第二章信号及其描述

1、第二章、信号及其描述第二章、信号及其描述本章学习要求：本章学习要求：1.了解信号分类方法了解信号分类方法 2.掌握信号时域波形分析方法掌握信号时域波形分析方法3.掌握信号频域频谱分析方法掌握信号频域频谱分析方法4.了解其它信号分析方法了解其它信号分析方法 信号波形信号波形：被测信号幅度随时间的变化历程称为信号被测信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。的波形。 信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。绍信号分类前，先建立信号波形的概念。振动弦振动弦(声源声源)声级计声级计记录仪记录仪0At信号波形图信号波形

2、图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，：用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。记录被测物理量随时间的变化情况。1-1 信号的分类及其描述信号的分类及其描述 为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信号，可以将其分为：常必要的，从不同角度观察信号，可以将其分为： 1 从信号描述上分从信号描述上分-确定性信号与非确定性信号；确定性信号与非确定性信号；2 从信号的幅值和能量上分从信号的幅值和能量上分-能量信号与功率信号；能量信号与功率信号；3 从信号分析域上分从信号分析域上

3、分-时域与频域；时域与频域；4 从信号自变量的取值是否连续从信号自变量的取值是否连续-连续时间信号与离散时间信号；连续时间信号与离散时间信号；5 从信号的物理可实现性上分从信号的物理可实现性上分 -物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号与物理不可实现信号。一、信号的分类一、信号的分类 1 确定性信号与非确定性信号确定性信号与非确定性信号 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。a) 周期信号周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号：经过一定时间可以

4、重复出现的信号 x ( t ) = x ( t + nT )简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号b) 非周期信号非周期信号：不会重复出现的信号。：不会重复出现的信号。 准周期信号准周期信号准周期信号准周期信号:由多个周期信号合成，但各周期信号的频率不成由多个周期信号合成，但各周期信号的频率不成公倍数，其合成信号不是周期信号。如：公倍数，其合成信号不是周期信号。如：x(t) = sin(t)+sin(2.t)瞬态信号瞬态信号瞬态信号瞬态信号:持续时间有限的信号，如持续时间有限的信号，如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)c)非确定性信号非确定性信号：不能用数学式描

5、述，其幅值、相位变化：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种不可预知，所描述物理现象是一种随机过程随机过程。 噪声信号噪声信号(平稳平稳)噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)统计特性变异统计特性变异2 能量信号与功率信号能量信号与功率信号 a)能量信号能量信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量为有限值的信号称），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：为能量信号，满足条件： 一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。dttx)(2瞬态信号瞬态信号b)功率信号功率信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量不是有限值但平

6、），能量不是有限值但平均功率是有限的，即均功率是有限的，即此时，研究信号的平均功率更为合适。此时，研究信号的平均功率更为合适。 一般持续时间无限一般持续时间无限的信号都属于功率信号。的信号都属于功率信号。TTTTdttx)(lim221复杂周期信号复杂周期信号噪声信号噪声信号(平稳平稳)3 时限与频限信号时限与频限信号 a) 时域有限信号时域有限信号 在时间段在时间段 (t1，t2)内有定义，其外恒等于零内有定义，其外恒等于零 b) 频域有限信号频域有限信号 在频率区间在频率区间(f1，f2 )内有定义，其外恒等于零内有定义，其外恒等于零 三角脉冲信号三角脉冲信号正弦波幅值谱正弦波幅值谱4 连

7、续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号 a) 连续时间信号连续时间信号:在所有时间点上有定义在所有时间点上有定义 b)离散时间信号离散时间信号:在若干时间点上有定义在若干时间点上有定义幅值连续幅值连续幅值不连续幅值不连续采样信号采样信号5 物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号与物理不可实现信号a) 物理可实现信号物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件：又称为单边信号，满足条件：t0时，时，x(t) = 0，即在时刻小于零的一侧全为零。即在时刻小于零的一侧全为零。b) 物理不可实现信号物理不可实现信号：在事件发生前：在事件发生前(t2时也称为时也称为高次谐波高次谐波)，谐

