暑期生活专题1

1、暑期生活专题1因式分解的方法与技巧我们已知学过了因式分解的一些常用方法：提公因式法，分组分解法，运用公式法，十字相乘法以及余数定理的简单应用等等。有时，我们不能直接运用一种方法分解某个多项式，而必须对这个多项式各项的特点与相互联系(如符号、系数、指数等)进行仔细观察、分析，灵活地运用以上一种或几种方法， 必要时还需作一些技巧性的变形，以达到分解因式的目的。 而在这方面加强训练， 对提高代数式变形的能力，观察、处理问题的能力都是很有帮助的。 补充两个因式分解的常用方法：公式 1 a 2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2.1的形式如何？)(思考：a、b、c中有一个或两个改为相

2、反数，则公式公式 2 a 3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a 2+b2+c2-ab-bc-ca)3 33|222(也可写成 a+b+c-3abc=2(a+b+c) +(b-c)+(c-a)以上公式不难从展开等号右边的式子加以验证，由公式 2,又可得出以下的推论： 推论 1 如果 a +b +c =3abc,那么 a=b=c 或 a+b+c=0.333推论 2 如果 a=b=c 或 a+b+c=0，那么 a +b +c =3abc。例 1 .分解因式 a4+b4+c4-2a 2b2-2b 2c2-2c2a2.分析：显然不能直接用公式1(因为符号不满足条件)，但仔细观察、比较，不难发现可

3、用“拆项”的技巧，把-2a2b2(或-2b 2c2或-2c 2a2)拆写成+2a2b2-4a 2b2，则分组后可利用公式1和“平方差公式”进行分解。4.4 42. 22 22 2解：a +b +c -2a b -2b c -ac a4.44 八 2. 2 22 八 22、“2 2=(a +b +c +2a b -2b c -2c a )-4a b2 2 2 2 2 2=(a +b -c ) -4a b=(a 2+b2-c 2+2ab)(a 2+b2-c2-2ab)2 2 2 2=(a+b) -c (a-b) -c =(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c)例2 .分解因式x3+

4、y3+3xy-1.分析：直接用立方差公式分解x3-y3显然无用，考虑运用公式2,但与公式符号不一致且少一个立方项，经过观察发现把-1写成+(-1) 3即可。解: x3+y3+3xy-13 33=x +y +(-1) -3xy(-1)2 2=(x+y-1)(x +y +1+x+y-xy)3 33例 3 .分解因式(x-1)+(x-2) -(2x-3)分析：可以先将(x-1) 3+(x-2) 3利用立方和公式进行分解，然后可提取公因式2x-3 ;也可先将(x-1) 3-(2x-3) 3或(x-2) 3-(2x-3) 3用立方差公式进行分解；也可由2x-3=(x-1)+(x-2),把(2x-3) 3

5、写成(x-1)+(x-2)3,用和的立方公式展开，原式可消去(x-1) 3及(x-2) 3后再进行分解，但进一步观察特征可发现如果把-(2x-3) 3写成+(3-2x) 3 ,并且注意到 (x-1)+(x-2)+(3-2x)=0，则可运用公式 2的推论2得出结果。解：因为(x-1)+(x-2)+(3-2x)=0 所以(x-1) 3+(x-2) 3-(2x-3)=(x-1)3+(x-2)3+(3-2x)=3(x-1)(x-2)(3-2x)例4 .分解因式a4+a2b2+b4分析：根据各项的指数特征及相互关系，可利用拆项技巧把a2b2拆写成2a2b2-a2b2，创造条件分组后运用有关公式进行分解。

6、解：a 4+a2b2+b4/42. 2 4、2 2=(a+2a b +b )-a b=(a2+b2) 2-(ab) 22 2 2 2=(a +ab+b )(a -ab+b )注：本题结论在解题时也可直接运用。例 5 .分解因式 a4+2a3b+3a2b+2ab3+b4分析：根据字母a、b的指数变化规律及系数特征进行恰当的拆项、分组。解：a4+2a3b+3a2b2+2ab3+b4/4 3.召 2、 z 3.2 2 I / 2 .3.4.=(a +ab+a b )+(ab+a b+ab )+(a b +ab +b)2 2 2 2 2 22 2=a (a +ab+b )+ab(a +ab+b )+b

