第4章状态反馈

1、第4章状态反馈4.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈4.2 闭环系统的状态能控性和能观测性闭环系统的状态能控性和能观测性4.3 闭环系统的极点配置闭环系统的极点配置4.4 状态观测器状态观测器4.5 解耦问题解耦问题第4章状态反馈概概 述述状态反馈是将状态变量作为反馈信号状态反馈是将状态变量作为反馈信号如高频响应伺服刀架系统用于加工活塞环等非圆截面的如高频响应伺服刀架系统用于加工活塞环等非圆截面的车削加工。有两个指标影响到工件的加工精度。车削加工。有两个指标影响到工件的加工精度。（1）刀架的刚度）刀架的刚度（2）刀架的动态性能）刀架的动态性能位移大位移大刚度小刚度小动态性能不好动态性能不

2、好古典法引进速度负反馈古典法引进速度负反馈改善动态性能，不能提高刀架的刚度改善动态性能，不能提高刀架的刚度状态空间法状态空间法 引入速度和位置两个状态分量引入速度和位置两个状态分量提高刚度，改善动态性能提高刚度，改善动态性能第4章状态反馈4.1 状态反馈和输出反馈状态反馈和输出反馈被控系统被控系统 =(A，B，C)采用状态反馈而构成的闭环系统，采用状态反馈而构成的闭环系统，称为状态反馈系统。称为状态反馈系统。X=AX+BUY=CX BCAU(t)+Y(t)X+XKr(t)状态反馈不改变系统的维数，改变闭环系统的特征值状态反馈不改变系统的维数，改变闭环系统的特征值第4章状态反馈 BCAU(t)+

3、Y(t)X+XKr(t)X=AX+BUY=CX其中其中U=rKXUr维控制矢量维控制矢量rr维输入矢量维输入矢量X=AX+B( rKX)=(ABK)X+BrY=CX系统简记为系统简记为 K=(ABK ) ，B，C 第4章状态反馈将被控系统采用输出矢量的线性反馈而构成的闭环控制将被控系统采用输出矢量的线性反馈而构成的闭环控制系统。系统。 BCAU(t)+Y(t)X+XHr(t)X= AX+BU=AX+B( rHY)=AX + B (rHCX)Y=CX= (A BHC )X + Br系统简记为系统简记为 H=(ABHC ) ，B，C HC相当于相当于K，是部分状态反馈，是部分状态反馈，HC=K是全

4、反馈是全反馈第4章状态反馈4.2 闭环系统的状态能控性和能观测性闭环系统的状态能控性和能观测性采用状态反馈后的系统采用状态反馈后的系统 K=(ABK ) ，B，C 其能控性矩其能控性矩阵为阵为B (ABK )B (ABK )2B (ABK )n1B，且，且 rank B (ABK )B (ABK )2B (ABK )n1B =rankB AB A2BAn1B即状态反馈不改变原系统的能控性，却不一定保持原系统即状态反馈不改变原系统的能控性，却不一定保持原系统的能观测性。的能观测性。输出反馈不改变原系统的能控性和能观测性，即输出反馈不改变原系统的能控性和能观测性，即CC (ABHC) C (ABH

5、C) n1rank=rankCCACAn1第4章状态反馈极点配置：利用状态反馈阵的选择，使闭环系统的极点极点配置：利用状态反馈阵的选择，使闭环系统的极点4.3 闭环系统的极点配置闭环系统的极点配置恰好处于期望的一组极点位置上。恰好处于期望的一组极点位置上。(1)对于对于n阶系统，必须给定阶系统，必须给定n个期望极点；个期望极点；(2) 期望极点可以是实数或共轭复数对；期望极点可以是实数或共轭复数对；(3) 期望极点位置的选取必须从它对系统性能的影响和期望极点位置的选取必须从它对系统性能的影响和 附近零点分布情况统一考虑；附近零点分布情况统一考虑；(4) 对期望极点位置的选取还应考虑系统对抗干扰

