结构力学第十一讲

1、基本要求：熟练掌握位移法的基本原理和超静定梁、刚架在荷载基本要求：熟练掌握位移法的基本原理和超静定梁、刚架在荷载 作用下内力的计算。作用下内力的计算。主要内容：主要内容：位移法的基本概念位移法的基本概念 等截面直杆的形常数和载常数等截面直杆的形常数和载常数 位移法的基本未知量和基本体系位移法的基本未知量和基本体系 位移法方程位移法方程 位移法计算连续梁和刚架位移法计算连续梁和刚架 力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。力法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。法于十九世纪末开始应用，位移法建立于上世纪初。力法力法以多余未知力为基本未知量

2、，由位移条件建立以多余未知力为基本未知量，由位移条件建立力法方程，求出内力后再计算位移。力法方程，求出内力后再计算位移。位移法位移法以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件以某些结点位移为基本未知量，由平衡条件建立位移法方程，求出位移后再计算内力。建立位移法方程，求出位移后再计算内力。位移法最主要位移法最主要的研究对象是高次超静定刚架（多层多跨刚架）的研究对象是高次超静定刚架（多层多跨刚架） 力法力法-有有六个未知量六个未知量。位移法位移法-用结点位移作未知量，只有用结点位移作未知量，只有一个未知量一个未知量。11.1 11.1 位移法的基本概念位移法的基本概念F1Pql2/12ql2/1212

3、21qlFPAF11AlEI4AlEI2AlEI2AlEI4lEIlEIAA440128021111qllEIFFFAPEIqlA9635ql2/48ql2/48BllqEI=常数ACAqABCAlEI4AlEI2AlEI2AlEI4ABCA4iF11AABCql2/24位移法要点：位移法要点： （1）位移法的基本未知量是位移法的基本未知量是结点位移结点位移；（3）位移法的基本方程是平衡方程；位移法的基本方程是平衡方程；（4）建立基本方程的过程分为两步：建立基本方程的过程分为两步：A.把结构拆成杆件，进行杆件分析；把结构拆成杆件，进行杆件分析；B.再把杆件综合成结构，进行整体分析；再把杆件综合

4、成结构，进行整体分析；（5）杆件分析是结构分析的基础。杆件分析是结构分析的基础。（2）位移法的基本结构）位移法的基本结构-单跨梁系单跨梁系.一、杆端力和杆端位移的正负规定一、杆端力和杆端位移的正负规定根据力法求解：i=EI/l二、形常数形常数iMiMBAAB2,411.2 等截面直杆的形常数、载常数等截面直杆的形常数、载常数1.杆端转角、杆端转角、杆两端相对位移杆两端相对位移以顺以顺时针为正。时针为正。2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；杆端剪力以使作用截面顺时针转号；杆端剪力以使作用截面顺时针转动为正号。动为正号。形常数：形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定

5、梁的杆端力由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力载常数载常数: :由跨中荷载引起的固端力由跨中荷载引起的固端力ABMABQBAMBAQABMAB0MBA04i2iM1由单位杆端位移引起的由单位杆端位移引起的形常数形常数单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图MABMBAQAB= QBA4i2i=1ABAB1212lili 6li 6li 6AB10li 3AB=13i023liAB=1i-i0li 3由跨间荷载引起的由跨间荷载引起的载常数载常数单跨超静定梁简图单跨超静定梁简图mABmBAAB q212ql212qlABP8Pl8PlAB q28qlABl/2l/2P316Pl00121123结点角位

6、移数：结点角位移数：独立结点线位移数：独立结点线位移数：刚结点的数目刚结点的数目 铰结体系的自由度铰结体系的自由度 基本体系：基本体系：把基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的把基本结构在荷载和基本未知量共同作用下的 体系，称为原结构的基本体系。体系，称为原结构的基本体系。原结构原结构q基本结构基本结构基本体系基本体系q12基本体系基本体系q12二、基本体系二、基本体系角位移举例：角位移举例：B、C两个刚结点，有两个角位移。B为组合结点，它的左右各有一个刚结点，有两个角位移。CD外伸部分是静定的可以去掉。图a刚架改为铰结体系后，只需增设两根附加链杆就能变成几何不变体系（图b所示），有两个线位移

