常微分方程学习辅

1、常 微 分 方 程 学 习 辅 导（一）初 等 积 分 法微分方程的古典内容主要是求方程的解，用积分的方法求常微分方程的解，叫做初等积分法，而可用积分法求解的方程叫做可积类型。初等积分法一直被认为是常微分方程中非常有用的基本解题方法之一，也是初学者必须接受的最基本训练之一。在本章学习过程中，读者首先要学会准确判断方程的可积类型，然后要熟练掌握针对不同可积类型的5种解法，最后在学习指导下的帮助下，总结一下初等积分法中的各种解法与特点与内在联系，以提高自己的解题能力与技巧。主要内容回顾一、主要概念微分方程：含有未知函数的导数（或微分）的等式。常微分方程：未知函数是一个变元的函数，由这样的函数及其导

2、数构成的等式。偏微分方程：未知函数是两个或两个以上变元的函数，由这样的未知函数及其偏导数构成的等式。微分方程的阶：在微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶。微分方程的解：一个函数代入微分方程中去，使得它成为关于自变量的恒等式，称此函数为微分方程的解。通解：n阶方程，其解中含有n个（独立的）任意常数，此解称为方程的通解。由隐式表出的通解称为通积分。特解：给通解中的任意常数以定值，所得到的解称为特解，由隐式给出的特解称为特积分。初值问题：求微分方程满足初值条件的解的问题。变量可分离方程：形如 或 的方程称为变量可分离方程。齐次微分方程：形如的方程，称为齐次微分方程。 线性微分方程：未知

3、函数和它的导数都是一次的微分方程。一阶线性微分方程：一阶线性微分方程的形式是 如果,即 称为一阶线性齐次方程。如果不恒为零，则称为一阶线性非齐次方程。 伯努利（Bernoulli）方程：形如 () 的方程，称为伯努利方程。全微分方程：如果微分形式的一阶方程 的左端恰好是一个二元函数的全微分，即 则称是全微分方程或恰当方程，而函数称为微分式的原函数。积分因子：假如存在这样的连续可微函数，使方程成为全微分方程，我们就把称为方程的一个积分因子。二、主要定理定理1.1 假如是微分的一个原函数，则全微分方程（5）的通积分为 ，其中C为任意常数。定理1.2 如果方程中的在矩形区域 上连续可微，则方程（5）

4、是全微分方程的充要条件是：在R上有三、基本解法初等积分法中有5中基本解法，每中解法所对应的可积类型可归纳如下：对于导数已解出的一阶方程，有分离变量法常数变易法 积分因子法：化成全微分方程，按全微分方程求解。对于导数未解出的一阶方程有参数法对于高阶方程有降阶法教学基本要求1了解常微分方程、常微分方程的解的概念，掌握常微分方程方程类型的判断方法。2了解变量分离方程的类型，熟练掌握变量分离方程解法。3了解齐次方程的类型，熟练掌握齐次方程（即第一类可化为变量可分离的方程）的解法。4了解一阶线性方程的类型，熟练掌握常数变易法，掌握伯努利方程的解法。5了解全微分方程的类型及积分因子概念，熟练掌握全微分方程

5、及简单积分因子的求法。6了解一阶隐式微分方程的可积类型，掌握隐式方程类型I、II的参数解法7了解可降阶的高阶方程的可积类型，掌握高阶方程的三种降阶法。8学会对应用问题建立常微分方程的一般步骤。重难点解析1初等积分法简史1676年Leibniz在Newton的信中，首次提出了“微分方程”这个名称。Leibniz在1691年给出了一阶方程的变量分离法和齐次方程解法，一阶线性方程的解法和Bernlulli方程的解法也是由Leibniz分别在1694年和1695年完成的。17331735年，Euler提出了全微分方程（恰当方程）和积分因子的解法以及通解、特解等概念。1694年，Leibniz和John

6、 Bernoulli提出了等角轨迹问题，而等角轨迹与正交轨线的解法是1715年由Newton完成的。这样，求解一阶方程的主要初等积分法到1715年都已清楚了。2关于通解的定义在微分方程发展的早期，通解是作为一个方程全部解的共同表达式加以理解的，后来，在具体应用上遇到许多困难：首先，判断一个解的表达式是否已表示了全部解是困难的；其次，这样的表达式是否一定存在也是一个问题。11节所给出的通解的定义，其主要功用在于，如果通解表达式存在，由于通解中的任意常数是独立的，这样对于一定范围内给出的初值条件，可以确定出初值问题解。从这个意义上讲，通解包含了一个方程的全部解。3通解是否一定包含了全部解不是。例如

7、，1.1节中的方程有通解，另外该方程还有常数解不包含在通解中。4是否任何一个方程都有通解不是。例如，方程，只有解，而无含任意独立常数的通解。5常微分方程与其它方程的关系我们学过的方程主要有两类方程。第一类是代数方程和超越方程。例如，在方程 中，对未知数所施加的是代数运算，因此，它们都是代数方程。在方程 中，出现了对未知量的超越方程。第二类是隐函数方程，例如 （设是自变量，则是未知函数），两类方程都是要求解，然而，第一类方程的解是求未知量的某些个特定值，第二类方程是要求由方程所确定的某个函数。一般地，第二类方程统称为函数方程。从这个问题上讲，常微分方程是最要的函数方程的一种。6一阶显式方程初等积

8、分法的内在关系用积分因子的观点可以把1.2节1.5节所介绍的五种可积类型方程（变量可分离方程，齐次方程，线性方程，伯努利方程几及全微分方程）如图所示：变量可分离方程 线性方程齐次方程 全微分方程 坐标 平移 伯努利方程 一阶显式方程可积类型关系图7积分因子是否唯一不是。例如，考虑方程，显然它不是全微分方程。但是，因为 所以，都是此方程的积分因子。一般地，设是方程的一个积分因子，于是存在二元函数，有。现对于的任一连续函数，由于其中是的一个原函数，可见也是方程的积分因子，因而方程有无穷多个积分因子。8判断题型的顺序为了熟练掌握初等积分法，不仅要掌握每种可积类型方程的解法，而且还要正确而又敏捷地判断一个给定方程属于何种可