6、能力和对期望极点位置的选取还应考虑系统对抗干扰能力和 对灵敏度的要求。对灵敏度的要求。被控系统利用线性状态反馈阵被控系统利用线性状态反馈阵K，使闭环系统，使闭环系统 K=(ABK ) ，B，C 任意配置极点的充要条件是被任意配置极点的充要条件是被控系统状态完全能控。控系统状态完全能控。第4章状态反馈证明：证明：必要性必要性假定被控系统是不完全能控的，按能控性分解可知一定假定被控系统是不完全能控的，按能控性分解可知一定存在一个非奇异变换阵使存在一个非奇异变换阵使等价变换的反馈增益矩阵为等价变换的反馈增益矩阵为K=KT=k1 k2加状态反馈后加状态反馈后detSI(ABK) =detSI(A11B

7、1K1) (A12B1K2) 0SIA22=det SI(A11B1K1) detSIA22第4章状态反馈=det SI(A11B1K1) detSIA22充分性充分性完全能控是任意配置极点的必要条件。完全能控是任意配置极点的必要条件。极点，不能改变不能控部分极点，不能改变不能控部分A22的极点，因此整个系统的极点，因此整个系统上式表明状态反馈只能改变被控对象的能控部分上式表明状态反馈只能改变被控对象的能控部分A11的的若被控系统状态完全能控，那么闭环系统极点必能任意若被控系统状态完全能控，那么闭环系统极点必能任意配置。设状态完全能控系统具有能控标准形配置。设状态完全能控系统具有能控标准形0b

8、=001A=0 1 0 00 0 1 0an an1 an2 a1 C=bn bn1 b1第4章状态反馈且且b1Sn1+ b2Sn2+ + bn1 S+bnSn + a1Sn1+ an1 S+anG(S) =若若K=k1 k2kn， 则则(AbK)为为AbK=0 1 0 00 0 1 0ank1 an1k2 a1kn 闭环传函：闭环传函：b1Sn1+ b2Sn2+ + bn1 S+bnSn + (a1+ kn) Sn1+ (an1+ k2) S+an+k1Gk(S) =fk(S)=|SI(AbK)|= Sn +(a1+ kn)Sn1+(an1+ k2) S+an+k1闭环系统极点特征多项式：闭

9、环系统极点特征多项式： GK(S)=CSI(AbK)1b第4章状态反馈fk(S)=|SI(AbK)|=Sn +(a1+ kn)Sn1+ (an1+ k2) S+an+k1取取an+k1= an*an1+ k2= an1*a1+kn= a1*即即K= k1 k2kn=(an*an). (a1*a1)使使 f *(S)=Sn + a1* Sn1+ an1* S+an* 闭环系统期望极点特征多项式闭环系统期望极点特征多项式且且 fk(S)= f *(S)(1)根据给出的状态方程判断其能控性；根据给出的状态方程判断其能控性；(2)若系统能控按步骤若系统能控按步骤(3) 、 (4) 、 (5) ；(3)

10、根据闭环系统极点的期望值，求出闭环系统的期望根据闭环系统极点的期望值，求出闭环系统的期望第4章状态反馈(6)若状态方程为能控标准形可按定理直接求若状态方程为能控标准形可按定理直接求K；特征多项式（特征多项式（ f *(S) ）；）；(4)确定带反馈确定带反馈K的闭环系统特征多项式；的闭环系统特征多项式；(5)比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出K；(1)状态反馈不能保持原系统的能观测性；状态反馈不能保持原系统的能观测性；(2)状态反馈只能改变极点的位置，不改变系统零点；状态反馈只能改变极点的位置，不改变系统零点；(3)极点配置定理也适应于多输入多输出

11、系统。极点配置定理也适应于多输入多输出系统。fk(S)= |SI(AbK)|第4章状态反馈例：已知三阶系统例：已知三阶系统 10S(S1)(S2)G(S)如将闭环极点配置在如将闭环极点配置在S12 S21j S31j 期望位置上，试确定状态反馈阵期望位置上，试确定状态反馈阵K。解：给定系统无零，极点相消现象，故给定系统为状态解：给定系统无零，极点相消现象，故给定系统为状态能控能控G(S)10S33S22S0(1) 能控状态方程为能控状态方程为0 1 00 0 10 2 3x1x2x3001ux1x2x3Y= 1 0 0 0 X第4章状态反馈(2) 期望闭环极点的特征多项式期望闭环极点的特征多项

