高量13-空间对称性和守恒定律

1、1 第四章第四章 对称性理论对称性理论 1919 空间对称性和守恒定律空间对称性和守恒定律 19-1 19-1 概述概述 研究时空变换和相关的算符研究时空变换和相关的算符 研究变换下的对称性和相应的守恒定律研究变换下的对称性和相应的守恒定律 空间平移对称性与动量守恒空间平移对称性与动量守恒 空间转动对称性与角动量守恒空间转动对称性与角动量守恒 时间平移对称性与能量守恒时间平移对称性与能量守恒 空间反演对称与宇称守恒空间反演对称与宇称守恒 量子力学相移对称与电荷守恒量子力学相移对称与电荷守恒 二、对称性和守恒定律二、对称性和守恒定律 一、研究内容一、研究内容 2 19-2 19-2 空间对称变换

2、空间对称变换 一、位置变换一、位置变换 A B A B Q 设变换设变换 是三维位形空间的算符，它将点是三维位形空间的算符，它将点 变为另一点变为另一点 Qr r rrQ（19.1） 对每一个对每一个 都有确定值。都有确定值。r r, 变换变换 是不改变任何两点距离的那些变换：是不改变任何两点距离的那些变换： Q 3 对称变换群：对某些物理系统，若位置变换的一个对称变换群：对某些物理系统，若位置变换的一个 集合集合 是此系统的对称变换，即保持这个是此系统的对称变换，即保持这个 系统不变的变换，则这个集合必构成一个群，称为系统不变的变换，则这个集合必构成一个群，称为 这个系统的对称变换群。这个系

3、统的对称变换群。 ), 3 , 2 , 1(iQi 满足群的四个条件：满足群的四个条件： 1 1单位元存在：单位元存在： rr 1 1Q 2 2结合律成立：结合律成立： 321321 )()(QQQQQQ 3 3封闭性：封闭性： 21Q QQ 4 4逆元存在：逆元存在： ,rQrrQr 1 QQ 4 二、态函数的变换二、态函数的变换 态函数态函数 用算符用算符 作一个整体的变换。作一个整体的变换。 rr )(Q 整体变换：新函数在新点处的值等于老函数在老点上整体变换：新函数在新点处的值等于老函数在老点上 的值，即的值，即 )()(rr)()(rr Q )()( 1r r Q （19.3） 新老

4、函数的关系用一个新老函数的关系用一个函数空间的变换算符函数空间的变换算符 表示：表示： )( QD )()()( )( 1r rr QQD 变换不影响其归一化，变换不影响其归一化， 是幺正算符：是幺正算符：)( QD 1)( )( )( )( QDQDQDQD （19.4） 5 考虑连续两次变换：（考虑连续两次变换：（ 只对只对 作用作用） Qr )()()( )()( )( 1 1 1 2 1 2121 rrr QQQQDQDQD )()( )()( 21 1 21 1 1 1 2 rrrQQDQQQQ )( ) )( 2121 QQDQDQD得得 )( QD构成一个群。构成一个群。 （19

5、.5） 群群 与群与群 是什么关系呢？是什么关系呢？ Q )( QD 1) 1 ( )( )( )( 11 DQQDQDQD )( )( 11 QDQD 由于由于 所以所以 （19.6） 同态同态，即，即 )( QDQ 6 三、态矢量的变换三、态矢量的变换 在在Hilbert空间中，状态空间中，状态 经过变换经过变换 之后成为新之后成为新 态态 ，则可定出一个幺正变换算符，则可定出一个幺正变换算符 ： Q )(QD )(QD（19.7） 由于由于 rr )(rr)()()()( )( 1r rr QQD 可得可得 rrrr 1 )( )( QQD rrr 1 )( )( QQDQD 即即 所以

6、所以 rr 1 )( QQD（19.8） rr)( )(QDQD（19.9） 7 (19.8)：Hilbert空间中空间中D(Q)的定义式。的定义式。 (19.9)： 与与 的形式关系。的形式关系。 )(QD)( QD 右矢形式：右矢形式： rrr 11 )()( QQDQD rr 1 )( QQD rr)(QDQ rrQQD)( )(QD两边乘两边乘 , ,有有 rrQ令令，得，得 即即 8 四、算符的变换四、算符的变换 设对称变换前，设对称变换前， A 现在分别对现在分别对 ， 作对称变换作对称变换Q，即，即 )(QD)(QD A ， 则则 )()( 1 QADQDA 9 rrrR 对位置