7、。线位移举例：线位移举例：结点转角的数目：结点转角的数目：7 7个个123独立结点线位移的数目：独立结点线位移的数目：3个个结点转角的数目：结点转角的数目：3 3个个独立结点线位移的数目：独立结点线位移的数目：2个分析分析: (1): (1)铰处的转角不作基本未知量。铰处的转角不作基本未知量。 (2) (2) 剪力静定杆的杆端侧移也可不作剪力静定杆的杆端侧移也可不作 为基为基本未知量。本未知量。a (3) (3)结构带无限刚性梁时，若柱结构带无限刚性梁时，若柱子平行，则梁端结点转角为子平行，则梁端结点转角为0 0，若，若柱子不平行，则梁端结点转角可柱子不平行，则梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来

8、。由柱顶侧移表示出来。 （4 4）对于平行柱刚架不论横梁是）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等高或不等平的，还是斜的，柱子等高或不等高，柱顶高，柱顶线位移线位移都相等。都相等。 A B C D E 112F1F2F1=0F2=0F1PF2Pk21 1k11k22k12位移法位移法基本体系基本体系0022221211212111PPFkkFkkF1=0F2=0k11、k21 基本体系在基本体系在1=1单独作用时，单独作用时，附加约束附加约束1、2中产生的约束力矩和约束力；中产生的约束力矩和约束力；k12、k22 基本体系在基本体系在2=1单独作用时，附加约单独作用时，附加约束束1、2

9、中产生的约束力矩和约束力；中产生的约束力矩和约束力；F1P、F2P 基本体系在荷载单独作用时，附加基本体系在荷载单独作用时，附加约束约束1、2中产生的约束力矩和约束力。中产生的约束力矩和约束力。 位移法方程的含义：位移法方程的含义：基本体系在结点位基本体系在结点位移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的移和荷载共同作用下，产生的附加约束中的总约束力总约束力( (矩矩) )等于零。实质上是平衡条件。等于零。实质上是平衡条件。11.4 11.4 位移法典型方程位移法典型方程 21121=112=100022112222212111212111 nPnnnnnPnnPnnFkkkFkkkFkkkn个结

10、点位移的位移法典型方程个结点位移的位移法典型方程 主系数主系数 kii 基本体系在基本体系在i=1单独作用时，在第单独作用时，在第 i个附加约个附加约 束中产生的约束力矩和约束力，恒为正；束中产生的约束力矩和约束力，恒为正； 付系数付系数 kij= kji 基本体系在基本体系在j=1单独作用时，在第单独作用时，在第 i个个 附附 加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零；加约束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零； 自由项自由项 FiP 基本体系在基本体系在荷载荷载单独作用时，在第单独作用时，在第 i个个 附加约附加约 束中产生的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零。束中产生

11、的约束力矩和约束力，可正、可负、可为零。16.7211.57901111PFk15159F1P15 9 F1P=159=61=12i4i 3ik114i 3i k11=4i+3i=7iikFP76111130M图 (kN.m)11.5711.57MB=0MPM111.5 11.5 位移法计算连续梁位移法计算连续梁 及无侧移刚架及无侧移刚架20kNii2kN/mABC3m3m6mABC2kN/m20kNABCABCF1Pk114I4I5I3I3I例例1：作图示刚架弯矩图：作图示刚架弯矩图基本未知量基本未知量（1 1）取基本体系）取基本体系BCqlm125201222CBmkNm.7.41mkN.