12、式f *(S)=(S2)(S1j)(S1j)S34S26S4(3) 设状态反馈阵设状态反馈阵K为为 Kk1 k2 k3Abk=0 1 0 0 0 1k1 2k2 3k3|SI(Abk)|=S 1 00 S 1k1 2+k2 S+3+k3闭环系统特征多项式为：闭环系统特征多项式为：fk(S)=S3+(3+k3)S2+(2+k2)S+k1(4)上述两个特征多项式中对应的系数相等上述两个特征多项式中对应的系数相等第4章状态反馈3+k34 2+k2=6 4=k1解得解得 k1=4 k2=4 k3=1u=rKX=rk1k2k3xx2x31=r4x14x2x3状态反馈系统的结构图为状态反馈系统的结构图为1

13、44 10rux3x2.x3x2x1x1Y23+ +.第4章状态反馈例：给定系统如图。试设计该系统的状态反馈阵例：给定系统如图。试设计该系统的状态反馈阵K，使闭，使闭环系统满足下列动态指标：环系统满足下列动态指标：（1）输出超调量）输出超调量 5%；（2）峰值时间）峰值时间t 0.5S。x1x3x2K1K2K3+uy 1S+6 1S+2 1 Sr解：这是解：这是3阶系统阶系统希望极点：一对主导极点和一个较远的极点。希望极点：一对主导极点和一个较远的极点。第4章状态反馈主导极点：主导极点： 1、2= n 1 2 n2 =exp（ / 1 2） 5%t = n 1 2 0. 5解出：解出： 0.

14、707， n 9，取，取 = 0. 707， n =10主导极点：主导极点： 1、2= 7.07 j 7.07 3和原点距离大于主导极点和原点的距离和原点距离大于主导极点和原点的距离10倍倍| 1 |= 7.072+ 7.072 10故故| 3 |=10 | 1 |， 3= 100期望特征多项式：期望特征多项式： f *(S) =(S+100)(S2+14.2S+100)=S3+114.2 S2+1520S+10000给定系统的传递函数：给定系统的传递函数： 1(S+6)(S+2)(S) 1S3+8S2+12S=第4章状态反馈给定系统的能控标准形状态空间表达式：给定系统的能控标准形状态空间表达

15、式：x1x2x3=u0 1 0+x1x2x30010 0 10 128y=x1x2x31 0 0设：设：K=k1 k2 k3带反馈带反馈K的闭环系统特征多项式的闭环系统特征多项式 fk(S)= |SI(AbK)|=S 1 0 0 S 1 +k1 12+k2 S+8+k3 = S3+(8+k3)S2+(12+k2) S+k1比较比较fk(S)与与f *(S)得得 k1=1000012+k2=15208+k3=114.2所以所以k1=10000， k2=1508， k3=106.2第4章状态反馈4.4 状态观测器状态观测器不能直接测量的状态变量给状态反馈的实现带来了困难，不能直接测量的状态变量给状

16、态反馈的实现带来了困难，为此提出重构状态，即状态观测器。为此提出重构状态，即状态观测器。状态观测器：构造一个系统，它以原系统的输入和输出状态观测器：构造一个系统，它以原系统的输入和输出作为它的输入量，重新构造全部状态变量。作为它的输入量，重新构造全部状态变量。uX 0 1 1 010=X+例例Y=0 1XCCArank= rank 0 11 0=2能观能观但由输出不能直接观测到但由输出不能直接观测到x1第4章状态反馈对受控系统对受控系统 0=(A，B，C)用其用其u和输出和输出y作为输入量重新作为输入量重新构造动态系统构造动态系统 e，使，使 e的状态的状态X与原系统状态与原系统状态X间满足间

17、满足LimX(t)X(t)=0t状态，且称状态，且称 e是受控系统是受控系统 0的状态观测器。的状态观测器。则称则称X是状态是状态X的渐进估计（即的渐进估计（即X趋近于趋近于 X），又称重构），又称重构第4章状态反馈 BCAU+YXX BGCA+XXYX+Y 0 e含状态观测器的系统含状态观测器的系统G： n m阶状态观测器反馈增益矩阵阶状态观测器反馈增益矩阵第4章状态反馈定理：对线性定常系统定理：对线性定常系统 0=(A，B，C)，状态观测器存在，状态观测器存在充要条件是充要条件是 0必须是状态完全能观测或不能观测子系统必须是状态完全能观测或不能观测子系统为渐近稳定。为渐近稳定。原系统的输出

