一类高考数学新题型的解题策略初探

1、一类高考数学新题型的解题策略初探零陵电大邓益阳【摘要】： 随着教育改革的不断深化 , 高考要求也在发生着深刻变化 . 近几年全国各地高考数学模拟试题和高考中出现的一种新题型数学阅读理解题。本文分析了这类题的本质特点，从四个方面对求解这种题型的解题策略进行了初步探索：一、紧扣信息，发掘本质；二、紧扣信息，归纳类比；三、紧扣信息，探索加工；四、紧扣信息，创新思维。（是文章的主干，也就是是中心。 ）【关键词】：新题型信息策略探索创新（要求为名词）随着教育改革的不断深化，高考要求也在发生着深刻的变化。高考数学考试说明中明确要求学生能阅读、理解对问题进行陈述的材料；能综合运用所学的数学知识、思想和方法解

2、决问题，并能用数学语言正确地加以表述。对应于这一要求，近年来，不论是全国各地高考数学模拟试题，还是高考数学全国卷、上海卷等，均推出了一类高考数学新题型数学阅读理解题，这种题型要求考生在短时间内读懂并理解一个陌生的数学问题的情景（如定义一种概念，约定一种运算，给出某个图形等） ，然后运用所学的知识和已掌握的解题技能灵活地进行解题。这类题目往往设计运算量不大，但思维量较大，同时它对学生提出了较高的要求，不但要求学生掌握知识，更要求学生掌握研究问题的方法，从而从根本上体现了高考命题“遵循中学教学大纲，但又不拘泥于教学大纲”的原则，并更好地为现行的研究性学习服务。下面通过具体的例题来探究这类题型的解题

3、策略。一、紧扣信息，发掘本质有些问题给出了我们未曾见过的新的定义或新的运算，这需要我们紧扣信息，深刻理解，发掘其信息的本质。例 1、（ 2003 年重庆市高考模拟试题）设 M、 P 是两个非空集合，若规定： MP =x | x M且 x P，则 M（ M P） =分析：此题给出了一种新的集合之间的关系，因此首先要紧扣信息，深刻理解，发掘其本质：MP 已不是正常意义下的减法，而是 M中除 P 中的元素。理解了这一点，可以利用图形直观地加以理解，图 1 表示 MP，图 2 表示 M（MP），容易得出其答案为： M P.图 1图 2例 2、（2003 年昆明市高考模拟试题） 已知凸函数的性质定理：

4、“若函数 f(x) 在区间D 上是凸函数，则对于区间D 内的任意 X1 , X 2, X n，均有：1f(X1 )+f(X2)+.+f(Xn) f(X1 X2X n )nn若函数 y=sinx 在区间 0 ，）上是凸函数，则在ABC中， sinA+sinB+sinC 的最大值是（）A、 1B、 3C 、33D 、 32222分析：此题中凸函数的性质为已知，对考生的要求是能读懂并深刻地理解其性质定理，发掘其本质，且能在新情境下运用，掌握了这一点，由凸函数的性质定理有：1 (sinA+sinB+sinC) sin ABC = sin60 33故答案选 C。例 3、(2002 年新课程高考题 ) 甲

5、、乙两种冬小麦试验品种连续 5 年的平均单位面积产量如下（单位： t / hm 2）品种第 1 年第 2 年第 3 年第 4 年第 5 年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8其中产量比较稳定的小麦试验品种是分析：这是一个图表问题，解题的关键是从中抽象出数学化的本质：计算并比较样本方差的大小，只需看两种小麦的样本方差哪个小，显然，结果为品种甲。二、紧扣信息，类比推广有些问题给出了一种新的情景, 通过理解 , 考生可以把它和所求的结论进行类比, 找出它们共同点 , 从已知推广到未知 , 从而达到正确求解的目的.2222例 4、（ 2001 年上海高考题）已知两个圆

6、：x + y =1与 x + (y - 3)=1，则由式减去式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为：分析：题目给我们提供的信息点是两半径相等的圆的方程相减就得到该两圆的对称轴方程 , 将题设中所给出, 的特殊方程推广归纳到一般情况：设圆的方程：(x -a) 2+(y b) 2= r 2与 (x c) 2+(y d) 2 = r 2，其中ac 或b d，则由可得两圆的对称轴方程:2(c - a)x +2 (d - b )y+ a2 + b2 - c2 - d2 = 0例 5、（ 2003

7、年全国高考题）在平面几何里，有勾股定理：“设ABC的两边AB、AC222 ”互相垂直，则 AB+AC =BC ，拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面积和底面积的关系， 可以得到的正确结论是：“设三棱锥 A-BCD的三个侧面 ABC、ACD、ADB两两相互垂直，则分析：题干中明确提示：把“平面勾股定理”推广为“空间D勾股定理”，“研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系” ，而在平面几何中学生对勾股定理非常熟悉 , 拓展到空间对学生来讲较A为困难 , 这时可以用特殊的图形来进行探索 , 如图 , 三棱锥 A-BCD, B已知面 ABC,ACD,ADB两两垂直 . 设 AB=AC=AD

8、=1,则 S=S=S=1/2,ABCABDACDS BCD=1 (2) 2 sin60 = 3 ，结合勾股定理中的平方关系, 立即类比得出： S22222+S ACD+S ADB=SBCD 的结论。例 6 (2003年 昆 明市 高 考模拟 试 题 ) 设 a1(iN)都是自然数，称a11为无穷连分数，例如：1a21a3a4C2ABC2 1111(21)11112 12(21)212这里 a =1,a+也写成无穷连分数的形式，并写出 an .n=2(n N, n 2) . 请类似地把1分析：此题给出了一个“无穷连分数”的定义，这里我们不曾知道概念的意义，但是按照题中对2 的运算，我们可以类似地

