线性代数条件概率乘法公式PPT学习教案

1、会计学1线性代数条件概率乘法公式线性代数条件概率乘法公式P(A )=3/10， 如如:10件产品中有件产品中有7件正品，件正品，3件次品，件次品，7件正品件正品中有中有3件一等品，件一等品，4件二等品件二等品. 现从这现从这10件中任取一件中任取一件，记件，记 B=取到正品取到正品A=取到一等品取到一等品，P(A|B)()(10710373BPABP则则第1页/共33页P(A )=3/10， B=取到正品取到正品P(A|B)=3/7 本例中，计算本例中，计算P(A)时，依据时，依据的前提条件是的前提条件是10件产品中一等品件产品中一等品的比例的比例. A=取到一等品取到一等品， 计算计算P(A

2、|B)时，这个前提条件未变，只是加时，这个前提条件未变，只是加上上“事件事件B已发生已发生”这个新的条件这个新的条件.在某个缩小了的范围内来考虑问题在某个缩小了的范围内来考虑问题.第2页/共33页 若事件若事件B已发生已发生, 则为使则为使 A也也发生发生 , 试验结果必须是既试验结果必须是既在在 B 中又在中又在A中的样本点中的样本点 , 即即此点必属于此点必属于AB. 由于我们已经由于我们已经知道知道B已发生已发生, 故故B变成了新的变成了新的样本空间样本空间 , 于是于是 有有(1). 设设A、B是两个事件，且是两个事件，且P(B)0,则称则称 (1)()()|(BPABPBAPSABA

3、B2. 条件概率的定义条件概率的定义为在为在事件事件B发生发生的条件下的条件下,事件事件A的条件概率的条件概率.第3页/共33页3. 条件概率的性质条件概率的性质 : | 件件具备概率定义的三个条具备概率定义的三个条条件概率条件概率AP ; 0|, : 1 ABPB对于任意的事件对于任意的事件非负性非负性 ; : 21 A|SP规范性规范性 , , : 321则有则有是两两互斥事件是两两互斥事件设设可列可加性可列可加性BB 11iiiiABPABP . 性质对条件概率都成立性质对条件概率都成立所以在第二节中证明的所以在第二节中证明的第4页/共33页 2)从加入条件后改变了的情况去算从加入条件后

4、改变了的情况去算 4. 条件概率的计算条件概率的计算1) 用定义计算用定义计算:,)()()|(BPABPBAPP(B)0 掷骰子掷骰子例：例：A=掷出掷出2 点点， B=掷出偶数点掷出偶数点P(A|B）=31B发生后的缩减发生后的缩减样本空间所含样样本空间所含样本点总数本点总数在缩减样本空在缩减样本空间中间中A所含样所含样本点个数本点个数第5页/共33页 例例1 掷两颗均匀骰子掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出已知第一颗掷出6点点,问问“掷出点数之和不小于掷出点数之和不小于10”的概率是多少的概率是多少? 解法解法1)()()|(BPABPBAP解法解法2 2163)|(BAP解解 设设A=掷出

5、点数之和不小于掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出第一颗掷出6点点应用应用 定义定义在在B发生后的缩减样本发生后的缩减样本空间中计算空间中计算21366363第6页/共33页 例例2 甲、乙两厂共同生产甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中个零件，其中 300件是乙厂生产的件是乙厂生产的. 而在这而在这300个零件中，有个零件中，有189个是标准个是标准件，现从这件，现从这1000个零件中任取一个，问个零件中任取一个，问这个零件是乙这个零件是乙厂生产的标准件厂生产的标准件的概率是多少？的概率是多少？所求为所求为P(AB).甲、乙共生产甲、乙共生产1000 个个189个个是是标准件标准件300

6、个个乙厂生产乙厂生产300个个乙厂生产乙厂生产设设B=零件是乙厂生产零件是乙厂生产, A=是标准件是标准件第7页/共33页由条件概率的定义：由条件概率的定义：即即 若若P(B)0,则则P(AB)=P(B)P(A|B) (2)()()|(BPABPBAP而而 P(AB)=P(BA)若已知若已知P(B), P(A|B)时时, 可以反求可以反求P(AB).将将A、B的位置对调，有的位置对调，有故故 P(A)0 , 则则 P(AB)=P(A)P(B|A) (3)若若 P(A)0,则则P(BA)=P(A)P(B|A) (2)和和(3)式都称为乘法公式式都称为乘法公式, 利用利用它们可计算两个事件同时发生

7、的概率它们可计算两个事件同时发生的概率第8页/共33页. 个事件的积事件的情况个事件的积事件的情况乘法定理可以推广到多乘法定理可以推广到多 , 0 , 则则且且为三个事件为三个事件、设设 ABPCBA .|APABPABCPABCP , 2, , , , 21并且并且个事件个事件设有设有一般地一般地 nAAAnn , , 0121可得可得则由条件概率的定义则由条件概率的定义 nAAAP 2-2111-2121|nnnnnAAAAPAAAAPAAAP 112213|APAAPAAAP 第9页/共33页 一场精彩的足球赛将要举行一场精彩的足球赛将要举行, 5个个球迷好不容易才搞到一张入场券球迷好不