7、 (a +ab+b )2 2 2=(a +ab+b )注：本题中字母a、b在各项中依次为降幕和升幕，特别是各项系数依次为1、2、3、2、1,通过试探不难找出上述拆项、分组的方法。特别是当 b=1 时有 a4+2 a3+3a2+2 a+仁(a2+a+1)2可以系数特征“ 1、2、3、2、1”记住本题结论。例6.分解因式9x -3x +7x -3x-2分析：仔细观察指数变化及各项系数关系，可得出多种不同的关系：直接把第一、三、五项与第二、四项分为两组；把9x4拆为7x4+2x4;把7x2拆为9x2-2x2;把-2拆为-9+7 ;或同时把-3x 3+7x2-3x拆为-6x 3+3x2-2x 2+9x

8、2-6x+3x等等，然后分组(每组每项或每组三项)，下 面提供两种解法：解一：9x4-3x 3+7x2-3x-24 232=(9x+9x )-(3x +3x)-(2x+2)=9x 2(x 2+1)-3x(x 2+1)-2(x 2+1)2 2=(x+1)(9x -3x-2)2=(x+1)(3x-2)(3x+1)4 32解二：9x -3x +7x -3x-24 322=(9x-3x -2x )+(9x -3x-2)=x 2(9x 2-3x-2)+(9x 2-3x-2)2 2=(9x-3x-2)(x+1)2=(3x-2)(3x+1)(x+1)注：这两种解法都是把 7x2拆成9x2-2x 2,但分组方

9、法不同，从中可以体会到解题中观察特征，发现规律的重要性和分组分解法的灵活性。例7.分解因式x5+x+1分析：注意到指数的“不连贯”性，可考虑“添项”寻找出某种“规律”，再进行分组。解：x5+x+15 443322.=x +x -x +x -x +x -x +x+1,5 4 3、, 4 3 2、 , 2 八=(x +x +x )-(x +x +x )+(x +x+1)=x 3(x2+x+1)-x 2(x2+x+1)+(x 2+x+1) =(x 2+x+1)(x 3-x 2+1)注：本题“添项”后三项一组分为三组是关键的一步。因为原式中各项系数都是1,所以所添的项系数取 -1为宜，而添项后共有9项

10、且注意到系数为-1的有三项，则容易考虑以三项一组分组。32例8已知2x-3和3x+1都是ax+bx +32x+15的因式，求a、b的值并分解因式。分析：易知另一因式必为 x的一项式，则可用“待定系数法”，也可用余数定理得出关 于a、b的二元一次方程解得a、b。解一：设 ax3+bx2+32x+15=(2x-3)(3x+1)(px-5)a=6p,展开等号右边的代数式并比较等号两边同类项的系数，可得Ib=-30-7p,32=35-3p解得 p=1，a=6,b=-37则 6x3-37x 2+32x+15=(2x-3)(3x+1)(x-5)31解二：因为 2x-3=2(x-),3x+1=3(x+),2

11、331把x=2，x=-3分别代入32ax+bx +32x+15,f 3 33 23a_( ) +b ( ) +32+15=0应得 2221 3 1 2 1a(-)+b (-_) +32x(-)+15=03333a+2b+56=0,-a+3b+117=0解得 a=6,b=-37分解因式同解一。注：本题显然用待定系数法较为简便。3 222例 9 分解因式 x+(2a+1)x +(a +2a-1)x+a -1分析：原式是按x的降幕排列，可以展开后把有关 x项中系数相同的并为一组；也可以重新整理关于a的二次三项式后运用十字相乘法。3 222解一: x +(2a+1)x +(a +2a-1)x+a -1

12、32222=(x +x )+(2ax +2ax)+(a x+a )-(x+1)2 2=(x+1)(x +2ax+a -1)2=(x+1)(x+a)-1=(x+1)(x+a+1)(x+a-1)f3222解二：x +(2a-1)x +(a +2a-1)x+a -12232=(x+1)a+(2x +2x)a+(x +x -x-1)2 2=(x+1)a +2x(x+1)a+(x+1)(x-1)=(x+1)a 2+2xa+(x2-1)=(x+1)(a+x+1)(a+x-1)222例 10.分解因式 a +2ab-ac-3b +5bc-2c利用(字母系数)十字相乘法分解，再用待定分析：可以整理成以a为元的