7、算符对位置算符R，其本征值方程为，其本征值方程为 rrrR)()()()( 1 QDQDQDQD 所以所以 rrrRQQ rrrRQQQ 有有 rrrRQQQ 1 )()( 11 QDQDQ RRR （19.13） （19.14） 用用D(Q)作用，得作用，得 用用Q-1作用在等式作用在等式 （本征值为（本征值为Qr的的R的本征方程）的本征方程） 因为因为|Qr为任意矢量，所以比较（为任意矢量，所以比较（19.13）和（）和（19.14）, 得得 10 3 1i ii R eRR的双重身份：的双重身份： Hilbert空间中的算符，空间中的算符， 只对只对 作用作用 位形空间中的矢量，位形空间

8、中的矢量， 只对只对 作用。作用。 )(QD i R 1 Q i e )()( 11 QDQDQ RRR 11 19-3 19-3 空间反演空间反演 一、空间反演算符一、空间反演算符 rrP rr)(PD 通常通常: : , 1PP PPP11 PPD)(rrP， PP 1 根据根据19.419.4式：式： )()( rrP 1 2 P ， 空间反演群空间反演群 ： P, 1 函数空间的空间反演算符函数空间的空间反演算符 : : P PP 1 )()()( 1r r QQD和和 空间反演变换空间反演变换 的定义是：的定义是： P 空间反演算符空间反演算符 是：是： P ， 12 偶宇称偶宇称

9、奇宇称奇宇称 无确切宇称无确切宇称 )( )( )()( r r rrP 其他情况其他情况 因为因为 ，所以，所以 的本征值为的本征值为 ： 1 2 PP 1 空间反演算符既是幺正算符空间反演算符既是幺正算符 PPP 1 1 PP PP 又是厄米算符又是厄米算符 与与 相应的左矢形式为：相应的左矢形式为：rrP rPrPrPr 13 二、算符在空间反演下的变换二、算符在空间反演下的变换 1位置算符位置算符R rrrrrRrRPPPPP)()(rRrr RRPP )( )()()( )( )( rrrrrrRrRRPPPP RR PP 在在Hilbert空间中：空间中： 所以所以 在函数空间中：

10、在函数空间中： 所以所以 （19.23） （19.24） 14 prpr pr i e pprrprrp PP pPpppppp)pPpPPPPPP( PPPP 2动量算符动量算符P 由于由于 则则 所以所以 （19.25） （19.26） 15 LP(R)PRL)()()(PPPPPP LL PP PPPPPLLL 即即P与与L对易对易 3轨道角动量算符轨道角动量算符L 所以：所以： 共同的本征函数是球谐函数共同的本征函数是球谐函数 （19.27） 16 矢量算符矢量算符：在空间反演下改变符号，如：在空间反演下改变符号，如R,P 轴矢量（赝矢量）算符轴矢量（赝矢量）算符： 在空间反演下不变，

11、如角动量算符在空间反演下不变，如角动量算符L 并规定自旋算符是轴矢量算符。并规定自旋算符是轴矢量算符。 真标量：真标量：在空间反演下在空间反演下不不改变符号改变符号 赝标量：赝标量：在空间反演下改变符号在空间反演下改变符号 17 19-4 19-4 空间平移空间平移 、平移群、平移群 无限小空间平移变换无限小空间平移变换 )( dQ r)rrddQ( （19.28） )r)2r(2(QQ)(Q不是线性算符不是线性算符， 得得 )()()( )( 1 dr)rrr dQdD )() 1 ()()(rPrrd i d P 1)( d i dD 即即 在位置表象中，将在位置表象中，将 作用于态函数作

12、用于态函数 上，上， )( dD)(r 18 )( )( )( )( )( dDdDdDdDD P P ) 1 (lim i n n e n i 对于有限的平移，有对于有限的平移，有 （19.30） )( D是线性算符，是线性算符， 与与 同构。同构。 )( D)(Q 19 二、态矢量的平移算符二、态矢量的平移算符 在在Hilbert空间中，有空间中，有 )(D （19.31） P i eD)( （19.32） 由由 ，知，知 rrQQD)( r)rr)(QD（19.33） 所以态矢量的平移算符正是位置本征矢量的上升算符所以态矢量的平移算符正是位置本征矢量的上升算符 )( Q 20 三、位置算

