03多元函数的导数

1、高等院校非数学类本科数学课程大 学 数 学（三）（三）多元微积分学 第一章第一章 多元函数微分学多元函数微分学 曾金平教案编写：刘楚中 曾金平电子制作：刘楚中第一章 多元函数微分学本章学习要求：1. 理解多元函数的概念。熟悉多元函数的“点函数”表示法。2. 知道二元函数的极限、连续性等概念，以及有界闭域上连续函数的性质。会求二元函数的极限。知道极限的“点函数”表示法。3. 理解二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分等概念。了解全微分存在的必要条件和充分条件。了解二元函数的偏导数和全微分的几何意义。4. 熟练掌握二元和三元函数的偏导数、全导数、全微分的计算方法及复合函数求导法。能熟练求出函数的二

2、阶偏导数。了解求偏导与求导顺序无关的条件。5. 理解方向导数的概念，并掌握它的计算方法以及它与梯度的关系。6. 会求隐函数(包括由方程组确定的隐函数)的一阶、二阶偏数。7. 知道二元函数的泰勒公式形式。8. 知道 n 元函数的偏导数概念及其求法。9. 熟悉平面的方程和直线的方程及其求法。10. 了解空间(平面)曲线的参数方程和一般方程。知道曲面方程。 11. 了解曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的概念,并能熟 练求出它们的方程。知道曲线族的包络的概念及其法。12. 理解二元函数无约束极值的概念，能熟练求出二元函数的无约 束极值。了解条件极值（有约束极值）的概念，能熟练运用拉 格朗日乘数法

3、求条件极值。13. 掌握建立与多元函数极值有关的数学模型的方法。会求解一些 较简单的最大值和最小值的应用问题。第三节第三节 多元函数的导数多元函数的导数繁啦！烦 多元函数的偏导数是一元函数导数的多元函数的偏导数是一元函数导数的推广推广, ,其计算往往是借用一元函数的计算其计算往往是借用一元函数的计算公式和方法公式和方法, ,但实际计算往往较繁但实际计算往往较繁. . 在推广中有一些东西将起质的变化在推广中有一些东西将起质的变化. .我们通常介绍二元函数的情形我们通常介绍二元函数的情形, , 所得结果所得结果可以推广到更高元的函数中可以推广到更高元的函数中, , 一般不会遇一般不会遇到原则性问题

4、到原则性问题. .工程和科学技术中, 遇到的大部分是多变量的问题, 在处理时往往需要知道在其它变量不变, 只有某一个变量变化时, 引起的事物反应 .在物理和力学中, 经常用到力和速度的分解和合成 . 一般是将任意方向的力或分速度 .力或速度分解为平行于坐标轴方向的分一元函数的导数xaxfsin)(xaaxfcos)(xaaxfsin),(xaaaxfxcos),(一元函数的导数xaxfsin)(xaaxfcos)(xaaxfsin),(xaaaxfxcos),(xyyxfsin),(xyyyxfxcos),( 如果如果 x , y 为自变量为自变量, , 这就是二元函数这就是二元函数 f (x

5、 , y) 关于变量关于变量 x 的偏导数的偏导数. .一一. . 偏增量和全增量偏增量和全增量偏增量偏增量 ),() ,(000yxyxxx或或),() ,(0000yxyxxxx , 0则称则称固定固定yy . ),( 00的偏增量的偏增量处关于处关于在点在点为变量为变量xyxx : 2中中空间空间 r一一. . 偏增量和全增量偏增量和全增量偏增量偏增量 ),() ,(000yxyxxy或或),() ,(0000yxyyxxy , 0则称则称固定固定xx . ),( 00的偏增量的偏增量处关于处关于在点在点为变量为变量yyxx : 2中中空间空间 r一一. . 偏增量和全增量偏增量和全增量

