第五章线性微分方程组

1、第五章：线性微分方程组本章教学目的和要求：使学生掌握线性微分方程组解的结构。要求学生熟练掌握求解 常系数线性问粉方程组。熟练掌握常数变易法。本章重点：解的性质与结构，常系数方程组的解法，常数变易法。本章难点：向量函数组的线性相关性，一般理论中的定理证明。本章课时安排：讲16学时，习题及总结测验2学时第五章：线性微分方程组说明：本章所讨论的线性微分方程组仅限与一阶微分方程，从讲义的开头所说的，方程组不仅能在实际中应用广泛，而且她对高阶方程的求解具有不可忽视的作用。不仅如此，方程组的有关定理在近代微分方程理论中也占有重要地位。本章内容：一一阶微分线性方程组及其解的概念；初值问题解的存在和唯一性定理

2、。二.线性方程组及其解的一般理论/包括解的线线性相关性，基本解组和解的结构定理。三.方程组的具体解法。5.1 存在唯一性定理5.1.1 记号和定义引言：在第二章我们研究了含有一个未知函数的微分方程的解法以及它们的性质。但是，在很多实际问题与理论问题中，还要求我们去求解含有多个未知数函数的微分方程组，或者研究它们的解的性质。如空间运动质点P 的速度与 以及坐标的关系式为：又如： 令 化成一阶微分方程组。 用类似的方法，如果在 阶微分方程 中，令 它就可以化成方程组 共同点：出现的未知函数的导数都是一阶的 它 们都是一阶微分方程组。定义： 含有n 个未知数 的一阶微分方程组的一般形式：解的定义：

3、一组函数 使得在 上有恒等式 含有n个任意常数, 的解 (2) 称为（1） 的通解;如果通解满足方程组 (3)则称（3）为（1） 的通积分。满足初始条件的解 称为初值问题的 通解。 研究 特解。为了简洁方便经常采用向量与短矩阵来研究一阶微分方程组（1），令维向量函数 并定义 则（1）可记成向量形式 （4）初始条件可记成 其中 初值问题可记为：这样从形式上看 ，方程组就与一阶微分方程式完全一样了。 i 定义Y 的范数， ii性质略 . iii 按范数收敛概念解存在于唯一性定理第3章Th3.1于是也得到了证明。5.1.2 存在唯一性定理定义：若（4.4）中关于是线性的， 即写成 （1） 我们称（1

4、）为线性微分方程组 阶方程可化成线性方程。介绍某些概念：以后总假定 及在某个区间I ：上连续，而不再每次都加说明。 为方便写成向量的形式 及向量 满足初始条件仍记为 其中 若在I上即 （2）我们把（2）称为线性齐次方程组。若在I上不为零向量，则称非线性齐次方程组。iii解的存在与唯一性定理定理：如果及在I: 上连续则对上任一以及任意给定的，方程组（1）满足初始条件的解在上存在且唯一。5.2 线性线性方程组的一般理论5.2.1 齐次线性微分方程组1线性齐次方程组的通解结构定理4.2： 如果: 是方程组（1）的 m个解，则 （2）也是（1）的解，其中是任意常数。换言之，线性齐次方程组（1）的任何有

5、限个解的线性组合仍为（1）的解。若有（1）的n个解，那么在什么条件下，含有n个任意常数的解。才是齐次方程组（1）的通解呢？为了说明这一问题，我们先给出向量函数线性相关的概念。2 定义4.1:设: (3)是m 个定义在区间I上的n 维向量函数。如果存在m 个不全为零的常数，使得 =0 在区间I上恒成立，则称这m 个向量在区间 I上线性相关。否则，称在区间I上线性无关。两个特殊的情况:如果两个向量函数与的对应分量成比例,即有等式： 则它们在区间I上线性相关。ii如果向量组（3）中有一零向量 则（3）在I上线性相关。例1.向量函数 ，在R上线性无关。例2. ， 在R上线性无关3下面介绍n个n维向量函

6、数组 （4）在其定义区间I上线性相关与线性无关的判别准则。i我们称这些列向量所组成的行列式 为向量组（4）的朗斯基行列式。ii判定定理Th4.3：如果向量组（4）在其区间I上线性相关，则它的朗斯基行列式在I上恒为零。Th4.4：如果 是方程组（1）的n个线性无关解，则它的朗斯基行列式推论4.1：如果向量组（4）的朗斯基行列式在区间I上的某一点处不等于零，则向量组（4）在I上就线性无关。推论4.2：若个解必线性相关。推论4.3：方程组（1）的n个解在其定义区间I上线性无关的充要条件是它的朗斯基行列式在I上的任一点处不为零。4定义基本解组。(1)的n个线性无关解称为方程组的基本解组。例：易知 ，

