2019-2020学年高中数学北师大版选修2-1练习：第三章2.2抛物线的简单性质(二)2Word版含解析VIP

1、训练案一知能捉升A.基础达标1. 抛物线y= ax2 + 1与直线y= x相切，则a等于（）1A. 8解析:D. 1y = ax? + 1,选B.由/消去y整理得ax2 - x+ 1 = 0,y= x由题意2a 丰 0, A= (- 1)2- 4a1A, B两点，贝U cos/=.所以 a= 4.2. 已知抛物线 C: y2= 4x的焦点为F，直线y= 2x-4与C交于AFB =()4C.3D.x= 1 ,x= 4,得或y=- 2 y= 4.y2= 4x,解析：选D.由y= 2x- 4,令 B(1,- 2), A(4, 4),又 F(1 , 0),所以由两点间距离公式，得|BF|= 2，|AF

2、|= 5, |AB|= 3 .5,所以cos厶FB =|BF|2 + |AF2 - |AB|22|BF| AF|4+ 25 - 452X 2X 545.（非原点），当OA 0B最小时，OA, OB所在两条直丄2 h2 2- -X B D3. A, B是抛物线x2= y上任意两点 线的斜率之积koA koB=()1A. 2C. 3解析：选B.由题意可设A(xi, x2),0A= (xi, xi), OB = (x2, x2),f f2OA OB = X1X2+(X1X2)1 211=(X1X2+2) 4- 41 f f 当且仅当X1X2=- 2时OA OB取得最小值.2 21此时 koA koB

3、 = X2= X1X2=- T.X1 X224. 设抛物线 C: y2 = 2px（p0）的焦点为F，点M在C 上, |MF |= 5若以MF为直径的圆 过点（0, 2），则C的方程为（）A . y2= 4x 或 y2= 8xB. y2= 2x 或 y2= 8xC. y = 4x 或 y = 16xD. y2= 2x 或 y2= 16x解析：选C.设M(xo, yo), A(0, 2), MF的中点为N.由 y2= 2px, F(2, 0),丄Pxo+ 2所以N点的坐标为(,罗).由抛物线的定义知，xo + p = 5,所以xo= 5号.所以 yo= 2p (5 P).所以 |AN|= JM2

4、FJ= 5,所以 |AN|2= 4p-2丿2 2 yo 225所以(一2 ) + (牙-2)=整理得 p2 10p+ 16= 0.254 .x卄解得p= 2或p= 8.所以抛物线方程为 y2= 4x或y2= 16x.2 15. 已知抛物线 C的方程为x = 2y,过点A(0, 1)和点B(t, 3)的直线与抛物线 C没有公共点，则实数t的取值范围是()A.(m,1) U (1 ,+a )221、B.(m,f)u Cf，)C.(m,2 2)U (2 ,2,+a )D.(m,2) U ( . 2,+ )2 1解析：选D.当AB的斜率不存在时，x= 0,其与x2 = y有公共点，不满足要求；当 AB

5、 的斜率存在时，可设 AB所在直线的方程为y= kx 1,代入x2=*y,整理得2x2 kx+ 1 = 0,224 222= ( k) 4 x 20 ,得 k 8, B(t, 3)在 y= kx 1 上即 3= kt 1, (f) = k 2 得 t ( a, .2)L( 2 ,+R).6. 过抛物线y2= 2px(p0)的焦点F的直线与抛物线交于 A、B两点，若A、B在准线上 的射影为B1，则/ A1FB1等于.解析：如图，由抛物线定义知|AA1|= |AF|, |BB1|= |BF|，所以/ AA1F = Z AFA1,又/AAjF=Z A1FO,所以 / AFAi= / AiFO, 同理

6、/ BFBi = Z BiFO, 于是/ AFAi + Z BFB i = Z AiFO + Z BiFO = Z AiFB i. 故 Z AiFBi = 90答案：907. 已知抛物线xi i 33 i+ |BB )=2(|FA|+ |FB|) 2AB|= 2x 3= 2，则 M 到 y 轴的距离 d 2 = i(当且仅当AB过抛物线的焦点时取“=”)，所以dmin = i，即M点到y轴的最短距离为i.答案：i9. 已知抛物线 y2= i2x和点P(5, 2)，直线I经过点P且与抛物线交于 A、B两点，O 为坐标原点.(1) 当点P恰好为线段AB的中点时，求I的方程；(2) 当直线I的斜率为