8、波频率为基波频率的整数倍；谐波频率为基波频率的整数倍； 想一想想一想：均值为零的周期方波的第：均值为零的周期方波的第3条谱线是几次谐波？条谱线是几次谐波？ )sin(101tA称为一次谐波或称为一次谐波或基波基波，基波频率与信号频率相同基波频率与信号频率相同 (周期相同周期相同)；0基频基频当当n为奇数时称为为奇数时称为奇次谐波奇次谐波，当，当n为偶数时称为为偶数时称为偶次偶次谐波谐波。A0称为信号的称为信号的直流分量直流分量，即信号的均值。，即信号的均值。利用傅里叶级数把一个周期信号分解成一个直流分利用傅里叶级数把一个周期信号分解成一个直流分量和无数谐波分量之和的方法称为量和无数谐波分量之和

9、的方法称为谐波分析法谐波分析法或或傅傅里叶分析法里叶分析法。以角频率以角频率 （或频率（或频率f）为横坐标，幅值为横坐标，幅值An或相角或相角n为纵坐标所作的图形，分别称为信号的幅频图和相为纵坐标所作的图形，分别称为信号的幅频图和相频图，频图， 两者统称为信号的频谱。两者统称为信号的频谱。想一想想一想：周期信号频谱是连续的，还是离散的？为：周期信号频谱是连续的，还是离散的？为什么？什么？例：周期性三角波的频谱例：周期性三角波的频谱 202022)(0000TttTAAtTtTAAtx0T0/2-T0/2Ax(t)t. . . . .解：解：2)2(2)(12/0002/2/00000AdttT

10、AATdttxTaTTT2/00002/2/00000cos)2(4cos)(2TTTndttntTAATdttntxTa, 6, 4, 20, 5, 3, 142sin422222nnnAnnA2/2/0000sin)(2TTndttntxTb = 01022cos142)(ntnnAAtxn=1, 3, 5, 因此，有：1022)2sin(142ntnnAA4A 24A 92 4A 2520A()03050003050 () A 22例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化 2 复指数展开式复指数展开式 利用欧拉公式欧拉公式 )

11、(2sin)(21cossincos000000000tjntjntjntjntjneejtneetntnjtne)(21)(21)(0010tjnnntjnnnnejbaejbaatx周期信号可以写为：)()(0010tjnntjnnneCeCCtx 00aC )(21nnnjbaC)(21nnnjbaCtjnnneC0, 2, 1, 0ndtetxTcTTtjnn220000)(1得：njnnnneCCjCCImRe按实频谱和虚频谱形式 幅频谱和相频谱形式 22)(Im)(RennnCCCnnnCCarctgReIm幅频谱图幅频谱图：| cn | 相频谱图相频谱图： n 实频谱图实频谱图：

12、 cnR 虚频谱图虚频谱图： cnI nnnncc, 负频负频率率q “负频率”是运算的需要。实际中，只有把负频 率项与相应的正频率项成对合并起来，才是实 际的频谱函数； q 从向量旋转的方向： 一个向量的实部可以 看成两个旋转方向相 反的矢量在其实轴上 的投影之和，虚部为 其在虚轴上的投影之 差。 AA/20-00ReIm-负频率的说明 几点结论几点结论 q 复指数函数形式的频谱为双边谱双边谱（从-到 +），三角函数形式的频谱为单边谱单边谱（从 0到+）q 两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系： 00, 2/acAcnnq 双边幅值谱为偶函数偶函数，双边相位谱为奇函数奇函数 nnnncc|,|

13、q 一般周期函数的复指数函数展开式的实频谱实频谱 总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。 例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。 解解：)(21cos000tjtjeet)(2sin000tjtjeejtc-1 = 1/2，c1 = 1/2，c0 = 0（n=0, 1）c-1 = j/2，c1 = -j /2，c0 = 0（n=0, 1）1x(t)=cos0t0t1x(t)=sin0tt0cnR00-01/21/2cnR00-000-01/2-1/2cnIcnI00-0|cn|00-01/21/2|cn|00-01/21/

14、2An001An001单边幅频谱单边幅频谱双边幅频谱双边幅频谱综上所述，周期信号频谱的特点如下：综上所述，周期信号频谱的特点如下： 周期信号的频谱是离散谱；周期信号的频谱是离散谱； 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；频率是诸分量频率的公约数； 各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相各频率分量的谱线高度表示该谐波的幅值或相位角大小。位角大小。q从总体上看，工程上常见的周期信号，其谐波分量幅值都是随谐波次数的增加而减小。因此，在频谱分析中没有必要取次数过高的谐波分量。 第四节第四节 瞬变非周期信号与连续频谱瞬变非周期信号与连

