o请问哪条曲线产生的风险分散程度更好？请问哪条曲线产生的风险分散程度更好？o且且有效边界仅仅是凸边界的上半部分（如段）有效边界仅仅是

52、凸边界的上半部分（如段）o应该说明的是应该说明的是，最优的投资组合不是唯一的，有，最优的投资组合不是唯一的，有效边界表示了效边界表示了“众多的有效组合众多的有效组合”，这里的，这里的“有有效效”是指在增加收益的同时风险也随之变大，或是指在增加收益的同时风险也随之变大，或者在减少风险的同时收益也随之降低。者在减少风险的同时收益也随之降低。o具体的最优组合点的位置取决于投资者的效用函具体的最优组合点的位置取决于投资者的效用函数（效用偏好）数（效用偏好）57o总之，我们进行组合投资是为了分散风险，总之，我们进行组合投资是为了分散风险，并追求尽可能使风险降低到最小，同时又并追求尽可能使风险降低到最小，

53、同时又兼顾收益尽可能的大。兼顾收益尽可能的大。o因而，投资组合问题实际上是最优化问题，因而，投资组合问题实际上是最优化问题，即选择最优的资产组合比例，使得风险尽即选择最优的资产组合比例，使得风险尽可能的小，或者收益尽可能的大。可能的小，或者收益尽可能的大。58为了推导出为了推导出资本市场线（特殊的有效边资本市场线（特殊的有效边界）界）的概念，的概念，o下面假定三种投资资产的组合中有一种是下面假定三种投资资产的组合中有一种是“无风无风险资产险资产”，593. 3. 在平均收益率既定时，风险（方差）在平均收益率既定时，风险（方差）最小的资产投资组合问题的数学描述：最小的资产投资组合问题的数学描述：

54、o欲求最佳的投资份额欲求最佳的投资份额wf,w1wf,w1，w2w2，使得平均收益，使得平均收益率为既定的率为既定的 时，组合投资的风险达到最时，组合投资的风险达到最小：小：122211221212,112212 2( ,). . 1fww wfffMinwVar rwVar rw w Cov r rs tw rw E rw E rwww122211221212,1122 2 ,. .( )( )w wfffMinwVar rwVar rw w Cov r rs tw E rrw E rrr消去消去wf 后后得到两变得到两变量模型量模型604.4.用用LagrangeLagrange乘数法求解

55、带等式约乘数法求解带等式约束的二次规划问题束的二次规划问题)()2(),(221121122222211121wwwwwwwwL首先，构造拉格朗日函数为：首先，构造拉格朗日函数为：其次，其次，L分别对三个自变量分别对三个自变量w1,w2,求偏导数，求偏导数，并令其为零，则得到关于这三个变量的方程组：并令其为零，则得到关于这三个变量的方程组：61采用拉格朗日（采用拉格朗日（LagrangeLagrange）乘数法）乘数法求解求解)3(,)2(, 021) 1 (, 021221122221121212111wwwwww这个方程组比较容易求解，具体的解在此省略。这个方程组比较容易求解，具体的解在此

56、省略。625.5.资本市场线的含义与推导资本市场线的含义与推导o我们欲研究投资组合的平均收益率与最小我们欲研究投资组合的平均收益率与最小风险之间存在怎样的关系？风险之间存在怎样的关系？ o而反映这一关系的，常用而反映这一关系的，常用资本市场线来描资本市场线来描述述。o让我们继续上面的均值让我们继续上面的均值-方差模型。方差模型。o假设它的解假设它的解 是上述方程组的最优是上述方程组的最优解，解，o并记并记）（所决定的最小方差为42,222221122111221wwwwww21,ww63我们试图推导出我们试图推导出的关系与fr把方程组的（把方程组的（1）式乘以）式乘以w1, 加上（加上（2）式

57、乘以）式乘以w2, 并考虑（并考虑（3）式以及最小方差的表达式，我）式以及最小方差的表达式，我们容易得到最优解（最优份额）们容易得到最优解（最优份额）w1 ,w2决定的决定的最小标准差与均值之间的关系式：最小标准差与均值之间的关系式：)5(0212但是，其中还但是，其中还有未知的参数有未知的参数需要解出需要解出64另一方面，我们也可解出另一方面，我们也可解出o根据（根据（1）和（）和（2）组成的方程组，）组成的方程组，当有解时，易求得解为当有解时，易求得解为o再根据（再根据（3），我们得到），我们得到为常数，其中的212211,kkkwkw)6(2211kk65比较（比较（5）式与（）式与（6

58、）式，得到）式，得到)7()(2222crf),(从几何图形角度看，（从几何图形角度看，（7）式可看作是关）式可看作是关于两变量于两变量在平面坐标系中的两条直线的方程：在平面坐标系中的两条直线的方程： fr)7()(2222crf是常数其中，)(222112kkc66由于标准差为非负，由于标准差为非负，o所以，在平面上的图所以，在平面上的图形为两条射线，而没形为两条射线，而没有左半平面的部分有左半平面的部分（Why？），如图所？），如图所示。示。o射线上的点对应的资射线上的点对应的资产组合称为产组合称为组合前沿。组合前沿。资本市场线资本市场线fr资本市场线的图形资本市场线的图形67两条线的经济

59、意义不同两条线的经济意义不同o向上倾斜的直线上的点意向上倾斜的直线上的点意味着味着“平均收益率越大的平均收益率越大的组合，其方差也越大组合，其方差也越大”。这符合我们的要求。这符合我们的要求。o该直线上的前沿组合称为该直线上的前沿组合称为“均值均值-方差有效方差有效”。而向下倾斜的直线上的点，意而向下倾斜的直线上的点，意味着味着“平均收益率越小的平均收益率越小的组合，其方差反而越大组合，其方差反而越大”。该直线上点对应的组合称为该直线上点对应的组合称为“均值均值-方差无效方差无效”。资本市场线资本市场线fr资本市场线的图形资本市场线的图形均值均值-方差方差有效组合有效组合线线68资本市场线上点

60、的经济意义资本市场线上点的经济意义o资本市场线有重要的经济意义，这是因为如果投资本市场线有重要的经济意义，这是因为如果投资者们都遵循资者们都遵循“均值均值- -方差原则方差原则”来选择资产组来选择资产组合的话，那么他们必定都在这条线上寻找适合自合的话，那么他们必定都在这条线上寻找适合自己的投资理念（即厌恶风险的程度）的某一点。己的投资理念（即厌恶风险的程度）的某一点。o在直线不同位置的点对应的风险与收益组合是不在直线不同位置的点对应的风险与收益组合是不同的。同的。只有在有效的投资组合线上，才意味着只有在有效的投资组合线上，才意味着“承担的风险越大，平均收益就越高承担的风险越大，平均收益就越高”