18、为原系统的输出为Y=CX，状态观测器的输出为，状态观测器的输出为Y=CX输出误差矢量为输出误差矢量为 Y=YY=CXCX=C(XX）将将Y反馈至观测器的输入端，通过设计矩阵反馈至观测器的输入端，通过设计矩阵G使状态矢量使状态矢量的估计值的估计值X向状态矢量的真实值向状态矢量的真实值X逐步逼近。逐步逼近。状态观测器的状态方程为状态观测器的状态方程为将将 Y =C(XX）代入上式）代入上式X=AX+BU+GC (XX）=(AGC)X+BU+GCX状态观测器的系数矩阵状态观测器的系数矩阵X=AX+BU+GY第4章状态反馈令状态误差矢量为令状态误差矢量为 X=XX则则 X=XX.=AX+BU(AGC)

19、X BU GCX= (AGC)X(AGC)X=(AGC)(XX)X.=(AGC)X此方程的解：此方程的解：X=e(AGC)tX(0)可以看出，只要选择观测器的系数矩阵可以看出，只要选择观测器的系数矩阵(AGC)的特征值的特征值都具有负实部，则状态误差矢量都具有负实部，则状态误差矢量X就可逐渐衰减到零，就可逐渐衰减到零，观测器便是稳定的。只有在状态观测器的极点可以任意配观测器便是稳定的。只有在状态观测器的极点可以任意配置情况下才能做到。极点可以任意配置，即要求状态能观置情况下才能做到。极点可以任意配置，即要求状态能观测。测。当原系统当原系统 =(A，B，C)为状态不完全能观测时，将系统为状态不完

20、全能观测时，将系统按能观测性进行分解，按能观测性进行分解，=X1X2A11 0A21 A22B1B2+X1X2U=T1ATX+ T1BU第4章状态反馈Y=C1 0X1X2=CTX对于状态不完全能观测的线性定常系统，能够构造出状态对于状态不完全能观测的线性定常系统，能够构造出状态观测器的充要条件是它的不能观测部分是渐进稳定的。观测器的充要条件是它的不能观测部分是渐进稳定的。设计方法与状态反馈相同设计方法与状态反馈相同其中子系统其中子系统 1=(A11，B1，C1)是状态能观测的。是状态能观测的。(1)根据给出的状态方程判断其能观测性；根据给出的状态方程判断其能观测性；(3)求出状态观测器期望特征

21、多项式（求出状态观测器期望特征多项式（ f *(S) ）；）；(2)确定带反馈增益矩阵确定带反馈增益矩阵G的状态观测器的特征多项式；的状态观测器的特征多项式；(4)比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出比较两个特征多项式中对应的系数，从而求出G；fG(S)= |SI(AGC)|第4章状态反馈当状态观测器的维数小于系统维数时，称为降维观测器。当状态观测器的维数小于系统维数时，称为降维观测器。设设X1需通过输出估计确定，构造以需通过输出估计确定，构造以X1为状态变量的子系统为状态变量的子系统观测器。观测器。例：设线性定常系统的状态空间表达式为例：设线性定常系统的状态空间表达式为uXX 10120

22、0120001 XY011 试设计一个状态观测器，要求将其极点配置在试设计一个状态观测器，要求将其极点配置在S1= 3，S2= 4，S3= 5。解：解： 34214101112 bAAbbrank第4章状态反馈34411210112 rankCACACrank极点可以任意配置极点可以任意配置设：设： 321gggG 21201011200120001332211321gggggggggGCA状态观测器的特征多项式：状态观测器的特征多项式：)()(GCASISfG 第4章状态反馈21201)(332211 SgggSgggSGCASI)424()843()5(313213122123gggggg

23、ggSggSS 期望特征多项式期望特征多项式:f *=(S+3)(S+4)(S+5)=S3+12S2+47S+60比较系数得比较系数得:g1=120g2=103g3=210第4章状态反馈状态观测器的状态方程状态观测器的状态方程GyBuXGCAX )(yuX 210103120101221021011031030120119第4章状态反馈X=AX+BU+GY见下一页结构图见下一页结构图=AX+BU+G(CXCX)=AX+B(rKX)+GCXGCXX= GCX +(ABKGC)X+Br.(1)Y=CX (2)X=AX + B (rKX)=AXBKX+Br.(3)由由(1) (2) (3)式得闭环系