9、把计算方法迁移到所求的问题中来。111111131(31)1111311111123 12(31)2112从上面的变形中，可知 aa= 1 , a= 2.(n+2n2n+1N ,n 1)1 =三、紧扣信息，探索加工有些问题给出了大量的信息，需要我们在解题前仔细阅读材料，从中探索出本质的内容，并进行数学加工，再用相关的知识加以解决。例 7、（ 2004 年上海春季高考试卷）在等差数列a n 中，当 a r = a s (r s) 时，数列an 必定是常数数列。然而在等比数列an 中，对某些正整数r 、s(rs),当a r=as 时，非常数数列a n 的一个例子是分析：本题由等差数列给出满足其性质

10、的得出是常数数列的信息( 因为 a r = a s ，则d=0), 但等比数列与等差数列不同, 因为公比 q, 当 r s 时, 有可能得出 a r = a s , 例如：a,-a,a,-a,.(a0),r与 s 同为奇数或偶数。例 8、（ 2003 年福州市高考模拟试题）如图，这是一个计算机装置示意图， J1，J2 是数据入口处， C 是计算结果出口，计算过程是由 J1， J2 分别输入正整数 m和 n，经过计算得正整数 k 后由 C输出。此种计算装置完成的计算满足以下3 个性质：1 ）若 J1，J2 分别输入 1，则输出结果为 1；2 ）J1 若输入 1， J2 输入正整数增大 1，则输出

11、结果比原来增大 2； J13）J2 若输入 1， J1 输入正整数增大 1，则输出结果为原来的2 倍 .mn试问： 1） 若 J1 输入 1 ，J2 输入正整数 n，则输出结果为多少？K2）若 J2 输入 1， J1 输入正整数 m，输出结果为多少？C3 ）若 J1 输入正整数 m， J2 输入正整数 n，输出结果为多少？分析：本题的信息量大，粗看不知如何入手，若仔细观察装置完成的计算所满足的条件，就可以发现把条件写成二元函数式，并把它看作某一变量的函数，抽象出等比数列或等差数列的模型。设 f(m,n)=k ，由题意得：f(1,1)=1, f(m,n+1) = f(m,n)+2f(m+1,1)

12、=2f(m,1)1） 在 f(m , n+1)=f(m , n ) +2中，令 m=1，则 f(1 , n+1) = f(1 , n )+2，由此可知： f(1,1),f(1,2), . ,f(1,n),.组成以 f(1,1)为首项， 2 为公差的等差数列，所以有： f(1, n) = f(1,1) + 2(n-1) = 2n - 12) f(m+1 ，1)=2f(m,1) , f(1,1),f(2,1), .,f(n,1),.组成以 f(1,1)为首项 ,2 为公比的等比数列，故有：f(m,1) = f(1,1)m-1= 2m-123） f(m,n+1)=f(m,n)+2， f(m,1),f

13、(m,2), .,f(m,n),.组成以 f(m,1)为首项，以 2 为公差的等差数列，所以有f(m,n) = f(m,1) + 2(n - 1) = 2m-1+2n - 2.四、紧扣信息，创新思维有些问题给出的信息并不直接, 或者似乎超出了教学大纲要求, 这需要在仔细阅读理解材料基础上，摆脱传统思维约束，创新思维，以灵活多样的方法求得问题的解答例 9、（2001 年全国高考题） 如图小圆圈表示网E络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，35CF连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过126A 向结点 B 传递信息，信B4A的最大信息量，现从结点G76息可以分开沿不同的路线同时传递，则

14、单位时间内612H传递的最大信息量为（）8DA 、26B 、24C 、20 D 、19分析：本题对考生来讲， 读题困难，不知所云。 它没有涉及到某种具体的数学方法，主要是考察阅读理解能力。为了解决方便，不妨进行创新思维：把结点看成水库，网线看成水道，则由 A 到 B 有 4 条水道，在沿 ACEB水道排水时 , 最多只能通过 3 个流量 , 沿 ACFB 水道排水时 , 最多只能通过 4 个流量 , 其它同理 , 则由 A到 B流经的最大流量为 3+4+6+6=19。故选（ D）。例 10、 (2003年全国高考 ( 理 ) 试题）设 x，y 满足约束条件：则 Z = 3x + 2y的最大值是

15、分析：这是一道线性规划题，不能按通常的二元一次不等式组来求解，因而需要学生采用新的思维方式。欲求Z=3x+2y 的最大值，显然是 x、 y，尤其是 x 越大越好；但受2x y 1 的约束；若 2x y 1，又受 xy 的约束，因而满足三个约束条件的是x =y = 1 ，从而得到正确答案是 5。A1D1例 11、（1998 年全国高考试题）如图在直四棱柱ABCD -C1A1 B1C1 D1 中，当底面四边形 ABCD满足条件时，有BA C B D（注：填上你认为正确的一个条件即可， 不必考虑所有111AD的可能情形）BC分析：这是一道开放性试题，其答案不是唯一的，因而学生要有发散性思维。事实上，若将四边形A1B1 C1D1 适当提升到 A2B2 C2D2 ，使 A2 C与 BD相交，其正确答案就明白无误了。其结论是AC BD，或者 ABCD是菱形等等。近年来，高考试题中开放性试题累见不鲜，且增加的趋势，因而培养学生发散性思维是值得重视的。结束语：数学阅读理解题是近年来高考试题中的一种新题型. 求解此类问题的关键要通过认真阅读，深刻理解题意，从中找到数学信息。紧扣信息，或发掘问题的本质，或类比推广，或探索加工，或创新思维等策略，以期达到正确回答问题的目的。对数学阅读理解题的解题策略进行探索，在数学教学实践中是有重要意义的。参考文献 ：1、邓益阳探究一类高考新题型的解题策