7、i时，求 OAB的面积.解：设 A(Xi, yi), B(x2, y2),因为A、B在抛物线上， 所以 yi= i2xi, y2= 12x2,两式相减，得(yi + y2)(yi讨2 = i2(xi X2). 因为P为线段AB的中点， 所以 Xi*，又 yi+ y2= 4,= 4y的焦点为F,经过F的直线与抛物线相交于 A, B两点，则以AB 为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是 .解析：由题意知满足题意的 AB所在直线的斜率存在， 故AB所在的直线方程可写为 y= kx+ i，代入x2= 4y, 整理得 x2 4kx 4 = 0,xi+ X2= 4k,由 y= kx+ i 可得 yi +

8、 y2= kxi+ i + kx2 + i = 4k2 + 2, |AB|= yi + y2+ p = 4k2 + 4,故所截弦长=2 (2k2+ 2) 2( 2k2+ i) 2= 2 4k2 + 3 2.3,当 k= 0 时弦长取最小 值.答案：2 .3&已知定长为3的线段AB的两个端点在抛物线 y2= 2x上移动，M为AB的中点，贝V M点到y轴的最短距离为 .i 解析：如图所示，抛物线 y2= 2x的准线为I: x =-，过点A、B、M分别作AA、BB、MM垂直于I,垂足分别为 A、B、M 由抛物线定义知|AAi|=|FA|, |BB、=|FB|又M为AB中点，由梯形中位线定理得 |MM

9、、= (|AA|所以 k =y2 =生=3,xi X2yi + y2所以直线I的方程为y 2= 3(x 5)，即3x y- 13= 0.经验证适合题意.(2)由题意知I的方程为y 2= 1 (x 5)即y= x 3.y= X 3，2由 $得 x若 P(2, 1)，求证：|FP|=|FQ|; 已知M(0 ,y),过M点且斜率为多的直线与抛物线 C交于A、B两点，若Am= 沁(1), 求入的值.解：(1)证明：由抛物线定义知|PF|= y+ 1 = 2,设过P点的切线方程为y 1 = k(x 2),y 1 = k (X2),2由彳得 x 4kx+ 8k 4 = 0,x2= 4y令= 16k2 4(

10、8k 4) = 0 得 k= 1,可得PQ所在直线方程为y= x 1,所以得Q点坐标为(0, 1),所以 |QF|= 2,即 |PF|=|QF|.设 A(X1 , y1) , B(X2 , y2),又 M 点坐标为(0 , y0),所以AB方程为y=齐+ y0 ,厂2x = 4y ,2由X0得 x 2xx 4y0 = 0.y=尹+ y02所以 X1 + X2= 2x0 , X1X2= 4y0= X0 , 18x+ 9= 0.y2= 12x设 A(X1, y1), B(X2, y2),则 X1+ X2= 18,仆2= 9.所以 |AB|=- 1 + k2”(X1 + X2)2 4X1X2=.2

11、324 36= 24.3又点O到直线x y 3= 0的距离d =113所以 Szoab = 2|AB|10. 如图，设抛物线C: x2= 4y的焦点为F , P(Xo, yo)为抛物线上的任一点(其中xo* 0), 过P点的切线交y轴于Q点.由AM = ?MB得：(一X1, y yj=入(X2, y2 y),所以X1 =入x(1 R X2= 2x0,222由知$22得(1 R X2= 4入x,由X0丸可得X2和，“2= x0,所以(1 R2 = 4 入又 Z1,解得 =3 + 2y2.B.能力提升1. 已知抛物线y2= 2px(p0)与圆(x a)2+ y2=r2(a0)有且只有一个公共点，则

12、()A . r = a = pB. r = a pC. ra pD. ra= p解析：选B.当r0)与抛物线2 .y = 2px(p0)要么没有交点，要么交于两点或四点，与题意不符；当ra时，易知圆与抛物线有两个交点，与题意不符；当r=a时，圆与抛物线交于原点，要使圆与抛物线有且只有2 2 一个公共点，必须使方程 (x a) + 2px= r (x 0)有且仅有一个解2. 如图，已知抛物线的方程为P, Q两点，点B的坐标为(0, 1),M , N两点.如果 QB的斜率与 PBx= 0,可得a0)，过点A(0，- 1)作直线I与抛物线相交于 连接BP, BQ,设QB, BP的延长线与x轴分别相交

