行列式性质及计算线性代数

1、行列式性质及计算线性代数n 阶阶行列式的性质行列式的性质小结小结行列式的性质行列式的性质行列式计算行列式计算行列式性质及计算线性代数一一 行列式的性质行列式的性质性质性质1 1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等. .行列式行列式 称为行列式称为行列式 的转置行列式的转置行列式. TDD记记nnaaa2211nnaaa21122121nnaaa D2121nnaaannaaa2112 TDnnaaa2211行列式性质及计算线性代数证明证明 的的转转置置行行列列式式记记ijaDdet ,212222111211nnnnnnTbbbbbbbbbD , 2 , 1,njiabjii

2、j 即即按定义按定义npppnpppTnnaaabbbD2121212111D ,571571266853266853行列式性质及计算线性代数性质性质2 2 互换行列式的两行（列）互换行列式的两行（列）, ,行列式变号行列式变号. .性质性质1说明说明 行列式中行与列具有同等的地位行列式中行与列具有同等的地位,因此行列因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.例如例如,571571 266853.825825 361567567361266853记法记法 行列式的第行列式的第s行：行：sr, ,交换交换s、t两行：两行：tsrr 行列式的第行列式的第s列

3、：列：sc交换交换s、t两列：两列：tscc 行列式性质及计算线性代数nnnnjnjjiniinaaaaaaaaaaaaD.21212111211nnnniniijnjjnaaaaaaaaaaaaD.212121112111证明：证明：nnnpjlikppplkppaaaaaD.1212121).(nnnpjkilpppklppaaaaaD.1212121).(11DD行列式性质及计算线性代数推论推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零此行列式为零. .证明证明互换相同的两行，有互换相同的两行，有 DD . 0 Dcbafedcba0行列式性质及计

4、算线性代数 性质性质3 3 行列式的某一行（列）中所有的元素行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数都乘以同一数 ，等于用数，等于用数 乘此行列式乘此行列式. .kknnnniniinaaakakakaaaa212111211nnnniniinaaaaaaaaak212111211 推论推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面因子可以提到行列式符号的外面记法记法第第s行乘以行乘以k：skr第第s列乘以列乘以k: :skc推论推论2行列式中某一行（列）中所有元素全为行列式中某一行（列）中所有元素全为0，则此行列式为则此行列式为0行

5、列式性质及计算线性代数性质性质 行列式中如果有两行（列）元素成比行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零例，则此行列式为零证明证明nnnniniiiniinaaakakakaaaaaaa21212111211nnnniniiiniinaaaaaaaaaaaak21212111211 . 0 行列式性质及计算线性代数性质性质5 5 若行列式若行列式D的某一行（列）的元素都是两数之的某一行（列）的元素都是两数之和，则和，则D可以表示为两个行列式之和，即：可以表示为两个行列式之和，即： nnnnininiiiinaaaaaaaaaaaaD.21221111211nnnniniinnnnni

6、niinaaaaaaaaaaaaaaaaaa.212111211212111211行列式性质及计算线性代数推论：若行列式的某一行（列）的元素都是推论：若行列式的某一行（列）的元素都是m(m=2)个数之和，则此行列式可以写成个数之和，则此行列式可以写成m个行列式的和个行列式的和.思考：若行列式中有两行（列）的元素都是思考：若行列式中有两行（列）的元素都是2个数的个数的和，结果呢？和，结果呢？行列式性质及计算线性代数性质性质6把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行然后加到另一行 (列列)对应的元素上去，行列式不变对应的元素上去，行列式不变nj

7、njninjjinjiaaaaaaaaaaaa12222111111njnjnjninjjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakcc)()()(1222221111111 k例如例如记法记法数数k乘第乘第t 行加到第行加到第s 行上：行上：tskrr )(tskcc 行列式性质及计算线性代数性质性质7 7设设A，B均为均为n阶方阵，阶方阵，k为常数，则：为常数，则： BAABAkkAn21推广：推广：kkmmAAAAAAAA 2121行列式性质及计算线性代数例例2101044614753124025973313211 D二二 行列式计算行列式计算(2)(2)计算行列式常用方法：

8、利用运算把行列式计算行列式常用方法：利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值化为上三角形行列式，从而算得行列式的值jikrr 3 行列式性质及计算线性代数2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr行列式性质及计算线性代数2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 行列式性质及计算线性代数2101044614753140202010013211 3 122rr 4 222003512

9、0140202010013211 144rr 133rr 行列式性质及计算线性代数42rr 2220020100140203512013211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 行列式性质及计算线性代数34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 352rr 6400001000211003512013211 4 行列式性质及计算线性代数6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 4 行列式性质及计算线性代数注意：注意：上述各例都用到把

10、几个运算写在一起的省上述各例都用到把几个运算写在一起的省略写法，要注意各个运算次序一般不能颠略写法，要注意各个运算次序一般不能颠倒，因为后一次运算是作用在前一次运算倒，因为后一次运算是作用在前一次运算结果上结果上.例如：例如：dcba21rr dcdbca 12rr badbca dcba12rr bdacba 21rr bdacdc 行列式性质及计算线性代数课堂练习：课堂练习：1.1.计算行列式计算行列式0112012120112110 )1( D2010411063143211111 )2( D41711002510202140214 )3(D612行列式性质及计算线性代数2.2.计算行列

11、式计算行列式abbbbabbbbabbbbaD ) 1 (3.222.2.3222.2322.223 ) 3(D2n+1abbbbabbbbabbbbaD. )2(1) 1(nbabna3111131111311113 D33baba行列式性质及计算线性代数abbbabbba请牢记这种方法，这类题就这种做法。行列式性质及计算线性代数3.3.计算行列式计算行列式22222222222222221234123412341234 ) 1 (ddddccccbbbbaaaaDnnnnxxxxaxxxaaxxaaaxD. )2(3213321223211131210).()()1(2331221nnna

12、xaxaxx)(, 121iiiniaxx行列式性质及计算线性代数4.4.一个一个n阶行列式，它的元素满足阶行列式，它的元素满足njiaajiij, 2 , 1, 证明证明: :当当 n 为奇数时，此行列式为零为奇数时，此行列式为零. .00021212112nnnnaaaaaaD行列式性质及计算线性代数Dn) 1(结论：奇数阶反对称行列式为结论：奇数阶反对称行列式为000021212112nnnnTaaaaaaD00021212112nnnnaaaaaaD则：则：行列式性质及计算线性代数nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211 若若nnnnnnaaaaaaaaa 212222

13、111211)1(则则nnnnnnnaaaaaaaaaaaa11211213323122221)2(n)1( 1) 1(nDD例例5行列式性质及计算线性代数 00000)3(abcdaabcbaabcbaadcba,)4(333231232121131211daaaaaaaaa _222333131211232121333231 aaaaaaaaa则则0d6行列式性质及计算线性代数例例6 6计算计算dcbacbabaadcbacbabaadcbacbabaadcbaD 3610363234232行列式性质及计算线性代数思考题思考题阶阶行行列列式式计计算算41111111111112222222

14、2ddddccccbbbbaaaaD 1 abcd已已知知解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa 行列式性质及计算线性代数111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 1 abcd已已知知行列式性质及计算线性代数 (行列式中行与列具有同等行列式中行与列具有同等的地位的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也同行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立样成立). 计算行列式常用方法：计算行列式常用方法：(1)利用定义利用