北师大版八年级数学下册第6章 平行四边形的动点及存在性问题讲义（无答案）

1、平行四边形动点及存在性问题 综合复习【学习要点】一、非坐标系下的平行四边形的动点及存在性二、坐标系下的平行四边形的动点及存在性三、一次函数中的平行四边形的动点及存在性、单动点型 、双动点型【知识概括】一、平行四边形ABCD，这样的命名说明平行四边形的四个顶点A、B、C、D是按顺时针或逆时针的顺序排列的；而A、B、C、D形成平行四边形，可能是平行四边形ABCD，可能是平行四边形ABDC，也可能是平行四边形ADBC等，这时，A、B、C、D四个字母的顺序是不确定的。二、确定平行四边形：对于A、B、C三点固定，若存在动点D使得四边形ABCD是平行四边形，则点D只有一种情况，如图、若存在动点D使得以A、

2、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D有三种情况，如图。 图 图 三、压轴问题或存在性问题中常用的平行四边形的性质：、对边平行且相等；、对角线相互平分。【方法思路分析】非坐标系下，确定或证明平行四边形的存在性一、必须明确以下情况：、四边形ABCD是平行四边形，AC、BD一定是对角线，即明确字母顺序，那么对角线就确定了；、以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，对角线不确定，则需要分类讨论。二、动点问题，无论是单动点还是双动点，解决的策略是根据运动的速度大小及时间，算出运动走过的线段长度，并使用含时间的代数式，再根据平行四边形的对边相等，对角线相互平分，建立相应的等量关系式，转化

3、成含时间的方程，解方程，就能确定相应的时间的值。顺便指出，由于动点移动的过程，一般不会涉及角度，即使有角度，也是特殊角度问题。在坐标系下，平行四边形的存在性。一、平移法确定平行四边形先由题目条件探索三点的坐标（若只有两个定点，可设第三个点为动点），再画出以三点为顶点的平行四边形，根据坐标平移的性质写出第四个顶点的坐标，最后根据题目的要求（动点在什么直线或函数解析式上），判定平行四边形的存在性。二、关于中点坐标、直线解析式、两点之间的坐标表达等解析法的知识：、两点之间的距离公式：若A，B，则特别地，若AB轴，则，若AB轴，则、一次函数中直线方程（解析式）求的方法：若A，B，A、B不重合，并且在直

4、线上，则（其中为直线的倾斜角，tan 为正切值）、中点坐标公式：若A，B，则A、B的中点M、设：，：若两直线平行，则且，两直线重合：且若两直线垂直，则三、代数法（解析法）确定平行四边形的存在性（主要确定四个顶点的坐标）在ABCD中，线段AC、BD为对角线，设四个顶点坐标分别是，则，简写：（各点的横纵坐标之和）变形：证明：可以根据对称中心的交点坐标验证上述结论及其变形的正确性。A、三定一动：【示例】已知，在坐标系内确定点D使得以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形。【解析过程】按对角线相互平分，进行分类讨论：设点D的坐标为，又，、当AB、CD为对角线时，则，得到：，解得，此时，点D的坐

5、标为、当AC、BD为对角线时，解得，点D的坐标为；、当BC、AD为对角线时，解得，点D的坐标为；综上所述，D的坐标为、B、两定两动：（设A、B为定点；C、D为动点）分两种情况，、两个定点形成的线段AB为平行四边形的边；、两个定点的线段AB为平行四边形的对角线。【示例】已知、，点C在轴上，点D在轴上，且以A、B、C、D四个点为顶点的四边形是平行四边形，求的坐标。【解析过程】依旧按对角线相互平分，进行分类讨论：设C点的坐标为，D点坐标为 、， 、当AB、CD为对角线时，解得，点C的坐标为，点D的坐标为；、当AC、BD为对角线时，解得，点C的坐标为，点D的坐标为；、当AD、BC为对角线时，解得，点C

6、的坐标为，点D的坐标为；综上所述，所求的的坐标为、或、或，。【解题步骤要点总结】、审题，通过题目的问法，判断四边形是一个还是多个；、确定各顶点的坐标，确定对角线及边的字母表示；、按边关系分类或按对角线关系（对称中心）进行分类讨论。【题型总结】/* 非坐标系下平行四边形的综合问题*/【示例】如图，等边三角形ABC的边长是6，点D、F分别是BC、AC上的动点，且BD=CF，以AD为边作等边三角形ADE，连接BF、EF（1）求证：四边形BDEF是平行四边形；（2）连接DF，当BD的长为何值时，CDF为直角三角形？（3）设BD=x，请用含x的式子表示等边三角形ADE的面积/* 坐标系下平行四边形的存在

7、性*/【示例1】如图，在平面直角坐标系中，ABOC，A（0，12），B（，），C（，0），并且，满足一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动设运动时间为（秒）（1）求B、C两点的坐标；（2）当为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；（3）当为何值时，PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标/* 一次函数中平行四边形的存在性*/【示例2】如图，在平面直角坐标系中，直线分别交两轴于点A、B，点C为线段

8、AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根（1）求点D的坐标；（2）求直线CD的解析式；（3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由【课堂练习】【1】四边形ABCD在坐标系中的坐标为A（8，0），B（6，4），C（0，4），O（0，0），P点在CB上从C点向B点运动，运动速度为每秒2个单位；Q点在AO上从A点向O点运动，运动速度为每秒3个单位，P点和Q点同时运动，其中一点达到终点另一点随即停止运动，设运动时间为t秒（1）当t为何值时四边形ABPQ为平行四边形？（2）当t为何值时，AQP是以AQ为底边的等腰三角形？【2】 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点A、B，一次函数的图象与交于点，直线AB与直线相交于点C，（1）点M是线段上一点，的面积为，求点M的坐标。（2）在（1）的条件下，点P是直线AB上的一点，点Q是直线上一点，当四边形是平行四边形时，请直接写出点P、Q的坐标。 【3】如图，在四边形ABCD中，ADBC，C=90，BC=8，DC=6，AD=10动点P从点D出发，沿线段DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，