8、容易才搞到一张入场券.大家大家都想去都想去,只好用抽签的方法来解决只好用抽签的方法来解决.入场入场券券5张同样的卡片张同样的卡片,只有一张上写有只有一张上写有“入场券入场券”,其余的什么也没写其余的什么也没写. 将它们放在一起将它们放在一起,洗匀洗匀,让让5个人依次抽取个人依次抽取.后抽比先抽的确实吃亏吗？后抽比先抽的确实吃亏吗？ “先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大. ”第10页/共33页我们用我们用Ai表示表示“第第i个人抽到入场券个人抽到入场券” i1,2,3,4,5.显然显然，P(A1)=1/5，P( )4/51A第第1个人抽到入场券的概率是个人抽

9、到入场券的概率是1/5.也就是说，也就是说，iA则则 表示表示“第第i个人未抽到入场券个人未抽到入场券”第11页/共33页因为若第因为若第2个人抽到个人抽到了入场券，第了入场券，第1个人个人肯定没抽到肯定没抽到.也就是要想第也就是要想第2个人抽到入场券，必须第个人抽到入场券，必须第1个人个人未抽到，未抽到，)|()()(1212AAPAPAP212AAA 由于由于由乘法公式由乘法公式 P(A2)= (4/5)(1/4)= 1/5计算得：计算得：第12页/共33页)|()|()()()(2131213213AAAPAAPAPAAAPAP 这就是有关抽签顺序问题的正确解答这就是有关抽签顺序问题的正

10、确解答. 同理，第同理，第3个人要抽到个人要抽到“入场券入场券”，必须第，必须第1、第第2个人都没有抽到个人都没有抽到. 因此因此(4/5)(3/4)(1/3)=1/5 继续做下去就会发现继续做下去就会发现, 每个人抽到每个人抽到“入场券入场券” 的概率都是的概率都是1/5.抽签不必争先恐后抽签不必争先恐后.也就是说，也就是说，第13页/共33页 有三个箱子有三个箱子,分别编号为分别编号为1,2,3.1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球个白球,2号箱装有号箱装有2红红3白球白球 , 3号箱装有号箱装有3 红球红球. 某人从三箱中任取一箱某人从三箱中任取一箱,从中任意摸出一球从中任意摸出一球

11、,求取得红球的概率求取得红球的概率.解解 记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球B发生总是伴随着发生总是伴随着A1，A2，A3 之一同时发生，之一同时发生，123其中其中 A1、A2、A3两两互斥两两互斥看一个例子看一个例子:第14页/共33页 将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得到在概率计算中常用的率计算中常用的全概率公式全概率公式.对求和中的每对求和中的每一项运用乘法一项运用乘法公式得公式得P(B)=P( A1B)+P(A2B)+P(A3B) 31)()()(iiiABPAPBP代入数据计算得：代入数

12、据计算得：P(B)=8/15运用加法公式得到运用加法公式得到即即 B= A1B+A2B+A3B， 且且 A1B、A2B、A3B 两两互斥两两互斥第15页/共33页定义定义 , , , nBBBES21的样本空间的样本空间为随机试验为随机试验设设 , 如果满足如果满足的一组事件的一组事件是是 E jiBBji 1 2SBBBn 21 , , , , , nnBBBBBB2121或称或称为完全事件系为完全事件系则称则称 . 的一个划分的一个划分为为 S: 注意注意 , , , 为样本空间的一个划分为样本空间的一个划分若若nBBB21 , 事件组事件组则对每次试验则对每次试验 , , 中必有且仅有中

13、必有且仅有nBBB21一个事件发生一个事件发生. . , 分割成若干个互斥事件分割成若干个互斥事件的划分是将的划分是将可见可见SS第16页/共33页 1定定理理, SE 的样本空间为的样本空间为设试验设试验nBBB, , 21 , , 则对则对且且的一个划分的一个划分为为n,iBPSi 210 , 恒有恒有样本空间中的任一事件样本空间中的任一事件 A niiiB|APBPAP1 证明证明 因为因为 ASA nBBBA 21nABABAB 21 并且并且 , , 所以所以jiABABji nABPABPABPAP 21 nnB|APBPB|APBP 11 niiiB|APBP1第17页/共33页

14、 某一事件某一事件A的发生有各种可能的原因的发生有各种可能的原因 ，如果，如果A是由原因是由原因Bi (i=1,2,n) 所引起，则所引起，则A发生的概率是发生的概率是 每一原因都可能导致每一原因都可能导致A发生，故发生，故A发生的概率发生的概率是各原因引起是各原因引起A发生概率的总和，即全概率公式发生概率的总和，即全概率公式.P(ABi)=P(Bi)P(A |Bi)全概率公式全概率公式.我们还可以从另一个角度去理解我们还可以从另一个角度去理解第18页/共33页 由此可以形象地把由此可以形象地把全概率公式全概率公式看成为看成为“由原因推结果由原因推结果”，每个原因对结果的发生有一定的，每个原因