6、全增量全增量 : 2中中空间空间 r ),( ),( 00处的全增量为处的全增量为在点在点变量变量yxyxx ),(),(000yxyxxxx或表示为或表示为),() ,(0000yxyyxxx . , ,00 xxyxxx其中其中xyo),(00yyxxx),(00yxxx),(00yyxxxxxy0y0 x),(000yxx一一. . 偏增量和全增量偏增量和全增量例如例如: :),(),(000000zyxzzyyxxx),(),(000000zyxzyxxxx),(),(000000zyxzyyxxy),(),(000000zyxzzyxxz同学们不难将以上增量形式推广至空间同学们不难将

7、以上增量形式推广至空间)3( nrn中中. . 函数的增量 的全增量和偏增量的改变量称为函数的全增量和偏增量 .函数相应于自变量),(yxfz yx 和二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量 函数的偏增量函数的偏增量 : 2中中空间空间 r),(),(000yxfyxfzx),(),(0000yxfyxxfzx函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处的偏增量为处的偏增量为: :及及),(),(000yxfyxfzy),(),(0000yxfyyxfzy二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量oxyzd),(yxfz )0 ,(00yxq0y),

8、(000zyxp沿此曲线计算的函数在点 p 处的增量为偏增量zx二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量 函数的全增量函数的全增量 : 2中中空间空间 r),(),(00yxfyxfz),(),(0000yxfyyxxfz或或二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx处的全增量为处的全增量为: : 函数增量的点函数表示函数增量的点函数表示 : 2中中空间空间 r)()(00xfxxfz)()(00xfxxfzxx)()(00xfxxfzyy二二. . 多元函数的偏增量和全增量多元函数的偏增量和全增量函数函数),

9、(yxfz 在点在点),(000yxx处的全增量为处的全增量为: :函数函数),(yxfz 在点在点),(000yxx处的偏增量为处的偏增量为: :对于)3( nrn中的函数可仿此进行增量的定义)()(00xfxxfz)()(00xfxxfzkkxx),(21nkxxxxx其中 , 则则设设zyxu 全增量全增量zyxzyxxux)( 偏增量偏增量zyxzyyxuy)(zyxzzyxuz)(xyzzzyyxxu)()( 例例 函数的连续性能否用函数的全增量描述？想想：能 怎么描述？且极限内有定义在设 , ), u( ),( 00yxyxfz axzxyxfyxxfxxx000000lim),(

10、),(lim称极限值可偏导处对则称函数在点存在 , ),( ,00axyx记为的偏导数量为函数在该点的关于变 , x , 00axzyyxx , ),(00axyxf , 00azyyxxx , ),(00ayxfx . ),(001ayxf三三. . 多元函数的偏导数多元函数的偏导数且极限内有定义在设 , ), u( ),( 00yxyxfz byzyyxfyyxfyyy000000lim),(),(lim称极限值可偏导处对则称函数在点存在 , ),( ,00byyx记为的偏导数量为函数在该点的关于变 , y , 00byzyyxx , ),(00byyxf , 00bzyyxxy , ),

11、(00byxfy . ),(002byxf三三. . 多元函数的偏导数多元函数的偏导数变量 x 和 y 的偏导数均存在 , 则称函数若函数),(yxf在点),(00yx处关于),(yxf在点),(00yx处可偏导.在区域 内的任一点若函数),(yxf内可偏导.处均可偏导 , 则称函数),(yxf在区域 与一元函数的情况类似, 函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数, 一般仍称为函数在区域上的偏导数.下面讨论偏导数的计算方法xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出: 定义xz时, 变量 y 是不变的, 实际上,是对函数),(yxf, 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元函数导数的定义

12、进行的：xyxfyxxfxzxyx),(),(lim00000),(000d),(d0 xxxyxf求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质上是求忘记了, 请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时求偏导数时, ,只要将只要将 n 个自变量个自变量中的某一个看成变量中的某一个看成变量, ,其余的其余的 n1个个自变量均视为常数自变量均视为常数, , 然后按一元函数然后按一元函数的求导方法进行计算即可的求导方法进行计算即可 . . . )2 , 1 ( 3 22处的偏导数处的偏导数在点在点求求yxyxz)2, 1(22)2,