15、续频谱 瞬变信号例 参见下页 频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有公共周期，周期信号周期信号 当信号中各个频率比不是有理数时，则信号叠加后是准周期信号准周期信号 一般非周期信号是指瞬变非周期信号 非周期信号准周期信号 信号中各简谐成分的频率比为无理数 具有离散频谱？！离散频谱？！瞬变信号 在一定时间区间内存在或随时间的增长衰减至零x(t)0t准周期信号x(t)=Asin9t+ Asinsqrt(31)tx(t)0t瞬变信号Ix(t)=exp(-t)*sint0tx(t)瞬变信号II1. 傅里叶变换傅里叶变换 dedtetxedtetxdedtetxTeCtxtjtjtjtjtjnnt

16、jnTTTtjnnnTT)(21()(2)(1(limlim)(lim000000002/2/0非周期信号可以看成是周非周期信号可以看成是周期期T0 趋于无穷大的信号。趋于无穷大的信号。 02000TT221000dTd0ndtetxXtj)()(deXtxtj)(21)(傅里叶变换傅里叶变换(FT) 傅里叶反（逆）变换傅里叶反（逆）变换 (IFT) f2以代入得dtetxfXftj2)()(dfefXtxftj2)()(记为：x(t)X()FTIFT)(2)(XfX而且有：用实、虚频谱形式和幅、相频谱形式写为 )()()(Im)(Re)(fjefXfXjfXfX22)(Im)(Re)(fXf

17、XfX)(Re)(Im)(fXfXarctgf尽管非周期信号的幅频谱 和周期信号的幅频谱 很相似，但是两者量纲不同。 为信号幅值的量纲，而 为信号单位频宽上的幅值。所以 是频谱密度函数频谱密度函数。工程测试中为方便，仍称为频谱。)( fXnCnC)( fX)( fX注意：注意：2021)(TtTttw例：求矩形窗函数的频谱例：求矩形窗函数的频谱 2222)()(TTftjftjdtedtetwfWfTfTTeefjfTjfTjsin21)(sincfTT其中：T称为窗宽窗宽。sinsinc在信号分析中称为抽样信号抽样信号，它以2为周期并随的增加作衰减震荡。 1-T/2T/2tw(t)0W(f

18、)T01 T1 Tf3 T3 T(f )01 T2 T3 T1 T2 T3 T2 T2 TW(f)函数只有实部，函数只有实部，没有虚部。没有虚部。其幅值谱为：sinc是偶函数偶函数，在n（n=1, 2, ）处 其值为0。 )(sin)(fTcTfW其相位谱视 的符号而定。当为正值时相角为零，为负值时相角为)(sinfTc)(sinfTc 非周期信号频谱的特点非周期信号频谱的特点 q 基频无限小基频无限小，包含了从 - +的所有频 率分量。 q 频谱连续频谱连续。当非周期信号为时限信号（即 | t | t0时，x(t)=0 ) 时，可拓展成一周期信 号（T 2t0），使连续谱离散化，所得离 散谱

19、的包络线与连续谱的形状相同。 q |X( )|与与|cn|量纲不同量纲不同。|cn|具有与原信号幅 值相同的量纲，|X()|是单位频宽上的幅值。 q 非周期信号频域描述的基础是傅里叶变换。傅里叶变换。 傅立叶变换的主要性质傅立叶变换的主要性质 奇偶虚实性奇偶虚实性 )(Im)(Re)()(2fXjfXdtetxfXftjftdttxfX2cos)()(ReftdttxfX2sin)()(Im若x(t)为实偶函数，则ImX(f)=0，X(f)为实偶函数 若x(t)为实奇函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚奇函数 若x(t)为虚偶函数，则ReX(f)=0，X(f)为虚偶函数 若x(t)为虚奇函数

20、，则ImX(f)=0，X(f)为实奇函数若x(t)为实函数，则：ReX(f) = ReX(-f) ImX(f) = - ImX(-f) l 对称性对称性：若 则：X(t)x(-f)证明： 互换t和f:dfefXtxftj2)()(dfefXtxftj2)()(dtetXfxftj2)()()()(fXtx从而：X(t)x(-f) 图 尺度改变性质举例a) k=1 b) k=0.5 c) k=2 应用：磁带的慢录快放和快录慢放？应用：磁带的慢录快放和快录慢放？l 时时移移性性质质 若0t为常数，则 000202)(20200)()()()()(ftjftjttfjftjefXttdeettxdt

