系统稳定性意义以及稳定性的几种定义

1、、引言:研究系统的稳定性之前，我们首先要对系统的概念有初步的认识。在数字信号处理的理论中，人们把能加工、变换数字信号的实体称作系统。由于处理数字信号的系统是在指定的时刻或时序对信号进行加工运算，所以这种系统被看作是离散时间的，也可以用基于时间的语言、表格、公式、波形等四种方法来描述。从抽象的意义来说， 系统和信号都可以看作是序列。但是，系统是加工信号的机构，这点与信号是不同的。人们研究系统还要设计系统，利用系统加工信号、服务人类，系统还需要其它方法进一步描述。 描述系统的方法还有符号、单位脉冲响应、差分方程和图形。电路系统的稳定性是电路系统的一个重要问题，稳定是控制系统提出的基本要求，也保证电

2、路工作的基本条件； 不稳定系统不具备调节能力，也不能正常工作， 稳定性是系统自身性之一，系统是否稳定与激励信号的情况无关。对于线性系统来说可以用几点分布来判断， 也可以用劳斯稳定性判据分析。对于非线性系统的分析则比较复杂，劳斯稳定性判据和奈奎斯特稳定性判据受到一定的局限性。二、稳定性定义：1、是指系统受到扰动作用偏离平衡状态后，当扰动消失，系统经过自身调节能否以一定的准确度恢复到原平衡状态的性能。若当扰动消失后，系统能逐渐恢复到原来的平衡状态， 则称系统是稳定的，否则称系统为不稳定。稳定性又分为绝对稳定性和相对稳定性。绝对稳定性。如果控制系统没有受到任何扰动，同时也没有输入信号的作用，系统的输

3、出量保持在某一状态上，则控制系统处于平衡状态。（1）如果线性系统在初始条件的作用下，其输出量最终返回它的平衡状态，那么这种 系统是稳定的。（2） 如果线性系统的输出量呈现持续不断的等幅振荡过程，则称其为临界稳定。（临界稳定状态按李雅普洛夫的定义属于稳定的状态，但由于系统参数变化等原因， 实际上等幅振荡不能维持，系统总会由于某些因素导致不稳定。 因此从工程应用的角度来看，临界稳定属 于不稳定系统，或称工程意义上的不稳定。 ）（3）如果系统在初始条件作用下，其输出量无限制地偏离其平衡状态，这称系统是不 稳定的。实际上，物理系统的输出量只能增大到一定范围，此后或者受到机械制动装置的限制， 或者系统遭

4、到破坏， 也可以当输出量超过一定数值后， 系统变成非线性的， 从而使线性微分 方程不再适用。因此，绝对稳定性是系统能够正常工作的前提。相对稳定性。 除了绝对稳定性外， 还需要考虑系统的相对稳定性， 即稳定系统的稳定程 度。因为物理控制系统包括一些储能元件， 所以当输入量作用于系统时， 系统的输出量不能 立即跟随输入量的变化， 而是在系统到达稳态之前， 它的瞬态响应常常表现为阻尼振荡过程。 在稳态时，如果系统的输出量与输入量不能完全吻合，则称系统具有稳态误差。2、一个系统对任意有界的输入，其零状态响应也是有界的，则该系统称为有界输入有界输出稳定系统。即设 Mt, My为正实常数，如果系统对于所有

5、的激励|f (t ) =Mt，其零状态响应为|y ( t)|=My则系统是稳定的。对于不稳定系统来说，不能断言其输出幅值为有 界。3、线性系统在初始条件为零时， 输入理想单位脉冲函数3 ，这时系统的输入称为单 位脉冲响应。若线性系统的单位脉冲响应函数随时间趋于零,则系统稳定。 若趋于无穷,则系统不稳定。若趋于常数或者等幅振荡,这时趋于临界稳定状态。一般反馈系统如图,此时系统的传递函数为,系统的特征方程为1+G(s)H(s)=0, 如果特征根落在 s 复平面的左半部分,系统就是稳定的。证明：系统输入理想单位脉冲函数3 (t) ,它的 Laplace 变换函数等于 1,所以系统输出的 Laplac

6、e 变换为,式中, si (i=1,2 , .,n )为系统特征方程的根,也就是系统的闭环 极点。设 n 个特征根彼此不等,并将上式分解成部分分式之和的形式,即,式中,ci(i=1,2,n )待定系数，其值可由Lap lace变换方法确定。对上式进行 Laplace 反变换,得到系统的脉冲响应函数为。可以看出,要满足条件,只有当系统的特征根全部具有负实部方能实现。因此, 系统稳定的充要条件：系统的特征方程根必须全部具有负实部。反之,若特征根中有一个以上具有正式部时, 则系统必为不稳定。 或者说系统稳定的充分必要条件为： 系统 传递函数的极点全部位于 s 复平面的左半部。若有部分闭环极点位于虚轴

7、上,而其余极点 全部在 s 平面左半部时,便会出现临界稳定状态。三、稳定性分析：【本文仅分析线性时不变 (LTI) 电路的稳定性。判断一个系统是否稳定可以从时域或复 频域两方面进行讨论 。本文不对含受控源电路的稳定性进行分析】例 1 ：对因果系统，只要判断 H(s) 的极点，即 A(s)=0 的根(称为系统特征根)是否都 在左半平面上，即可判定系统是否稳定，不必知道极点的确切值。某线性时不变电路的网络函数为 ，当输入为单位阶跃函数 e(f) 时，电路零状态响应 的象函数为 用留数法解得。考虑到 0，即K3o五、稳定性的意义：稳定性是系统的的一种固有特性，它只取决于系统内部的结构和参数，而和初始

8、条件和外部作用的大小无关。稳定性是控制系统重要的性能指标之一，是系统正常工作的首要条件。以一些工程实例来举例说明系统稳定性的意义：(1)开关电源系统不稳定现象分析开关电源中，其核心是 DcDc 变换器， DcDc 变换电路能够促使直流电压实现大范 围的升、降，并且实现的效率较高、 比较容易控制，因此其在工业控制和电力传输等领域中 应用广泛。可是，DC-DC变换电路也可能存在一定的偏差，如谐波振荡误差等，产这些偏差 将直接影响到电源系统的稳定性。而采取谐波补偿电路将有效改善开关电源系统的稳定性。下面主要分析谐波振荡等引起开关电源系统丧失稳定性的原理和原因。谐波振荡是由峰值电流取样和固定频率同时工

9、作所形成的结果， 其发生的原理如下图 l 所示。当开关电源的 输入电压和负载发生变化时， 从而会引起开关电源电流发生变化， 即发生扰动， 在扰动产生 后，系统能否趋于稳定的运作， 关键在于系统电流是否对扰动如何作出收敛响应。 而系统电 流收敛的发生一般有两种途径， 一是在空占比 (D) 小于 05时产生收敛，一是空占比 (D) 大于 0 5时产生收敛。这两种收敛环境下，系统对扰动所表现出的稳定状态是不同的。设 Io 为扰动没有发生时的电感电流初始值，设A i o 为电流上升时产生的扰动量，设 it为电流下降时产生的扰动量，设 d为电感电流占空比发生的扰动量，设m为电流在上升时所发生的斜率，设眦为电流在下降时所产生的斜率，它们之间的关系式如下： 从而可以得出以下式子：随着周期的增加，其所发生电流扰动量为所以，在川2 /m小于1时，也即D小于0. 5时，电流扰动量即电流发生的误差厶 i 将会慢慢的衰减一直到零，从而使得系统趋于稳