13、1()()3()(xxxyxyxxz)2, 1(22)2, 1()()3()(yyyyxyxyz8)32()2, 1(yx7)23()2, 1(yx 例例解解由定义由定义, ,此例也可用下列方式求解此例也可用下列方式求解8)46(dd12)2, 1(xxxxxz7)31 (dd22)2, 1(yyyyyz000d),(d0),(xxyxxyxfxz )2 , 1 ( 3 22处处点点yxyxz . arctan 的偏导数的偏导数求求yxz xyxyxxz211 , 22yxyyyxyxyz211 . 22yxx将 y 看成常数y1将 x 看成常数2yx 例例解解 . )0( 的偏导数的偏导数求

14、求xxzy 1yxyxz )( 1aaxax ln xxyzy ln)( aaaxx将将 y 看成常数时看成常数时, , 是对幂函数求导是对幂函数求导. .将将 x 看成常数时看成常数时, , 是对指数函数求导是对指数函数求导. . 例例解解以上的叙述虽然是对二元函数 元及其以上的多元函数中去.进行的, 但其结论可直接推广到三 . 32的偏导数的偏导数求求zxyxeu ; )1 (232yexuzxyx ; 232yxeyuzxyx . )3(232zezuzxyx 例例解解 . )0 , 0( 处的连续性和可偏导性处的连续性和可偏导性在点在点 , 则则取取xky . 1limlim22222

15、002200kkxkxxkyxyxyxyx由由 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在, , 例例解解 . )0 , 0( ),( 处不连续处不连续在点在点故函数故函数yxf),( yxf讨论函数讨论函数0 2222yxyxxy0 0 22 yx但是但是 , 00lim)0,0()0,(lim00 xxxfxf , 00lim) 0, 0(), 0(lim00yyyfyf, 0)0,0(xf 0)0 , 0( ,) 0( ),( 2222fyxyxxyyxf. 0)0,0(yf , )0 , 0( ),( 且且处可偏导处可偏导在点在点即函数即函数yxf

16、对多元函数来说对多元函数来说, ,函数的偏导数函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系存在与否与函数的连续性无必然关系. .这是多元函数与一元函数的这是多元函数与一元函数的一个本质区别一个本质区别. .在热力学中在热力学中, , 已知压强已知压强 p 、体积、体积 v 和和温度温度 t 之间满足关系之间满足关系 pv = k t , ,其中其中, , k为常数为常数, , 证明：证明：. 1pttvvp,vtvp 2k故故从而从而pttvvpkkkv p vt2 . 1pvtk 例例证证vtp tpv kk得得由关系由关系 , vpt , ptv kk类似可得类似可得 警告各位！偏导数的符

17、号yx,是一个整体记号,z与yx ,的商.不能像一元函数那样将yzxz,看成是xyzo1t2t. tan ),( 00 0 xyxfyy上上在平面在平面),(0yxfz ),(0yxfz 四四. . 偏导数的几何意义偏导数的几何意义p),(yxfz 0 x0y0p ),( 000上的曲线上的曲线就是平面就是平面xxyyxf01 i ),(xxyyxfz . ) ,( , 000处切线的斜率处切线的斜率即点即点在点在点yxyy ),( 000上的曲线上的曲线就是平面就是平面yyxyxf . ) ,( , 000处切线的斜率处切线的斜率即点即点在点在点yxxx 0 i ),(yyxyxfz 二元函

18、数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题: ),(),(00yxfyxf . ),u(),( ),( 002222yx其中其中五五. . 二元函数的微分中值定理二元函数的微分中值定理定理定理 , ),u( ),( 00则则内可偏导内可偏导在在设函数设函数yxyxfz ),( ),u(),(1100和和至少存在一组点至少存在一组点yxkyx ),(22使得使得)(,()(,(022011yyfxxfyx),(u),(00yxyx),(u),(),(0000yxyxyx，),(),(00yxfyxf),(),(0yxfyxf),(),(000yxfyxf自己画画图就知道了由一元函数的拉格朗日中值定理由一元函数的拉格朗日中值定理, , 得得)( ),( ),(),(010 xxxyfyxfyxf)( ),(),(),(020000yyyxfyxfyxf证证 . , 0 201之间之间与与在在之间之间与与在在yyx