21、ettxttxF 此性质表明，在时域中信号沿时间轴平移一个常值0t时，频谱函数将乘因子02 ftje，即即只只改改变变相相频频谱谱，不不会会改改变变幅幅频频谱谱 图 时移性质举例 a) 时域矩形窗 b) 图a）对应的幅频和相频特性曲线 c) 时移的时域矩形窗 d) 图c）对应的幅频和相频特性曲线 若若x(t)tfjetx02)( )(0ffXX(f)，且，且 为常数为常数,则则l频移性质频移性质0f证明：证明： dteetxetxFftjtfjtfj22200)()(dtetxtffj)(20)()(0ffX时域卷积对应频域乘积时域卷积对应频域乘积时域乘积对应频域卷积时域乘积对应频域卷积l 卷

22、卷积积特特性性 两个函数x1(t)和x2(t)的卷积定义为： dtxxdtxxtxtx)()()()()()(122121 dtedtxxtxtxFftj22121)()()()( ddtetxxftj)()( 221 defXxfj221)()( )()( 21fXfX 即x1(t)x2(t) X1(f) X2(f) 同理：x1(t) x2(t) X1(f)X2(f) l微微分分特特性性：nndttxd)()(2fXfjn 证明：dfefXtxftj2)()( dfefXfjdttdxftj2)()2()( )()2()(fXfjdttdxF 同理：)()2()(fXfjdttxdFnnn

23、nnndffXdtxtjF)()()2(l 积分特性积分特性: )()(fXtx)(21)(fXfjdttxt若 则 在振动测试中，如果测得振动系统的位移、在振动测试中，如果测得振动系统的位移、速度或加速度中任意一个参数，应用微分、速度或加速度中任意一个参数，应用微分、积分特性就可获得其他参数的频谱。积分特性就可获得其他参数的频谱。一、单位脉冲函数一、单位脉冲函数(函数) 的频谱的频谱 1. 函数定义函数定义000)(lim)(0tttSt1)()(lim)(lim00dttSdttSdtt且其面积（强度）且其面积（强度） /201/ts(t)0t(t)1 几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱

24、2. 函数的性质函数的性质 1)采样性质采样性质 )()0()()(txttx)()()()(000tttxtttx)0()()0()()(xdttxdtttx)()()()()(0000txdttttxdttttx表明表明：任何函数任何函数f(t)和和 (t-t0)函数的乘积仍是一个强度函数的乘积仍是一个强度为为f(t0)的的 函数函数 (t-t0)，而该乘积在无限区间上的积分而该乘积在无限区间上的积分则是则是f(t)在在t=t0时刻的函数值时刻的函数值f(t0)。2) 卷积性卷积性 )()()()()()()(txdtxdtxttx)()()()()(000ttxdttxtttx(t)0t

25、1x(t)0tA0tAx(t) (t)(tt0)0tx(t)0t0t(t+t0)(t-t0)x(t) (t t 0)-t0t0-t0t0 函数与其它函数的卷积示例函数与其它函数的卷积示例 3. 函数的频谱函数的频谱 对(t)取傅里叶变换 1)()(022fjftjedtetfdfetftj21)(函数具有等强度、无限宽广的频谱，这种频谱常称为“均匀谱均匀谱” 函数是偶函数，即 ，则利用对称、时移、频移性质，还可以得到以下傅里叶变换对 )()()()(fftt、020)(ftjett)(020ffetfj0t(t)10f(f )1（各频率成分分别移相2ft0） (tt0) (f) （单位脉冲谱线

26、） 1 （幅值为1的直流量） 1 （均匀频谱密度函数） (t) （单位瞬时脉冲） 频频 域域 时时 域域 02 ftjetfje02)(0ff 二、二、 矩形窗函数和常值函数的频谱矩形窗函数和常值函数的频谱 1、矩形窗函数的频谱、矩形窗函数的频谱 （1）一个在时域有限区间里有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。）一个在时域有限区间里有值的信号，其频谱却延伸至无限频率。 （2）在时域中截取信号的一段记录长度，相当于将原信号与矩形窗）在时域中截取信号的一段记录长度，相当于将原信号与矩形窗函数之乘积。函数之乘积。 （3）幅值最大，称主瓣，其它为旁瓣。主瓣宽度为窗宽倒数的）幅值最大，称主瓣，其它为旁瓣。

