一元二次方程压轴题(含答案)(总7页)

1、一元二次方程一元二次方程1 （北京模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x 2pxq10 有一个实数根为 2（1）用含 p 的代数式表示 q；（2）求证：抛物线y1x 2pxq 与 x 轴有两个交点；（3）设抛物线y1x 2pxq 的顶点为 M，与y轴的交点为 E，抛物线y2x 2pxq1 的顶点为 N，与y轴的交点为 F，若四边形 FEMN 的面积等于 2，求 p 的值2设关于 x 的方程 x 25xm 210 的两个实数根分别为 、，试确定实数 m 的取值范围，使|6 成立3 （湖南怀化）已知 x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0 的两个实数根（1）是否存在实数 a，使x1x1

2、x24x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明理由；（2）求使( x11)( x21)为负整数的实数 a 的整数值4 （江苏模拟）已知关于 x 的方程 x 2(ab1)xa0（b0）有两个实数根 x1、x2，且x1x2（1）求证：x11x2（2）若点 A（1，2） ，B（ ，1） ，C（1，1） ，点 P（x1，x2）在ABC 的三条边上运动，12问是否存在这样的点 P，使 ab ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理54由5 （福建模拟）已知方程组 有两个实数解 和 ，且 x1x20，x1x2（1）求 b 的取值范围；（2）否存在实数 b，使得 1？若存在，求出 b 的

3、值；若不存在，请说明理由1x11x26 （成都某校自主招生）已知 a，b，c 为实数，且满足 abc0，abc8，求 c 的取值范围7 （四川某校自主招生）已知实数 x、y满足 ，求 xy的取值范围8 （福建某校自主招生）已知方程(ax1)2a 2(1x 2)（a1）的两个实数根 x1、x2满足x1x2，求证：1x10 x21（答案）1 （北京模拟）已知关于 x 的一元二次方程 x 2pxq10 有一个实数根为 2（1）用含 p 的代数式表示 q；（2）求证：抛物线y1x 2pxq 与 x 轴有两个交点；（3）设抛物线y1x 2pxq 的顶点为 M，与y轴的交点为 E，抛物线y2x 2pxq1

4、 的顶点为 N，与y轴的交点为 F，若四边形 FEMN 的面积等于 2，求 p 的值解：（1）关于 x 的一元二次方程 x 2pxq10 有一个实数根为 22 22pq10，整理得：q2p5（2）p 24qp 24(2p5)p 28p20( p4) 24无论 p 取任何实数，都有( p4) 20无论 p 取任何实数，都有( p4) 240，0抛物线y1x 2pxq 与 x 轴有两个交点（3）抛物线y1x 2pxq 与抛物线y2x 2pxq1 的对称轴相同，都为直线 x ，且开口大小相同，抛物线y2x 2pxq1 可由抛物p2线y1x 2pxq 沿y轴方向向上平移一个单位得到EFMN，EFMN1

5、四边形 FEMN 是平行四边形由题意得 S四边形 FEMN EF| |2，即| |2p2p2 p42 （安徽某校自主招生）设关于 x 的方程 x 25xm 210 的两个实数根分别为 、，试确定实数 m 的取值范围，使|6 成立解：5 24(m 21)4m 221不论 m 取何值，方程 x 25xm 210 都有两个不相等的实根x 25xm 210，5，1m 2|6， 2 22|36，即( )222|36252(1m 2)2|1m 2|36当 1m 20，即1m1 时，2536 成立1m1 当 1m 20，即 m1 或 m1 时，得 254(1m 2)36解得 m m1 或 1m 综合、得：

6、m 3 （湖南怀化）已知 x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0 的两个实数根（1）是否存在实数 a，使x1x1x24x2成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你NEFMxyy2y1说明理由；（2）求使( x11)( x21)为负整数的实数 a 的整数值解：（1）x1，x2是一元二次方程( a6)x 22axa0 的两个实数根 即 假设存在实数 a 使x1x1x24x2成立，则 4( x1x2)x1x204 0，得 a242aa6aa6a24 满足 a0 且 a6存在实数 a24，使x1x1x24x2成立（2）( x11)( x21)( x1x2)x1x21 1 2aa6aa6

7、aa6要使( x11)( x21)为负整数，则只需 a 为 7，8，9，124 （江苏模拟）已知关于 x 的方程 x 2(ab1)xa0（b0）有两个实数根 x1、x2，且x1x2（1）求证：x11x2（2）若点 A（1，2） ，B（ ，1） ，C（1，1） ，点 P（x1，x2）在ABC 的三条边上运动，12问是否存在这样的点 P，使 ab ？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理54由解：（1）由根与系数的关系得：x1x2ab1，x1x2aax1x2，bx1x2x1x21b0，x1x2x1x2101x1x2x1x20(1x1)(1x2)0又x1x2，1x10，1x20即 x11，x

8、21x11x2（2）x1x2ab1，ab ，x1x2 5494当点 P（x1，x2）在 BC 边上运动时则 x11，x2112x1 x2 1 1949454故在 BC 边上不存在满足条件的点 P当点 P（x1，x2）在 AC 边上运动时则 x11，1x22取 x2 ，则 x1x2 ，即 ab 549454故在 AC 边上存在满足条件的点 P（1，）54Oxy112CAB当点 P（x1，x2）在 AB 边上运动时则 x11，1x22，易知 x22x112x1x2 ，x1 ，x2 943432又 1，1 2123432故在 AB 边上存在满足条件的点（ ，）3432综上所述，当点 P（x1，x2）

9、在ABC 的三条边上运动时，在 BC 边上没有满足条件的点，而在 AC、AB 边上存在满足条件的点，它们分别是（1，）和（ ，）5434325 （福建模拟）已知方程组 有两个实数解 和 ，且 x1x20，x1x2（1）求 b 的取值范围；（2）否存在实数 b，使得 1？若存在，求出 b 的值；若不存在，请说明理由1x11x2解：（1）由已知得 4x(2xb)2，整理得 4x 2(4b4)xb 20 x1x2，0，即(4b4)216b 20，解得 b12又x1x20，0，b0b 24综上所述，b 且 b012（2）x1x21b，x1x2， 1 得b 241x11x2x1x2x1x24(1b)b

10、2b 24b40，解得 b22 222 2(1) ，b22 不合题意，舍去22122b22 26 （成都某校自主招生）已知 a，b，c 为实数，且满足 abc0，abc8，求 c 的取值范围解：abc0，abc8，a，b，c 都不为零，且 abc，ab 8ca，b 是方程 x 2cx 0 的两个实数根8cc 24 08c当 c0 时，c 24 0 恒成立8c当 c0 时，得 c 332，c342故 c 的取值范围是 c0 或 c3427 （四川某校自主招生）已知实数 x、y满足 ，求 xy的取值范围解：(xy)20，x 2y 22xy2(x 2y 2)(xy)22(4a 22a2)(3a1)2即 a 22a30，解得1a3xy (xy)2(x 2y 2)12 (3a1)2(4a 22a2)12 (5a 24a1)12 (a)25225910当 a 时，xy有最小值 ；当 a3 时有最大值 1625910 xy169108 （福建某校自主招生）已知方程(ax1)2a 2(1x 2)（a1）的两个实数根 x1、x2满足x1x2，求证：1x10 x21证明：将