13、二次三项式,系数法继续分解。解一：a2+2ab-ac-3b 2+5bc-2c 22 2 2=a +(2b-c)a-(3b-5bc+2c )2=a +(2b-c)a-(3b-2c)(b-c)=(a+3b-2c)(a-b+c)22解二：因为 a +2ab-3b =(a+3b)(a-b)所以设 a 2+2ab-3b 2=(a+3b)(a-b)a /3b-2c=(a+3b+mc)(a-b+nc).：a 八-(b-c)等号右边展开整理后，比较等号两边对应项系数，可得:m+n=1I3n-m=5mn=_2解得：m=-2, n=1因此因式分解结果为(a+3b-2c)(a-b=c)练习题3331 分解因式(x-

14、1) +(x-2) +(2x-3)42242 分解因式(x+1) +(x -1) +(x-1)2423 分解因式 2a(a+1) +a -a +14444分解因式(x+y) +x +y i4325 分解因式 x +2x +4x +2x+33222226 分解因式 x -3px +(3p -q )x-p(p -q )7 分解因式(xy+1)(x+1)(y+1)+xy8分解因式33 242 2422(x +y ) -4xyx +x y +y -2xy(x -xy+y )_339 分解因式 x (a+1)-xy(x-y)(a-b)+y (b+1)2 2 2 2 2 2 2 210 分解因式(ab+c

15、d)(a -b +c -d )+(ac+bd)(a +b -c -d )3333 33 33 311 分解因式 xyz(x +y +z )-x y -y z -z x2 212已知x+y-z是复项式x +axy+by -5x+y+6的一个因式，求 a、b的值并分解因式。参考答案1.第一、二项用立方和公式十、2原式=(2x-3)(5x -15x+12)2中间一项化为42 242222 2 一 午严【、8.由 x +x y +y =(x +xy+y )(x -xy+y )可知原式=2 2 2 2 2 2 2(x+y)(x -xy+y ) -4xy(x -xy-y )(x +xy+y )-2xy22

16、 222(x -xy+y ) (x+y)-4xy=(x -xy+y2、 22,)(ax+by+x+y)或原式=x3(a+1)(x 2y-xy 2+y3)=2/八2(x+1) (X-1)原式=(x+1) +(x+1)(x-1)+(x-1)(x+1)-(x+1)(x-1)+(x-1)=(3x +1)(x +3)3. 展开 原式=+2 +3+2a+仁(a?+a+1)24. 原式展开整理得 2(x4+2x3y+3x2y2+2xy3+y4)=2(x 2+xy+y2)2 或原式4 2 242 2422222222 2=x(x+y) -x y +(x +x y +y )=(x+y)+xy(x+y)-xy+(

17、x +xy+y )(x -xy+y )=2(x +xy+y )5.拆项分组原式=(x 4+2x3+3x2)+(x 2+2x+3)=(x 2+2x+3)(x 2+1);4 2322或原式=(x +4x +3)+(2x +2x)=(x +2x+3)(x +1)32222236.原式=(x -3px +3p x-p )-(q x-pq )=(x-p) -q (x-p)=(x-p)(x-p+q)(x-p-q);或原式=332222(x -p )-(3px -3p x)-(q x-pq )= ,7.十字相乘法原式=(xy+1)(xy+1)+2(x+y) +xy=(xy+1)+(x+y)(xy+1)+xy=(xy+1+x)(xy+1+y);或原式=y(y+1) x +(y +3y+1) x+(y+1)=10.原式=2 2 2 2 2 2(ab+cd+ac+bd)(a -d )-(ab+cd-ac-bd)(b -c )=(b+c)(a+d) (a-d)-(b-c) (a-d)(b+c)=(a-d)(b+c)(a+2 2d) -(b-c) =(a-d)(b+c)(a+b-c+d)(a-d+c+d)11.原式=4,3 3、3,3 3、33,433、“3 3、3.