27、主瓣宽度为窗宽倒数的2倍。倍。2、常值函数、常值函数(又称直流量) 的频谱的频谱 幅值为1的常值函数的频谱为f = 0处的函数 实际上，常值函数可以看成是窗宽为无穷大的矩形窗窗宽为无穷大的矩形窗函数，由时间尺度改变性质，也可以得出其对应的频域函数就是函数。 三、三、 指数函数的频谱指数函数的频谱 单边指数衰减函数 0, 00, 00)(taetatxat)2(10)2(0)()(220202fjafjaeedteedtedtetxfXftjatftjatftjftj其傅里叶变换为 单边指数衰减函数及其频谱单边指数衰减函数及其频谱 四、四、 正余弦函数的频谱密度函数正余弦函数的频谱密度函数 正余

28、弦函数不满足在无限区间上绝对可积条件，不能直接对之进行傅氏变换。由欧拉公式知：tfjtfjtfjtfjeetfeejtf0000220220212cos22sin)()(212cos)()(22sin000000fffftfFffffjtfF00ttsin2f0tcos2f0t1/2-1/20fImX(f)1/21/20fReX(f)-f0-f0f0f0五、五、 梳状函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱梳状函数（等间隔的周期单位脉冲序列）的频谱 nssnTtTtcomb)(),(其中Ts为周期；n为整数。梳状函数为周期函数。表示成傅氏级数 ntnfjnssecTtcomb2),(222),(

29、1sssTTtnfjssndteTtcombTc（fs = 1 / Ts）因为在（-Ts /2，Ts /2）区间内只有一个函数(t)，故sTTtnfjsnTdtetTcsss1)(1222ktkfjssseTTtcomb21),(从而 ksssskffTTtcombFffCOMB)(1),(),(所以 kssTkfT)(1即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数即梳状函数的频谱也为梳状函数，且其周期为原时域周期的倒数（1/Ts），），脉冲强度为脉冲强度为1/Ts。 .comb(t,Ts)10Ts2Ts-Ts-2Ts.COMB(f,fs)1/Ts0 1Ts2Ts 1 Ts2Ts第

30、五节第五节 随机信号的描述随机信号的描述 随机信号是非确定性信号是非确定性信号 随机信号具有不重复性不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性 随机信号必须采用概率和统计概率和统计的方法进行描述 相关概念相关概念 随机现象随机现象：产生随机信号的物理现象 。 样本函数样本函数：随机现象的单个时间历程，即对随机信号按时间历程所作的各次长时间观测记录。记作xi(t)，i表示第i次观测。 样本记录样本记录：在有限时间区间上观测得到的样本函数。 随机过程随机过程：在相同试验条件下，随机现象可能产生的全体样本函数的集合（总体）。记作x(t)，即： x(t) = x1(t)，x

31、2(t)，xi(t)， 随机变量随机变量：随机过程在某一时刻t1之取值x(t1)是一个随机变量，随机变量一般定义在样本空间上。 集合平均集合平均：一般而言，任何一个样本函数都无法恰当地代表随机过程 x(t) ，随机过程在任何时刻的统计特性须用其样本函数的集合平均来描述。集合平均就集合平均就是将集合中所有样本函数对同一时刻的观测值取平均是将集合中所有样本函数对同一时刻的观测值取平均，其其计算式如下： 其中，M为样本函数总数，i为样本函数序号，t1为观测时刻。 MiiMtxtxM11,)(1lim1时间平均时间平均：按单个样本函数的时间历程进行平均计算。如第i个样本函数的时间平均值为： 其中，T为

32、样本函数的时间历程。 平稳与非平稳随机过程平稳与非平稳随机过程：平稳随机过程指其统计特征统计特征参数不随时间而变化参数不随时间而变化，或者说，不随时间坐标原点的选取而变化。否则，则为非平稳随机过程非平稳随机过程。TiTxdttxTi0)(1lim 各态历经过程各态历经过程：若平稳随机过程任一样本函数的时间平均等于该过程的集合平均，则称该随机过程是各态各态历经历经的（遍历性遍历性）。 各态历经过程的物理含义物理含义：任一样本函数在足够长的时间区间内，包含了各个样本函数所有可能出现的状态。 对于各态历经过程，其时间平均等于集合平均时间平均等于集合平均，因此，各态历经过程的所有统计特性都可以用单个样本函数上的统计特性来描述。工程中绝大多数随机过程都是各态历经的或可以近似为各态历经过程进行处理。 00000 x1(t)x2(t)x3(t)x4(t)x5(t)t1t2ttttt随机过程与样本函数随机过程与样本函数随机信号的主要统计特征： 描述随机信号（各态历