12、7 .41CB21,F1P=4041.7= 1.70022221211212111PPFkkFkk（2 2）列位移法方程）列位移法方程（3 3）画）画M MP P 、M Mi i图图; ; 求求k kijij、F FiPiPMPF2P=41.75m4m4m4m2mCABDEF20kN/m20kN/mCABDEF2基本体系14041.741.7CABDEFmkN408420822qlmBAi=1110.750.5M13i4i2i3i1.5ik11=4i+3i+3i= 10ik21=2iCABDEFCABDEFM23i4i2i2iik22=4i+3i+2i= 9ik21=2i（4 4）解方程，求基

13、本未知量。）解方程，求基本未知量。07 .419207 . 12102121iiiiii/89. 4/15. 12143.54046.924.562.514.79.84.93.41.7M图(kN.M)B46.943.53.4 0BMC14.724.59.8 0CMCABDEF练习练习1 1：用位移法计算图示结构。位移法计算图示结构。EI=常数常数。 解：解： （1 1）有两个基本未知量，基本体系如图）有两个基本未知量，基本体系如图（2 2）位移法方程）位移法方程0022221211212111PPFkkFkk基本体系（3）计算系数项）计算系数项iiik84411ik221iiiik83422i

14、k212lEIi 取4i2i4i2i2i3i4i图1M图2Mi(4)(4)计算自由项计算自由项221qlFP163163832222qlqlqlFP(5)(5)代入位移法方程，得代入位移法方程，得 0163820228222221qliiqlii解得：解得： iqliql120480292221图 PM(6)(6)作弯矩图作弯矩图 PMMMM2211图 M221F1F2F1=0F2=0F1PF2Pk12k22乘2k11k21乘1002222121212121111PPFkkFFkkFF1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F1Pk12k11F2Pk22k21F2Pk22k21F2

15、Pk22k21F2Pk22k21F2Pk22k21 44MP F1P04 F1P=4 F2P=662ql0F2P4i2i6i6i4i k11 ii5 . 146 k11=10i k21=1.5iM1 k12 0 1.5i43i163i k21 k22 M2 k12=1.5i k21=15i/161.5i1.5i0.75i11.6 位移法计算有侧移刚架位移法计算有侧移刚架3kN/m2iii8m4m3kN/m1=1213kN/m2=113.624.425.69M图图(kN.m)0616155 . 1045 . 1102121iiii解得解得:1=0.737/i，2=7.58/iPMMMM22111

16、叠加弯矩图叠加弯矩图 位移法求解过程位移法求解过程:1)确定基本体系和基本未知量确定基本体系和基本未知量2)建立位移法方程建立位移法方程3)作单位弯矩图和荷载弯矩图作单位弯矩图和荷载弯矩图4)求系数和自由项求系数和自由项5)解方程解方程6)作弯矩图作弯矩图例例2.2.试用位移法分析图示刚架。试用位移法分析图示刚架。（1 1）基本未知量基本未知量（2 2）基本体系）基本体系计算杆件线性刚度计算杆件线性刚度i，设设EI0=1，则则1440IElEIiABABAB21,43,1,1CFBECDBCiiii4m4m5m4m2mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I04m4m5m4m2

17、mq=20kN/mABCDFE4I05I04I03I03I0 1 23 1、 2、3 1=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2（3 3）位移法方程）位移法方程k11 1+ k12 2+ k13 3+F1P=0 k21 1+ k22 2+ k23 3+F2P=0 k31 1+ k32 2+ k33 3+F3P=0 （4 4）计算系数：）计算系数：k11、k12、k13、k21、k22、k23、k31、k32、k333241.53k11=3+4+3=10k12=k21=2k13=k31=?ABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2 2=1k22=4+3+

18、2=9k23=k32=? 3=14m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/21/21/29/89/8k33=(1/6)+(9/16)=35/48k31=k13= 9/8k32=k23= 1/2（5 5）计算自由项：）计算自由项：F1P、F2P、F3P4m4m5m4m2mABCDFEi=1i=1i=1i=3/4i=1/2q=20kN/m(1/8) 2042=40(1/12) 2052=41.7F1P=4041.7= 1.7F2P=41.7F3P=0（6 6）建立位移法基本方程：）建立位移法基本方程：04835218907 .41219207 . 189210321321321（7 7）解方程求结点位移：）解方程求结点位移：（8 8）绘制弯矩图）绘制弯矩图