15、对结果的发生有一定的“作用作用”，即结果发生的可能性与各种原因的，即结果发生的可能性与各种原因的“作用作用”大小有关大小有关. 全概率公式表达了它们之间的关系全概率公式表达了它们之间的关系 .B1B2B3B4B5B6B7B8A诸诸Bi是原因是原因B是结果是结果第19页/共33页 例例 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概三人击中的概率分别为率分别为0.4、0.5、0.7. 飞飞 机被一人击中而击落的概率为机被一人击中而击落的概率为0.2,被被两人击中而击落的概率为两人击中而击落的概率为0.6, 若三人都击中若三人都击中, 飞机必定被击落飞机必定被击落

16、, 求飞机被击落的概率求飞机被击落的概率. 设设A=飞机被击落飞机被击落 Bi=飞机被飞机被i人击中人击中, i=1,2,3 由全概率公式由全概率公式则则 A=B1A+B2A+B3A解解依题意，依题意，P(A|B1)=0.2, P(A|B2)=0.6, P(A|B3)=1P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+ P(B3)P(A |B3)第20页/共33页可求得可求得 为求为求P(Bi ) , 设设 Hi=飞机被第飞机被第i人击中人击中, i=1,2,3 将数据代入计算得将数据代入计算得P(B1)=0.36;P(B2)=0.41;P(B3)=0.14. 1123123

17、123P BP H H HH H HH H H 2123123123P BP H H HH H HH H H 3123P BP H H H 第21页/共33页P(A)=P(B1)P(A |B1)+ P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.458 =0.360.2+0.41 0.6+0.14 1即飞机被击落的概率为即飞机被击落的概率为0.458.于是于是第22页/共33页该球取自哪号箱的可能性最大该球取自哪号箱的可能性最大? 这一类问题是这一类问题是“已知结果求原因已知结果求原因”. 在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小在实际中更

18、为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，探求各原因发生可能性大小. 某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率.1231红红4白白或者问或者问:看一个例子看一个例子:第23页/共33页接下来我们介绍为解决这类问题而引出的接下来我们介绍为解决这类问题而引出的贝叶斯公式贝叶斯公式第24页/共33页 有三个箱子，分别编号为有三个箱子，分别编号为1,2,3，1号箱装有号箱装有1个红球个红球4个白球，个白球，2号箱装有号箱装有2红球红球3白球，白球，3号箱装有号箱装有3红球红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意

19、摸出一球，某人从三箱中任取一箱，从中任意摸出一球，发现是红球发现是红球,求该球是取自求该球是取自1号箱的概率号箱的概率 .1231红红4白白?第25页/共33页某人从任一箱中任意摸出一球，某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自发现是红球，求该球是取自1号箱的概率号箱的概率. )()()|(11BPBAPBAP记记 Ai=球取自球取自i号箱号箱, i=1,2,3; B =取得红球取得红球求求P(A1|B)3111kkkABPAPABPAP)()()|()(运用全概率公式运用全概率公式计算计算P(B)将这里得到的公式一般化，就得到将这里得到的公式一般化，就得到贝叶斯公式贝叶斯公式12

20、31红红4白白?第26页/共33页njjjiiiABPAPABPAPBAP1)()()()()|( 该公式于该公式于1763年由贝叶斯年由贝叶斯 (Bayes) 给出给出. 它是在观察到它是在观察到事件事件B已发生的条件下，寻找导致已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率发生的每个原因的概率.ni, 21 贝叶斯公式贝叶斯公式定理定理2 , , 21为样本空间的为样本空间的设设nAAA , 0 , , 则恒有则恒有且且中的任一事件中的任一事件为为一个划分一个划分 BPB 第27页/共33页 例例 某一地区患有癌症的人占某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反，患者对一种试验反应

21、是阳性的概率为应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概，正常人对这种试验反应是阳性的概率为率为0.04，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌，现抽查了一个人，试验反应是阳性，问此人是癌症患者的概率有多大症患者的概率有多大?则则 表示表示“抽查的人不患癌症抽查的人不患癌症”. CCC已知已知 P(C)=0.005,P( )=0.995, P(A|C)=0.95, P(A| )=0.04求解如下求解如下:设设 C=抽查的人患有癌症抽查的人患有癌症， A=试验结果是阳性试验结果是阳性，求求 P(C|A).第28页/共33页现在来分析一下结果的意义：现在来分析一下结果的意义：由由贝叶斯公式贝叶斯公式，可得，可得 )|()()|()()|()()|(CAPCPCAPCPCAPCPACP代入数据计算得代入数据计算得 P(CA)= 0.1066 2. 检出阳性是否一定患有癌症检出阳性是否一定患有癌症? 1. 这种试验对于诊断一个人是否患有癌症有无意义这种试验对于