24、统的状态空间表达式式得闭环系统的状态空间表达式第4章状态反馈 BCAU+YXX BGCA+XXY+Y 0 e含状态观测器的状态反馈系统含状态观测器的状态反馈系统Kr+第4章状态反馈=+rBBA BKGC ABK GCXXXXY= C 0XX（1）闭环极点设计分离性）闭环极点设计分离性或或Y= C 0XXX=XXX.+rB0A BK BK0 AGCXXX特征多项式特征多项式|SIAK0|=SI(A BK) BK 0SI(A GC)误差误差XX是不能控的是不能控的AK0第4章状态反馈=|SI(A BK)| | SI(A GC)|决定状态矢量决定状态矢量X性能的极点性能的极点决定误差矢量决定误差矢量

25、XX性能的极点性能的极点这两组极点之间没有相互联系，把状态反馈和状态观测这两组极点之间没有相互联系，把状态反馈和状态观测器设计分别进行的性质称为分离特性。器设计分别进行的性质称为分离特性。（2）传递函数阵的不变性）传递函数阵的不变性带状态观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有带状态观测器的状态反馈系统和直接状态反馈系统具有相同的传递函数阵。相同的传递函数阵。直接状态反馈的传递函数阵直接状态反馈的传递函数阵GK(S)=C(SIA+BK)1B带状态观测器的传递函数阵带状态观测器的传递函数阵GK0(S)=C 0A BK BK0 AGCSI1B0第4章状态反馈GKO(S)=C(SIA+BK)1B此

26、时此时(AGC)的极点全部被闭环系统的零点对消掉。的极点全部被闭环系统的零点对消掉。状态观测器的闭环系统不完全能控。但不能控部分状态观测器的闭环系统不完全能控。但不能控部分(XX)是能观测的。是能观测的。（3）控制器结构的等价性）控制器结构的等价性带状态观测器的状态反馈系统在系统输入输出的传递特性带状态观测器的状态反馈系统在系统输入输出的传递特性意义下，它等价于带串联校正和反馈校正的输出反馈控制意义下，它等价于带串联校正和反馈校正的输出反馈控制系统。系统。4.5 解耦问题解耦问题设设 r=mX=AX+BUY=CXG (S)=C(SIA)1B=g11g12. g1mg21g22. g2m . .

27、 . . . gm1gm2. gmm Y(S)=G(S)U(S)第4章状态反馈Y(S)=U(S)g11g12. g1mg21g22. g2m . . . . . gm1gm2. gmm 相互耦合方程组相互耦合方程组将将G(S)化为对角线矩阵，称为系统的解耦。化为对角线矩阵，称为系统的解耦。被控对象的开环传递函数阵被控对象的开环传递函数阵Y1(S)= G11(S) R1(S) + G12(S) R2(S)Y2(S)= G21(S) R1(S) + G22(S) R2(S)R1(S)R2(S)=G11(S) G12(S)G21(S) G22(S)Y1(S)Y2(S)G11(S)G21(S)G12

28、(S)G22 (S)Y2(S)Y1(S)R1(S)R2(S)+Y(S)=G0(S)R(S)G11(S) G12(S)G21(S) G22(S)G0(S)=开环传递函数阵开环传递函数阵第4章状态反馈G11(S)G21(S)G12 (S)G22 (S)Y2(S)Y1(S)+单位反馈阵时，闭环传递函数阵，单位反馈阵时，闭环传递函数阵，+R1(S)R2(S)Y1= G11(R1Y1) + G12(R2Y2)Y2= G21 (R1Y1) + G22(R2Y2)(I+G11)Y1+G12Y2=G11R1+ G12R2(I+G22)Y2+G21Y1=G21R1+ G22R2第4章状态反馈(I+G11)Y1+G12Y2=G11R1+ G12R2(I+G22)Y2+G21Y1=G21R1+ G22R2I+G11 G12G21 I+G22 Y1Y2G11(S) G12(S)G21(S) G22(S)=R1R2(I+G0)Y=G0RY=(I+G0)1 G0R=GRG11(S)G21(S)G12 (S)G22 (S)Y2(S)Y1(S)R1(S)R2(S)+GC11(S)GC21(S)GC12 (S)GC22 (S)加入解耦器加入解耦器G= (I+G0)1 G0闭环传递函数阵闭环传