7、是方程组 的基本解组。定理4.5：齐次方程组(1)必存在基本解组。满足初始条件的基本解组称为方程组（1）的标准的基本解组。5通解定理4.6：如果 是齐次方程组(1)的基本解组，则其线性组合是方程组(1)的通解。推论4.4: 线性齐次方程组(1)的线性无关解的个数不能多于n个。由此可见，齐次方程组(1)的解的全体构成一个n维线性空间。6解与系数关系Th4.7：如果是齐次方程组(1)的n个解，则这n个解的朗斯基行列式与方程组(1)的系数有如下关系式: 这个关系式称刘维尔公式。在代数中常把称为方阵的迹，记为。刘维尔公式也可以表示为作业：133页 2、，45.2.2非齐次线性微分方程组研究线性非齐次方

8、程组 (1)的通解结构与常数变易法.1通解结构 (1)的解,而是对应齐次方程组的解，则是(1)的通解 。 (1)的任意两个解之差是其对应齐次方程组的解。 (1)的通解等于其对应齐次方程组的通解与(1)的一个特解之和。即：是一个特解，是齐次方程组个无关解。2拉格朗日常数变易法 定义（4.18）的基本解矩阵如下：其每列均为(4.18)的解 (i=0,1,n)且 为基本解组。因此， (4.18)的通解可表为 其中求特解.令 5.3常系数线性微分方程组1由TH5.6 的常数变易发法知道,为了求线性齐次方程组（4.18）和线性非齐次方程组（4.16）的通解。只要求方程组（4.18）的一个基本解组就可以了

9、，对于常系数线性齐次方程组 （1）其中A是 阶实常数，矩阵（）原则上可以做到这一点，并且求它的基本解可以归结为代数运算。2对 进行简化，由线性代数知识可知，在非奇异线性变换Y=TZ （2） 其中T= 将方程组（1）变成 （3） 其中 是约当标准型. 而约当标准型与短矩阵A的特征方程。 的特征跟的情况有关，我们把这个方程也称为方程组（1）的特征方程式。.3下面我们讨论特征根情况（两种情形）(1)矩阵A的特征根均是单根的情形 1.设特征根为 ，这时 方程组 （3） 变为 写成纯量的形式可得方程组 (4) 积分方程组得 （3）的解 其中 是任意常数.依次令:可得（3）的N 个解: 把这个解代入（2）

10、中，便可得到（1）的个解其中为矩阵的第列向量易于看出，构成（1）的基本解组，这是因为它们的朗斯基行列式在时为为了求出，只须求出我们来研究求的方法所以有于是根据矩阵的乘法法则即得 （5）这表明是矩阵的对应于特征根的特征向量，为了求出的各个分量只须由（5）的对应方程组 （5）中求出一组解即可。 对于每一个，求得它所对应的一个特征向量。因为诸均为单根，由线性代数知，特征向量组线性无关。于是我们就求得了（1）的一个基本解组可以看到，前面将化为约当标准型，只不过是为了探求（1）的解的形状及求法。实际解题时，并不需要这样做。结论1：如果常系数线性其次方程组（1）的系数矩阵有个互异的特征根而为各根所对应的特

11、征向量，则为（1）的一个基本解组，其中可通过求解方程组（5）而得到。例：试求方程的通解解：它的系数矩阵是 特征方程是 或 特征根为 所对应的解，它应形如 即 令 于是，得到原方程组对应于的一个特解 同理可得： 上述方程组通解为(ii)当特征根是复根时，我们通常希望求出方程组的n个实的线性无关解。 定理3.11 如果实系数线性齐次方程组 有复值解 ，则其实部和虚部 ， 都是齐次方程组的解。 实矩阵A的复特征根一定共轭成对地出现。即如果是特征根，则其共轭复数也是特征根。这时，方程组对应于的复解的形式是 由Th3.11 （2）的实部与虚部也是方程组的解。（注A是实的）于是， 所对应的解，可取 所对应的解的实部与虚部，用实部与虚部来代替。可以证明。最后得到的n个解仍组成基本解组。第五章 线性微分方程组小结 线性微分方程组理论是微分方程理论中非常值得重视的一部分内容，无论从应用的角度或从理论的角度来说，本章所提供的方法和结果都是重要的，它是进一步学习常微分方程理论和其他有关课程的必不可少的基础知识，掌握本章内容必须注意以下几点：1. 理解线性微分方程组解的存在唯一性定理，进一步熟悉和掌握逐步逼近法，要熟悉向量与矩阵的表述方法。2. 掌握线性微分方程组的一般理论主要是了解它的所有解的代数结构问题。这里中心问题是齐次线性微分方程组的基本解矩阵的概念。有了基