13、于 的斜率的乘积为一3，则/ MBN的大小等于()*yJ .0 WHnA.y2n解析：选D.由题意设P(x1,nBTnD222p)(xi枚2),设PQ所在直线方程为y= kx 1代入x2 = 2py,整理得:x2 2kpx+ 2p = 0,22X2X1一 1 一 1 ,_2p12p1kQB = v , kPB = v , X2X1xi + X2= 2kp,则XiX2= 2p.可得 kQB+ kpB = 0,又因为 kQB kpB = 3,nn所以 kQB=3, kPB = .3，即/BNM = 3，/BMN =-,n 所以 / MBN = n Z BNM / BMN =孑.的焦点为F,过点M(

14、2, 0)的直线与抛物线相交于 A, B两点，与BF| = 2则豐=.1 1所以B的横坐标为2，不妨设B的坐标为(-, ,2)，所以AB的方n3 设抛物线y2= 4x抛物线的准线交于点 C,3解析：因为|BF|= 3, 程为y=弩以一2),3，代入y2 2 |AF|2 + |BF|2+ |FA| |FB| (|AF|+ |BF|) 2 1 = 4x,得2x2- 17x+ 8 = 0,解得x= *或8，故点A的横坐标为8故A到准线的距离为8 + 1 = 9.3Szbcf |BC| B到准线的距离 21Szacf=AC= A到准线的距离9 = 6.1答案：164. 抛物线y2= 2px(p0)的焦

15、点为F,已知点A, B为抛物线上的两个动点，且满足/ AFB=120。，过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线 MN，垂足为N，则普界的最大值为 .IABI解析：由余弦定理，得 |AB|2= |AF|2+ |BF|2-2|AF|BF|COS 120=AFf+ |BF|2+ |AF| |BF|,1 1过 A, B 作 AA, BB垂直于准线，则 |MN| = (|AA出 |BB) =?(|FA|+ |FB|),所以测=lfA壘|AB| 2|AB| _|FA|+ |FB|2、|AFf+ |BF|2 + |FA|FB|1y= 3x 2 3交 C 于 A、B 两答案：f25. 已知抛物线C: y 点，与x

16、轴相交于点F.(1)求抛物线方程及其准线方程；已知点M( 2, 5)，直线MA、MF、MB的斜率分别为k1、k?、k3,求证：k?、屁成等差数列.解：因为抛物线 C: y2= 2px(p0)经过点P(2, 4), 所以42= 2pX 2,所以p= 4,所以抛物线的方程是 y2= 8x,所以抛物线准线方程是x= 2.(2)因为直线I: y= 3x 2 3与x轴相交于点F , 所以 F(2, 0).因为 M( 2, 5)，所以 k2= 5 0 = 4.2 2 4y=x 2羽,设 A(xi, yi)、B(x2, y2),由方程组 f得y2= 8x23x 20x+ 12= 0.汁20,法一：Xi +

17、X2= , XiX2 = 4.yi 5 x 3xi 2-詁 3 5 ?所以ki =Xi+ 2Xi+ 2y2 53x2 2,3 5X2+ 2k3=X2+ 2所以ki + k3=(X2+ 2)( ,3X1 2 .3 5) + ( Xi + 2)( . 3x2 2 3 5)(Xi + 2)( X2+ 2)2 ；3xiX2 5 (xi + X2) 8 : 3 20X1X2 + 2 ( Xl+ X2)+ 42勺3 X 4 X 5 8 可3 20 32o4 + 2X + 45=2， 所以 ki + k3= 2k2, 所以ki、k2、k3成等差数列.2X2 = 3，4 ;33 ，xi = 6，法二：yi = 4 3，y2=即 A(6, 4 3)、B(3，乎)，所以ki =xi+ 2yi 54 .3 5y2 5厂，k3 = R4百3 54 ;3 + i52c =8，+ 23十5所以 ki + k3= 2，所以 ki+ k3= 2k2,所以ki、k2、k3成等差数列.6. （选做题）已知抛物线E的顶点在原点，焦点为 F（2, 0）,（1）求抛物线方程；过点T（t，0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B, C, D四点，且M , N分别为线段AB，CD的中点，求 TMN的面积最小值.解：（1）由题意知，p = 4,故所求抛物线方程为y2= 8x.（2）根据题意得AB, CD的斜率存在，1