13、符和动量算符的平移变换三、位置算符和动量算符的平移变换 对位置算符对位置算符R：由（：由（19.15）式）式 )()( 11 QDQDQ RRR 得得 RRRR )()()( 11 QDD（19.34） 对动量算符对动量算符P，由，由 P i eD)(知知 0(P),D 所以所以 PPP )()( 1 DD （19.35） 即动量算符在平移变换下是不变的。即动量算符在平移变换下是不变的。 21 19-5 19-5 空间转动空间转动 一、空间转动和转动群一、空间转动和转动群 rnrrrrnrdddQ)( 绕绕n轴转轴转 角的无限小转动算符角的无限小转动算符 ：d )(dQ n 3D正当转动群：绕

14、所有的轴转一切角度的正当转动正当转动群：绕所有的轴转一切角度的正当转动 算符的集合算符的集合 构成的群。构成的群。 )(nQ 22 二、函数空间和二、函数空间和Hilbert空间中的转动算符空间中的转动算符 )()()( )( 1 rnrnrdQdD )()()(rrnrrnrdd )()1 (rLnd i （由（由19.4） （略高阶项）（略高阶项） 函数空间中：函数空间中： Lnnd i dD 1)( Ln Lnn i m m e m i D)1 (lim)( （应用（应用 和和 ）CBACBA iP 在位置表象中态函数在位置表象中态函数 的转动变换是的转动变换是 )(r 23 Hilbe

15、rt空间中：空间中： Lnnd i dD 1)( Ln n i eD)( 24 三、算符的变换三、算符的变换 位置算符位置算符R )()( 1 dDdDnRnR )1 ()1 (LnRLnd i d i RLnLnRRLnR 2 2 2 )( )( )()( d d i d i ,RLnRd i 0)( 2 d 25 jR, ji ij i RLnd i jR k ijk iijk Rnid i RnRnR)( 1 dQd ijk jiijk BA k eBA ijk ：Levi-Civita symbol （6.19）式）式 26 四、标量算符和矢量算符四、标量算符和矢量算符 2.动量算符动

16、量算符P和角动量算符和角动量算符L： PnPnPnPnP)()()( 11 dQddDdD LnLnLnLnL)()()( 11 dQddDdD 1.1.标量算符：在转动下不变得单分量算符，满足标量算符：在转动下不变得单分量算符，满足 SSDD )()( 1 nn0)(,dDSn 2.2.矢量算符：在矢量算符：在3D位形空间转动下，函数空间或位形空间转动下，函数空间或 Hilbert空间中与位置算符有同样变换特性的三分空间中与位置算符有同样变换特性的三分 量算符量算符，满足满足 VnnVn)()()( 11 QDD 或或 27 标量和矢量算符按空间反演变换下的性质分别有标量和矢量算符按空间反演

17、变换下的性质分别有 “真真”和和“赝赝”或或“真真”和和“轴轴”之分。之分。 矢量算符的任意分量与轨道角动量算符的任意分量矢量算符的任意分量与轨道角动量算符的任意分量 的对易关系：的对易关系： VmnVmL,n i 28 五、自旋空间中的转动变换五、自旋空间中的转动变换 k kijkji SiSS, Sn n i eD)( 自旋是一种角动量，自旋是一种角动量，S与与L一样是轴矢量，即在空间反一样是轴矢量，即在空间反 演下不改变符号；演下不改变符号；S与与L三个分量的对易关系类似：三个分量的对易关系类似： 自旋空间中与空间转动自旋空间中与空间转动 对应的对应的 变换算符变换算符 为：为： )(d

18、Q n )(dD n 29 在带有自旋粒子的态空间（直积空间）中：在带有自旋粒子的态空间（直积空间）中： 空间平移算符为空间平移算符为 ，并只对位形，并只对位形 HilbertHilbert空间有作用；空间有作用； P i eD)( 空间反演算符为空间反演算符为 ，对自旋算符的作用为，对自旋算符的作用为 rrP SSPP 空间转动算符为空间转动算符为 JnSnLn n iii eeeD)( 30 19-6 19-6 空间变换对称性和守恒定律空间变换对称性和守恒定律 、系统在空间变换下的对称性、系统在空间变换下的对称性 系统在某一空间对称变换下具有不变性或对称性，系统在某一空间对称变换下具有不变性或对称性， 不是指系统在变换后状态不变，而是指系统在变换不是指系统在变换后状态不变，而是指系统在变换 前后运动规律不变。前后运动规律不变。 设系统的运动满足设系统的运动满足SchrdingerSchrdinger方程方程 )()(tHt t i